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278 pagine
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Indice
CAPITOLO 1
NUMERI REALI E RADICALI
1. NUMERI REALI 3
►1. Dai numeri naturali ai numeri irrazionali 3
►2. I numeri reali 5
►3. Valore assoluto 8
2. RADICALI 10
►1. Radici quadrate 10
►2. Radici cubiche 11
►3. Radici n-esime 12
►4. Condizioni di esistenza 13
►5. Potenze a esponente razionale 14
►6. Proprietà invariantiva e semplificazione delle radici 16
►7. Moltiplicazione e divisione di radici 18
►8. Potenza di radice e radice di radice 21
►9. Portare un fattore dentro il segno di radice 22
►10. Portare uno o più fattori fuori dal segno di radice 23
►11. Somma di radicali 25
►12. Razionalizzazione del denominatore di un frazione 29
►13. Radicali doppi 32
►14. Equazioni, disequazioni e sistemi a coefficienti irrazionali 33
►15. Esercizi di riepilogo 36
CAPITOLO 2
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
►1. Definizioni 2
►2. Risoluzione equazione di secondo grado pura 2
►3. Risoluzione equazione incompleta spuria 3
►4. Risoluzione equazione completa 4
►5. Formula ridotta per equazioni di secondo grado 6
►6. Esercizi vari sulle equazioni di secondo grado 8
►7. Discussione e risoluzione di equazioni numeriche frazionarie 10
►8. Discussione e risoluzione di equazioni letterali 14
►9. Relazioni tra soluzioni e coefficienti 19
►10. Scomposizione del trinomio di secondo grado 22
►11. Regola di Cartesio 24
►12. Equazioni parametriche 25
►13. Problemi di secondo grado in una incognita 29
CAPITOLO 3
EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
►1. Equazioni riconducibili al prodotto di due o più fattori 2
►2. Equazioni binomie 5
►3. Equazioni trinomie 7
►4. Equazioni che si risolvono con sostituzioni 10
►5. Equazioni reciproche 11
CAPITOLO 4
DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
►1. Soluzioni della disequazione di secondo grado 2
►2. Risoluzione grafica di una disequazione di secondo grado 8
►3. Segno del trinomio a coefficienti letterali 16
►4. Disequazioni polinomiali di grado superiore al secondo 19
►5. Disequazioni fratte 22
►6. Sistemi di disequazioni 29
CAPITOLO 5
SISTEMI NON LINEARI
►1. Sistemi di secondo grado 2
►2. Sistemi simmetrici 14
►3. Sistemi omogenei di secondo grado 26
►4. Problemi che si risolvono con sistemi di grado superiore al primo 31
CAPITOLO 6
EQUAZIONI CON MODULI E IRRAZIONALI
1. EQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI 2
►1. Valore assoluto 2
►2. Equazioni in una incognita in valore assoluto
►3. Equazioni con più espressioni in valore assoluto 7
2. EQUAZIONI IRRAZIONALI 10
►1. Equazioni con un solo radicale 10
►2. Equazioni con due radicali 13
►3. Equazioni che contengono due radicali e altri termini 15
CAPITOLO 7
LA PROBABILITA'
►1. Gli eventi 2
►2. Definizioni di probabilità 5
►3. Probabilità dell'evento complementare 14
►4. Probabilità dell'unione di due eventi 15
►5. La probabilità dell'evento intersezione di due eventi 18
►6. Probabilità condizionata 24
►7. Dalla tavola statistica alla probabilità 27
►8. Teorema di Bayes 30
►9. Esercizi dalle prove Invalsi 33
CAPITOLO 8
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE PIANE
►1. Generalità sulle trasformazioni geometriche piane 2
►2. Le isometrie 6
►3. Composizione di isometrie 21
30 Capitolo 2. Radicali
a
√
la frazione è del tipo .
I° Caso: b
Per razionalizzare il denominatore di una frazione di questo tipo basta moltiplicare
√ fattore razionalizzante:
numeratore e denominatore per che prende il nome di
b, √ √
a a
a b b
√ √ √ .
= = b
·
b b b
Razionalizza il denominatore delle seguenti espressioni.
Esempio 2.28. √ √
·
1
1 2 2
√
√ √ ;
á = = 2
·
2 2 2
√ √ √
3 3
3 3 3 3
√ √ √ ;
á = = =
·
2 3 2
2 3 2 3 3 √ √ √
2 2 2 √
1) 1)
1 1 1 1
1)(a 1)
(a − (a −
a − a − a − a −
(a − +
√
√ √ 1.
1)
á = = a −
= = (a +
1 1
a − a −
1 1 1
a − a − a − a
√ con
la frazione è del tipo
II° Caso: n > m.
n m
b √
n n−m
In questo caso il fattore razionalizzante è . Infatti si ha:
b
√ √ √
√
n n n
n
n−m n−m n−m n−m
a a a
a b b a b b
√ √ √
√
√
= = =
=
n n
n n
n b
m n
m n−m
(n−m) ·
m
b b
b b
·
b b
Nel caso in cui prima di razionalizzare possiamo portare fuori dalla radice parte
n < m,
del radicando. Razionalizza il denominatore delle seguenti espressioni.
Esempio 2.29. √
1 3 2
√ : il fattore razionalizzante è 2 , quindi:
á 3 2 √ √ √
3 3 3
2
·
1 1 2 4 4
√ √ √
√ ;
= = =
3 3
3 3 2
2 3
2 ·
2 2 2
√
ab 4 3 2
√ : il fattore razionalizzante è quindi:
á x a b,
4 2 3
xa b √ √ √ √
4 4 4 4
3 2 3 2 3 2 3 2
·
ab ab x a b ab x a b ab x a b x a b
√ √ √ √ ;
= = = =
4 4 4 4 xab x
2 3 2 3 3 2 4 4 4
·
xa b xa b x a b x a b
√ √
3 3
·
1 1
1 b b
√ √ √ √ .
á = = = 2
3 3
3 3 b
5 2 2 ·
b b b b b b
Sezione 2.10. Razionalizzazione del denominatore di una frazione 31
x x
√ √
la frazione è del tipo oppure .
III° Caso: √ √
a + b a − b 2 2
Per questo tipo di frazione occorre sfruttare il prodotto notevole ;
(u + v)(u − v) = u − v
√
√ 3
3
ponendo e si moltiplicano numeratore e denominatore per il fattore che
a = u b = v √
√
2 2 2 2
ci consente di ottenere al denominatore cioè . Il fattore razionalizzante
u − v a − b
√ √
√ √
nel primo caso è quindi e nel secondo è Sviluppiamo solo il primo caso,
a − b a + b.
poiché il secondo è del tutto analogo: √ √ √
√ √ √
·
x ( x( x(
x a − b) a − b) a − b)
√ √ √ √ √
= = =
√ √
√ a − b
2 2
·
a + b ( a + b) ( a − b) a − b
Razionalizza il denominatore delle seguenti espressioni.
Esempio 2.30. √ √ √
√ √ √ √
√
·
2 2 2( 2(
3 5) 3 5) 3 5)
( + + +
√ √ √ √ √
√ √ √ 3 5);
á = = = +
= −(
−2
2 2
·
3 5 3 5) 3 5)
− ( − ( + 3 5
−
√ √ √ √ √ √ √ √ √
·
2 2 2) 2(3 2) 2(3 2) 2(3 2)
(3 + + + +
√ √ √ √ ;
á = = = =
9 2 7
−
2 2
·
3 2 2) 2)
− (3 − (3 + 3 2
−
√ √ √ √ √
2
·
1 1 2
+ a (1 + a) (1 + a) (1 + a) + a + a ∧
√ √ √ √ 6
con 0 1.
á >
= = = a a =
1
1 − a
− a (1 − a)(1 + a) 2
1 − a
x
√
la frazione è del tipo
IV° Caso: √
√
a + b + c
Anche in questo caso si utilizza il prodotto notevole della differenza di quadrati, solo che
l’operazione va ripetuta più volte. 1
√ √ √
Razionalizza .
Esempio 2.31. 2 3 5
+ + √ √ √
Il fattore di razionalizzazione è in questo caso 2 3 5, quindi:
+ −
√ √ √ √
√ √ √ √ √ √ √ √
2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5
1 + − + − + − + −
√ √ √ √ √
√ √ √ √ √
· ;
= = =
2 2 3 2 6 5 2 6
2 3 5 2 3 5 2 3) 5 + + −
+ + + − ( + −
√
il fattore razionalizzante di questa frazione è 6:
√
√ √
√ √ √ √ √ √ √
2 3 5 6 12 18 30 2 3 3 2 30
+ − + − + −
√ √
· .
= =
·
2 6 12
2 6 6 x x
√ √
la frazione è del tipo oppure .
V° Caso: √ √
3 3
3 3
a + b a − b
2 2 3 3
In questo caso si utilizza il prodotto notevole e quello ana-
(u + v)(u − uv + v ) = u + v
√
√ 3
2 2 3 3 3
logo ; ponendo e si moltiplicano numeratore
(u − v)(u + uv + v ) = u − v a = u b = v
32 Capitolo 2. Radicali
3 3 3 3
e denominatore per il fattore che ci consente di ottenere al denominatore o ,
u + v u − v
√ √ √ √
3 3 3 3
3 3 3 3
cioè o . Sviluppiamo soltanto il primo caso:
a + b a − b √
√ √
√
√ √
3
3 3
2 2
a − ab + b
x
3
3 3
2 2
a − ab + b
x x
√ √ √ √
√
· √
= =
√ √ √
3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
2 2
a + b a + b ( a) + ( b)
a − ab + b √ √
√
3 3
3
2 2
x a − ab + b .
= a + b
1
√ √
Razionalizza .
Esempio 2.32. 3 3
2 3
− √ √
√
3 3
3
2 2
·
Il fattore di razionalizzazione è in questo caso 2 2 3 3 , quindi:
+ +
√ √
√ √ √
√
3 3
3
2 2
· ·
1 2 2 3 3
+ + 3 3 √ √ √
3
2 2
·
2 2 3 3
+ +
3 3 3
4 6 9 .
= = − + +
√ √
√ √ √
2 3
−
3 3
3 3 3
2 2
· ·
2 3 2 2 3 3
− + +
b Esercizi proposti: 2.84, 2.85, 2.86, 2.87, 2.88, 2.89, 2.90, 2.91, 2.92, 2.93, 2.94
2.11 Radicali doppi √ √
p p
radicale doppio
Si dice un’espressione del tipo oppure
Definizione 2.7. a + b a − b.
2
Se l’espressione è un quadrato perfetto, i radicali doppi possono essere trasformati
a − b
nella somma algebrica di due radicali semplici per mezzo della seguente formula:
√ √
s s
√ 2 2
q a + a − b a − a − b
± ±
a b = 2 2
Trasforma, se possibile, i seguenti radicali doppi in radicali semplici.
Esempio 2.33. √ √
r r √
√ √
r r
7 49 40 7 49 40 7 3 7 3
+ − − − + −
p 7 40 5 2;
á − = − = − = −
2 2 2 2
√ √ √
√
s s
√ r r
2 2
2 2 3 2 2 3 3 1 3 2
+ − − − −
p √
2 3 , razionalizzando
á − = − = − =
2 2 2 2 2
√ √ √
√ √ √
·
3 2 3 2) 2 6 2
− ( − −
√ √ √ ;
il denominatore si ottiene: = = 2
·
2 2 2
√
√ p
p 7 2 6 7 24 per applicare la formula abbiamo portato il fattore 2 dentro la
á + = + √ √
r r
√ √
r r
7 49 24 7 49 24 7 5 7 5
− − − − + −
p
radice: 7 24 6 1;
+ = + =
+ = +
2 2 2 2
Sezione 2.12. Equazioni, disequazioni e sistemi a coefficienti irrazionali 33
√ √
√ √ r r
r r
√ 5 25 3 5 25 3 5 22 5 22
+ − − − + −
p 5 3 la formula non
á + = + = +
2 2 2 2
è stata di alcuna utilità in quanto il radicale doppio non è stato eliminato: in questo caso
2
infatti 5 3 25 3 22 non è un quadrato perfetto.
− = − =
b Esercizi proposti: 2.95, 2.96, 2.97, 2.98
2.12 Equazioni, disequazioni e sistemi a coefficienti irrazionali
Avendo imparato come operare con i radicali puoi risolvere equazioni, sistemi e disequa-
zioni con coefficienti irrazionali.
2.12.1 Equazioni di primo grado
Risolvi le seguenti equazioni.
Esempio 2.34. √ √
√ √
9 3 3
9 9
√ √ √
⇒ ·
3x 9 3;
3
á = x = = = =
3
3 3 3
√ √
√ √
3 1)x 6 2x 2(3 2 1) 1.
á ( − − = − + + √ √
√
√
3 1)x 6 2x 2(3 2 1) 1
− − = − + +
( √
√
√ ·
⇒ 3x 6 2x 3 2 2 1
− x − = − − +
√
√ √
⇒ 3x 3x 6 2 5
− = − −
√
√ √
⇒ 3 3) 6 2 5
x( − = − −
√
√
6 2 5
− −
√
⇒ .
x = 3 3
−
Razionalizziamo ora il denominatore:
√ √
√ √ √
√ √ √ √ 5 5
6 2 5 3 3 3 2 3 6 6 5 3 15 6 3
− − + + − − −
√ √
· .
x = = =− + +
3 9 3 6 2
−
3 3 3 3
− +
2.12.2 Disequazioni di primo grado
Risolvi le seguenti disequazioni.
Esempio 2.35.
√ √
3 1)x 3.
á 6
( − √
3
√
Il coefficiente dell’incognita è positivo, quindi e razionalizzando si ha
6
x 3 1
−
√
3 3
+ ;
6
x 2
√ √
2x(1 2) 2.
á >
− −3
34 Capitolo 2. Radicali
√
2
−3 √
Il coefficiente dell’incognita è negativo, quindi e razionalizzando si ha
6
x 2(1 2)
−
√
3
3 2.
6
x + 2
2.12.3 Sistemi di primo grado
√ √
2) 2(2
x(2 + + y = + x)
√
√
Risolvi .
Esempio 2.36. 2
2 1)y 2y)
x − ( + = − (1 +
2
Eseguiamo i calcoli per ottenere la forma canonica:
√ √ √ √
2x 2 2 2 2 2x 2 2
+ x + y = + x + y = √
√ ⇒
√ √
2 2
2 2
x − y − y x − y = −
− y = − 2 2
e con il metodo di riduzione, sommando le due equazioni otteniamo:
√
√ √
2
√ 2 2
x =
2
3x 2 x =
−
= 2 √
⇒ ⇒ .
2 2
√ √
√ 2
2 2x 2
2 −
y = y =
2 2
2 −
y = 2
b Esercizi proposti: 2.99, 2.100, 2.101, 2.102, 2.103, 2.104, 2.105, 2.106, 2.107, 2.108, 2.109
Sezione 2.13. Esercizi 35
2.13 Esercizi
2.13.1 Esercizi dei singoli paragrafi
2.1 - Radici
Determina le seguenti radici quadrate razionali (quando è possibile calcolarle).
2.1. √ √
q
a) 9; 0,04;
k )
49
g) ;
√ √
81
b) l )
36; 0,09;
√
√ q 121
h) ;
c) m ) 0,000 1;
−49; 100
√ q
q
d) 64; 144
144 ;
n)
i) ;
√ 9
36 √
e) −81; q o) 0,16.
−1
j) ;
q 16 4
f) ;
25
Determina le seguenti radici quadrate razionali (quando è possibile calcolarle).
2.2. √ s
a) −0,09; r √
√ q p
13 7 1 6 9;
f) + + + +
·
25 16;
b) √ ·
c) 36 49; r
√ √
q p
·
0,04 0,012 1;
d) g) 5 14 2 4.
+ + +
q 1
e) ;
100
Senza usare la calcolatrice determina per ciascuna delle seguenti radici quadrate il valore
2.3. √ √
√ √ q
q 1 17
, .
approssimato a 1/10: 3, 5, 7, 11, 2 4
Estrai le seguenti radici di espressioni letterali, facendo attenzione al valore assoluto.
2.4. √ √ √
2 2 2
a) 2a 1; b) 4x 8x 4; c) 9 12a 4a .
a + + + + − +
Senza usare la calcolatrice determina per ciascuna delle seguenti radici cubiche il valore
2.5. √ √
√ √ √ √
3 3
3 3 3 3
approssimato a 1/10: 3, 4, 7, 100, 25, 250.
∗
( ). Determina le seguenti radici (se esistono).
2.6 √ √ q
3 3
a) 27; e) 125; 64
3
h) ;
−
√ √ 125
3 3
b) f)
64; −216;
√ q 1 000
3
i ) .
q
3
c ) −1; 8
3 27
g) ;
√ 27
3 1 000;
d )
∗
( ). Determina le seguenti radici (se esistono).
2.7 √ r
3 √
a) 0,001; q
3 3 p
3 3
e) 25 3 122 27;
+ + +
q 1
3
b) ; √
8
√ p
3 ·
f) 27 64;
3 √
c ) −0,008; 9
g) 0;
r √
√
q
3 3 p 8
3 3 h) −1;
d) 4 61 25 8;
+ + + √
5
i) 000.
−100
36 Capitolo 2. Radicali
∗
( ). Determina le seguenti radici (se esistono).
2.8 √
√ 10
4 f)
a) 0,000 1; 0;
√ √
4 4
b ) 81; g ) 0,008 1;
√
6 r
64;
c) √
q
5 4 p 3
h) 34 14 2 8;
− + +
q 32
5
d) ;
243
√ r √
q
4 3
e ) p
−4; 4 5
i) 20 121 253 243.
+ + +
∗
( ). Determina le seguenti radici (se esistono).
2.9 √ √ √
p p q
a ) d )
21 16; 0,16;
+ p
√ g) 72 80 1;
+ +
√ 5
p
5 −5
4 ·
32 10 ;
e )
31 1;
b ) + q 4
√ 25a
√ h) ;
q
p
5 p 9
c) 240 9;
+ · √
f ) 3 37 4 81 27;
− p
4 4
620 625.
i) +
∗
( ). Determina le seguenti radici (se esistono).
2.10 √
√ √ √
p 3
4 6 4 2
a ) 24 336; e ) 9a 27a 27;
a + + +
·
c ) 600 25 25;
+ √
√ √ 3
5 3 2 3
3 2
b ) 243; f ) 1 6x 12x 8x .
− + −
d ) 8a 12a 6a 1;
+ + +
2.2 - Condizioni di esistenza
∗
( ). Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali.
2.11 √ √ r
3 3 1
1; e) 3xy;
a) x +
√ 5 ;
h)
p
4 2 2 3
b ) 1 f ) ;
− x; −2x y x
r
r s 4 − x
1 2 1
x + i) .
c) ; 4
g) ; 3
x −
1
x + 1
x −
p 2
3x
d ) y;
∗
( ). Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali.
2.12 s
|x|;
p p
2
a ) 1); e ) 1
x (x + + 2 1
x + x +
√ 3
i) ;
3 p
2
b ) 1 ; f ) 1)(a 2);
+ a (a − − 2
√
√ 2x 1
x + +
|x|
p 3
6 ·
2x 1; 1 1;
c ) g )
− + x + r r
1 1
x −
|x
√ r p 4
·
1 j) 1 .
h ) 1| 1; −
− − 2
d) 1 2 ;
− x + 3 − x
x
1
x −
∗
( ). Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali.
2.13 r r r
a
5 − x 2 x
;
d)
a) ; g) ;
+
2 2
a − a −
2
x + 2
x
s r r 1
x −
1
2y 6 ;
h)
e) ;
b) ; |x|
2 4
b −
2
1)
(2y + s r 2
2 4x 4 8x
+ +
1)
(x −
r 4
3
x − .
i)
f) ;
;
c) 9
3)(x 2)
(x − +
1 − x
Sezione 2.13. Esercizi 37
∗
( ). Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali.
2.14 √ √
4 r
4
2 3 3 2 7 − x
a ) ; c ) ;
a b x − x 6
√ e) .
r
6 2
b ) 3
−x; x −
4 ;
d) 2x 1
+
∗
( ). Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali.
2.15 r
s r 2
a +
1
m +
3
2
1 2b 4
b + + g) ;
d) ;
6 ;
a) 4)
a(a −
1
m −
6
729b p r
3 2 1
e ) 2) ;
x(x +
r 1)
x(x − h) ;
r 2
b) ; 4
1 b −
+ a
4
x − f) ; s
2 3
a a
r 1 1 2 i) .
;
c) + + 2 6a 9
a + +
2 2 xy
x y
∗
( ). Determina le condizioni di esistenza dei seguenti radicali.
2.16 x
s r
s
2 3
x x i) ;
3 |x
a) ; d) ; 1|
+
2 3
1 1
x + x +
√ r 1
s e) 2x 3;
+ j) ;
2 √
4
x − 2 1
−x −
3
b) ; 2
f) 1;
a −
2
x − s √
2
p 1
x +
g) 1)(x 2);
x(x + + 2
r k) 1.
+ x −
x |x|
p
c) ; 1
x −
1;
h) +
2 1
x +
2.3 - Potenze a esponente razionale
Calcola le seguenti potenze con esponente razionale.
2.17. 3 5 3
−
; ;
a) 4 e ) 16
1
2 4 2 ;
h)
2 4
b) 8 ; 8
9
3 3
f) ;
1 3
− −
;
c) 9 4 ;
i ) 25
2 2
3 4
2
−
d) 16 ; g ) 125 ; j ) 27 .
4 3 3
∗
( ). Calcola le seguenti potenze con esponente razionale.
2.18 2 2 2
− −
a ) 32 ;
f) ;
(0,008)
1
5 3 3
;
d) −
1 0,5
− g) 4 ;
b ) 49 ; 27
2 0,25
1 5 h) 16 ;
− −
1
2 4 2
c) ; 0,2
e) ; i) 32 ;
4 9 0,5
j) 100 .
∗
( ). Trasforma le seguenti espressioni in forma di potenza con esponente frazionario.
2.19 √ s r 1
a ) 2;
1
√ 3 ;
g)
e) ;
3 2
b ) 8 ; 25
3
3
√
7 r 2
3
c ) 5 ; 4
√ r 5
1 h) .
3
3 f) ;
d ) 3 ; 2
3
2
3
38 Capitolo 2. Radicali
∗
( ). Trasforma nella forma radicale le seguenti espressioni.
2.20 23
1 1
4
23
2
2 5
a) 1 1 ;
a + + .
b ) 1 1
+ + a 3
Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri:
2.21. √
10 0,1 −10
0,000 000 01, , , 10 , 0,000 000 000 1.
