Matematica C3 Geometria Razionale (ebook)

38 Capitolo 1. Nozioni fondamentali

Dato un segmento e un segmento preso come unità di misura, si

Definizione 1.40. AB u

misura della lunghezza del segmento

dice il numero reale positivo per il quale risulta

AB r

∼ ·

AB r u.

=

Nella realtà fisica per misurare la lunghezza degli oggetti reali (l’altezza di una persona, la

lunghezza di un banco, di una stanza, di un terreno, . . . ) si usa come unità di misura il metro,

indicato con la lettera m, con i suoi multipli (decametro, ettometro, chilometro, . . . ) e i suoi

sottomultipli (decimetro, centimetro, millimetro, . . . ). Anche nella geometria, che tratta di

segmenti ideali non riscontrabili perfettamente nella realtà, si usa come unità di misura un

segmento di un metro.

Riassumendo, ricordiamo simboli e nozioni che riguardano due punti e

A B.

Due punti presi singolarmente con notazione insiemistica si indicano con e

á A B.

La retta passante per i due punti si indica con il simbolo oppure

á AB r(A, B).

La semiretta di origine e passante per si indica con il simbolo oppure

á A B AB r(A, B).

Il segmento di estremi e si indica con il simbolo

á A B AB.

La distanza tra i punti e cioè il segmento si indica con il simbolo oppure

á A B, AB, AB

d(A, B).

La lunghezza del segmento cioè l’insieme di tutti i segmenti congruenti ad si

á AB, AB,

indica con il simbolo AB.

La misura della lunghezza del segmento rispetto a una fissata unità di misura si

á AB

indica con il simbolo AB.

La misura della distanza tra i punti e che corrisponde alla misura del segmento

á A B, AB,

si indica con il simbolo AB.

Tutte queste distinzioni sono importanti dal punto di vista dell’organizzazione teorica

della geometria, tuttavia dal punto di vista applicativo e della quotidianità del linguaggio

geometrico possono risultare pedanti e noiose, spesso si usano espressioni più generiche,

finché si riescono ad evitare possibili malintesi. Sebbene a rigore si dovrebbe dire “la misura

della lunghezza del segmento rispetto al centimetro è 12” molto spesso si usa dire “il

AB

segmento è lungo 12 cm” oppure “AB misura 12 cm” o ancora “la distanza tra e è

AB A B

12 cm” o più semplicemente “il segmento di 12 cm”, ecc.

AB

1.6.2 Misura di angoli

Il procedimento che si usa per misurare gli angoli è del tutto analogo a quello usato per

misurare i segmenti. Si fissa un’unità di misura, cioè un angolo , e quindi si confronta

u

b

l’angolo da misurare con . Come risultato si avrà un numero reale positivo che chiamiamo

u

b

misura dell’ampiezza dell’angolo.

Per misurare gli angoli, l’unità di misura comunemente usata è la trecentosessantesima

◦

grado,

parte dell’angolo giro, detta e viene indicata con un cerchietto posto in alto ( ) di seguito

al numero che ne esprime la misura. Si ha quindi, usando come unità di misura il grado, che:

◦

l’angolo retto misura 90 gradi e si scrive 90 ;

á ◦

l’angolo piatto misura 180 ;

á ◦

l’angolo giro misura 360 .

á

Sezione 1.6. La misura 39

B u

b u

b u

b u

u b

b O A

F 1.42: L’angolo misura 4 volte l’angolo unitario

A OB u

IGURA b b

primo

I sottomultipli del grado sono il (minuto primo) che è la sessantesima parte di un

◦ 0 secondo

grado (in simboli 1 60 ) e il (minuto secondo) che è la sessantesima parte del primo

=

0 00 ◦ 00

(in simboli 1 60 ) e quindi la tremilaseicentesima parte del grado (in simboli 1 3 600 ).

= =

◦ 0 00

Calcola la misura in gradi del supplementare dell’angolo che misura 35 15 40 .

Esempio 1.4. ◦ ◦ 0 00

Occorre eseguire la sottrazione 180 35 15 40 . Per eseguire praticamente questa sottrazione

−

◦ 0 0 00 ◦ ◦ 0 00

si trasforma 1 in 60 e 1 in 60 , precisamente si scrive 180 come 179 59 60 , pertanto:

◦ 0 00

179 59 60 −

◦ 0 00

35 15 40 =

◦ 0 00

144 44 20

◦ ◦ 0 00 ◦ 0 00

Quindi 180 35 15 40 144 44 20 .

− = sistema sessage-

Il sistema di misura degli angoli che abbiamo illustrato prende il nome di

simale. Spesso, però, per praticità, anziché usare i primi, i secondi e i decimi di secondo, si

sistema sessadecimale.

usano i decimi di grado: in questo caso il sistema si dice

In base a quanto descritto, vediamo brevemente come si passa da un sistema all’altro.

42 23,2

◦ 0 00 ◦

10 42 23 10 10

á ,2 = + + = ,7064;

60 3600

◦ ◦ 0 ◦ 0 ◦ 0 00 ◦ 0 00

· ·

50 50 60) 50 44 50 44 60) 50 44 52

á ,748 = + (0,748 = + ,88 = + + (0,88 = ,8.

I sistemi sessagesimale e sessadecimale non sono gli unici usati per le misure degli angoli.

Osservando i tasti di una calcolatrice scientifica, si può vedere che ci sono tre siste-

10

grado sessagesimale

mi principali le cui unità sono rispettivamente il (DEG) che abbiamo

grado centesimale radiante

precedentemente illustrato, il (GRAD) e il (RAD).

Il grado centesimale è importante per gli strumenti tecnici. Si può passare dal grado

sessagesimale al grado centesimale e viceversa con una semplice proporzione, sapendo che

◦ g

l’angolo retto, pari a 90 , corrisponde a 100 gradi centesimali (in simboli 100 ).

Il radiante è utile nello studio della trigonometria e dell’analisi matematica. L’angolo di

11

misura 1 radiante (in simboli 1 rad ) è congruente ad un angolo con vertice nel centro di

una circonferenza e tale che la misura dell’arco da esso individuato è uguale alla misura del

raggio della circonferenza stessa. Facendo riferimento alla figura 1.43, l’angolo formato

α

10 in realtà quasi tutte le calcolatrici utilizzano la notazione sessadecimale.

11 in genere l’unità di misura rad viene omessa.

40 Capitolo 1. Nozioni fondamentali

dalle semirette e misura 1 radiante se l’arco misura quanto il raggio della

ON OM MN

circonferenza (OM). Come si può facilmente intuire, il radiante ed il grado sono grandezze

incommensurabili. r

N

α s

O M

F 1.43: L’angolo con ampiezza di 1 radiante

IGURA

La misura di un arco va fatta con una modalità differente rispetto a quella

q Osservazione

utilizzata per la misura dei segmenti. Si può immaginare di utilizzare come strumento di

misura un metro flessibile, ovvero un filo flessibile ma inestensibile, che si può piegare ma

non si può allungare o accorciare, su cui siano state tracciate, a distanza regolare, delle tacche

corrispondenti a sottomultipli dell’unità di misura delle lunghezze; una di queste tacche

viene assunta come origine del metro. Facendo combaciare l’origine del metro flessibile con

il punto e flettendo il metro in modo che si sovrapponga all’arco si otterrà la sua

M MN

lunghezza.

Ricordando che il rapporto tra la misura della circonferenza ed il raggio vale 2π, dove π

è il numero irrazionale 3, 1415 . . . (i puntini indicano che la parte decimale è infinita e non

◦

periodica), possiamo intuire che il valore dell’angolo giro (360 ), corrispondente ad un arco

che coincide con l’intera circonferenza, vale 2π radianti. ◦

Visto che un angolo giro corrisponde a 2π radianti, l’angolo piatto (180 ) corrisponderà a

radianti, quindi per convertire le ampiezze degli angoli da gradi a radianti e viceversa è

π

sufficiente impostare la seguente proporzione:

◦ ◦

180 : π = α : α

◦

dove con abbiamo indicato l’ampiezza dell’angolo in gradi e con la sua ampiezza in

α α

radianti. Da cui si ottiene ◦

180 π

◦ ◦

e

α = α α = α

◦

180

π

Quindi, avendo un angolo espresso in radianti, per convertirlo in gradi si può utilizzare la

prima formula inserendo al posto di la sua effettiva misura in radianti, mentre se abbiamo

α

un angolo espresso in gradi e lo vogliamo trasformare in radianti si può utilizzare la seconda

◦

formula inserendo al posto di l’effettiva misura dell’angolo in gradi.

α

Possiamo pertanto calcolare la misura in gradi di un angolo di 1 radiante ponendo nella

◦ ◦ ◦ ◦ 0 00

' '

prima formula 1. Si ottiene così 180 57 469 362 57 17 51 .

α = α = /π ,297

Riportiamo di seguito una tabella che fornisce i valori degli angoli più comuni espressi sia

in gradi che in radianti.

Sezione 1.7. Poligoni e poligonale 41

angolo in gradi angolo in radianti

◦

360 2π

◦

270 3π/2

◦

180 π

◦

90 π/2

◦

60 π/3

◦

45 π/4

◦

30 π/6

Angoli negativi

Nei paragrafi precedenti abbiamo definito l’angolo come l’insieme dei punti compresi tra

due semirette aventi la stessa origine Possiamo però definire l’angolo anche come rotazione

O.

di una semiretta intorno alla propria origine, la misura di un angolo diventa allora la misura

dell’entità della rotazione. B

O A

F 1.44: Il verso positivo nella misura degli angoli è quello antiorario

IGURA

Dal momento che una rotazione può essere effettuata in due versi, orario o antiorario, si

assume uno dei due versi di rotazione come positivo e l’altro negativo. Per motivi storici si

è assunto per convenzione come positivo il verso di rotazione antiorario e negativo quello

orario. Da questa definizione segue che dove è l’angolo formato dalla

A OB = −B

OA, A OB

b b b

semiretta rispetto alla semiretta (figura 1.44).

OB OA ◦

Inoltre, la misura di un angolo è definita a meno di un multiplo intero di 360 , ovvero

◦

gli angoli e 360 hanno la stessa ampiezza, lo stesso dicasi per tutti gli angoli del tipo

α α +

◦ ◦ ◦

· ·

360 o 360 con intero. Per esempio, sono tra loro congruenti gli angoli di 45 ,

α + n α − n n

◦ ◦

405 , 765 , . . .

b Esercizi proposti: 1.104, 1.105, 1.106, 1.107, 1.108, 1.109, 1.110, 1.111, 1.112, 1.113, 1.114,

1.115, 1.116, 1.117, 1.118, 1.119, 1.120, 1.121, 1.122, 1.123, 1.124

1.7 Poligoni e poligonale

spezzata

Si chiama una figura formata da una sequenza ordinata di

Definizione 1.41. lati,

segmenti uno consecutivo all’altro. I segmenti che formano la spezzata si chiamano gli

vertici.

estremi dei segmenti si chiamano

42 Capitolo 1. Nozioni fondamentali

Ogni vertice di una spezzata è quindi in comune a due lati, ad eccezione del primo vertice

del primo segmento e dell’ultimo vertice dell’ultimo segmento che appartengono a un solo

segmento. A E

C D

B

F 1.45: La linea è una spezzata, perché formata da segmenti consecutivi. I segmenti

ABCDE AB,

IGURA e sono i lati della spezzata, i punti ed sono i vertici

BC, CD DE A, B, C, D E

chiusa

Un spezzata si dice se il primo estremo del primo segmento

Definizione 1.42. aperta

coincide con l’ultimo estremo dell’ultimo segmento; si dice se il primo estremo e

l’ultimo estremo sono distinti. intrecciata

Un spezzata si dice se almeno due suoi lati si intersecano

Definizione 1.43. semplice non intrecciata

in punti diversi dagli estremi; si dice o se ogni coppia di lati non

consecutivi non ha punti in comune.

(semplice, aperta) (intrecciata, aperta) (semplice, chiusa)

F F F (intrecciata, chiusa)

F

1 2 3 4

F 1.46: La figura è un spezzata semplice aperta (i lati non si intersecano e gli estremi non coinci-

F

IGURA 1

dono); la figura è una spezzata intrecciata aperta (due lati si intersecano e gli estremi non coincidono);

F

2

la figura è una spezzata semplice chiusa (non ci sono lati non consecutivi che si intersecano e ogni

F

3

vertice è in comune a due lati); la figura è una spezzata intrecciata chiusa (due lati si intersecano e

F

4

ogni vertice è in comune a due lati)

poligonale

Si chiama una spezzata chiusa non intrecciata.

Definizione 1.44.

1.7.1 Poligono poligono

Si chiama la figura formata da una poligonale e dalla parte finita

Definizione 1.45.

di piano da essa delimitata.

Sezione 1.7. Poligoni e poligonale 43

In un poligono chiamiamo:

Definizione 1.46.

vertici del poligono i vertici della poligonale;

á lati del poligono i lati della poligonale;

á contorno del poligono la poligonale stessa;

á punti interni i punti del poligono non situati sul contorno;

á punti esterni tutti i punti del piano che non sono interni e non appartengono al

á contorno;

perimetro del poligono il segmento somma dei lati del poligono.

á convesso

Un poligono si dice se è una figura convessa, cioè se il segmento

Definizione 1.47.

che ha per estremi due suoi punti qualsiasi è interamente contenuto nel poligono, si dice

concavo se non è convesso, cioè se esistono almeno due punti per i quali il segmento che li

unisce non è contenuto interamente nel poligono. A B

(a) (poligono convesso) (b) (poligono concavo)

P P

1 2

F 1.47: Il poligono è convesso perché comunque si prendono due suoi punti interni, il

P