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Sintesi
In questo volume sull’Elettromagnetismo abbiamo esposto i principali argomenti della disciplina dando una trattazione chiara, esaustiva e di agevole consultazione degli stessi. I vari teoremi sono stati dimostrati spiegando accuratamente i procedimenti matematici di cui la Fisica si avvale. Cio permettera al lettore di intraprendere lo studio dell’Elettromagnetismo rimuovendo subito dubbi e difficolta iniziali, e gli consentira di approfondire la sua preparazione su altri testi di Fisica. A parziale completamento del presente lavoro, la propagazione delle onde elettromagnetiche nellospazio e lo studio delle leggi che Maxwell ha posto a base della corrispondente teoria saranno trattati in un altro volume.



Latina, Aprile 2003



Nazario Magnarelli

Indice

INDICE



PREFAZIONE
BIBLIOGRAFIA
CAPITOLO 1: Elettricità
1.1 Legge di Coulomb
1.2 Concetto di campo elettrico
1.3 Lavoro del campo elettrico generato da una carica puntiforme e potenziale del campo
1.4 Carattere irrotazionale del campo elettrico
1.5 Alcune considerazioni sul gradiente di una funzione scalare
1.6 Potenziale di un punto di un campo elettrico ed energia potenziale
1.7 Dipolo elettrico
1.8 Azioni meccaniche sui dipoli elettrici posti in un campo elettrico esterno
1.9 Energia di un campo elettrostatico
1.10 Dimostrazione elementare della formula del lavoro elettrico
1.11 Flusso del vettore campo elettrico attraverso una superficie chiusa (Teorema di Gauss)
1.12 Spostamento delle cariche elettriche in un campo elettrico o in un conduttore
1.13 Superfici equipotenziali del campo elettrico
1.14 Alcune considerazioni sul significato di gradiente
1.15 Campo elettrico e potenziale di un conduttore in equilibrio elettrostatico
1.16 Potenziale e campo elettrico di una sfera elettrizzata
1.17 Campo elettrico generato da un distribuzione superficiale di cariche
1.18 Gli integrali nel calcolo dell’intensità dei campi elettrici
1.19 Teorema di Coulomb
1.20 Pressione elettrostatica
1.21 Potere dispersivo dellepunte
1.22 Capacità elettrica di un conduttore isolato
Capacità di una sfera isolata
1.23 Elementi da cui dipende la capacità di un conduttore
1.24 L’elettroscopio come elettrometro
1.25 Condensatori elettrici
1.26 Elettroscopio condensatore di Volta
1.27 Energia di un condensatore
1.28 Energia di un condensatore; II° metodo
1.29 Elettrometri
1.30 Procedimento elementare per la determinazione dei potenziali
1.31 Scarica di un condensatore attraverso una resistenza
1.32 Carica di un condensatore attraverso una resistenza
CORRENTE CONTINUA
1.33 Energia di una corrente continua ed effetto Joule
Potenza di una corrente continua
1.34 Legge di Ohm per un circuito chiuso
1.35 Leggi di Kirchhoff
Applicazione





CAPITOLO 2: MAGNETISMO80
2.1 Campo magnetico di una calamita o di un circuito elettrico80
2.2 Vettore induzione magnetica 81
2.3 Azioni meccaniche esercitate da un campo magnetico su una spira percorsa da corrente83
2.4 Forza di Lorentz85
2.5 Legge di Biot e Savart87
2.6 Prima formula di Laplace88
2.7 Campo magnetico nel centro di una spira90
2.8 Campo magnetico sull’asse di una spira91
2.9 Campo magnetico in un punto interno ad un solenoide92
2.10 Sulla proprietà fondamentale del campo di induzione magnetica94
2.11 Elettrodinamometro assoluto95
2.12 Circuitazione di un vettore96
2.13 Teorema della circuitazione di Ampère (prima parte)98
2.14 Teorema della circuitazione di Ampère (seconda parte)99
Linea chiusa non concatenata100
2.15 Espressione differenziale del teorema della circuitazione di Ampère101
2.16 Il campo di induzione magnetica entro un solenoide102
2.17 Momento magnetico di un magnete104
2.18 Campo magnetico di un dipolo105
2.19 Teorema dell’equivalenza di Ampère106
2.20 Correnti indotte: leggi di Faraday e di Lenz108
2.21 Induzione elettromagnetica e legge di Faraday-Neumann.110
2.22 Corrente indotta e principio di conservazione dell’energia.114
2.23 Forma differenziale della legge di Faraday-Neumann-Lenz116
2.24 Autoinduzione117
2.25 Dinamo e alternatore119
Alternatore monofase119
Corrente alternata120
2.26 La corrente elettrica in un circuito oscillante RLC123
2.27 Oscillazioni forzate in un circuito RLC125
2.28 Potenza di una corrente alternata129
2.29 Energia del campo magnetico generato da una corrente129
2.30 Energia del campo magnetico generato da una corrente elettrica (altra dimostrazione)131
CAPITOLO 3: IL GALVANOMETRO BALISTICO135
3.1 Elementi costruttivi di un galvanometro balistico135
3.2 Moto dell’equipaggio di un galvanometro137
3.3 Uso del galvanometro balistico nella misura della corrente di scarica di un condensatore.144
3.4 Misura della costante dielettrica del vuoto per mezzo dell’elettrometro assoluto151

Estratto del documento

N. Magnarelli Elettromagnetismo MATEMATICAMENTE.IT

1.2 Concetto di campo elettrico

Q q

= 0

La legge di Coulomb permette di calcolare la forza che si esercita fra due cariche

F k 2

r

elettriche puntiformi poste in un dielettrico qualsiasi ad una distanza r una dall’altra. Essa, però, non

ci dà nessuna informazione sulla natura di tale forza e sul meccanismo con il quale essa si trasmette

nello spazio.

In ogni caso questa forza non va interpretata come un’azione a distanza, esercitata in maniera diretta

da una carica sull’altra. Dobbiamo invece pensare che nell’istante in cui forniamo, per esempio, ad

Q , questa modifichi lo spazio circostante e generi un nuovo stato

una sferetta una carica elettrica 0

di cose che si dice campo elettrico. In altre parole, lo spazio geometrico si trasforma in uno spazio

fisico il quale ha particolari proprietà che non possiede lo spazio geometrico.

Proprio per mezzo di questo campo la carica elettrica Q esercita la sua forza di attrazione o di

0

repulsione su un’altra carica q - detta carica esploratrice - che rappresenta l’ente spia a mezzo del

quale è possibile rivelare l’esistenza del campo elettrico. In altre parole, quando noi introduciamo la

carica esploratrice q in un punto P dello spazio sufficientemente vicino alla carica Q , il campo

0

elettrico già esiste, ma esso viene rivelato dalla forza che agisce sulla carica esploratrice q.

F

dipende dal valore della carica esploratrice e dal particolare valore del

Naturalmente la forza F

campo elettrico nel punto considerato.

Se vediamo le cose in questo modo, possiamo definire in ogni punto P dello spazio un vettore E ,

0

funzione delle coordinate cartesiane del punto e della carica Q che genera il campo elettrico; esso

0

F

=

è dal rapporto E tra la forza che agisce sulla carica q e la carica stessa e si dice intensità

F

0 q

del campo elettrico nel punto P, o semplicemente campo elettrico.

Si ha quindi per definizione

Q

F

= = 0

E , da cui .

E k vers r

0 0 2

q r

Riassumendo:

F

=

E tra la forza che agisce

Si dice campo elettrico in un punto P dello spazio il rapporto 0 q

su una carica elettrica posta nel punto P e la carica stessa. Esso è una funzione vettoriale

Q

definita in ogni punto dello spazio vicino ad una carica e descrive la perturbazione che la

0

carica stessa crea intorno ad essa.

E

Per estensione si dice campo elettrico anche la porzione di spazio in cui la funzione è

0

definita.

In generale si dice “campo” l’insieme dei valori che una data grandezza fisica assume in ogni punto

P di una certa regione dello spazio ed espressa in funzione delle coordinate spaziali (x,y,z) del punto

stesso.

Se la grandezza fisica è rappresentata da un vettore , funzione delle coordinate spaziali (x,y,z)

E

=

del punto P, il campo si dice vettoriale e si scrive .

E E(x, y, z)

Se invece la grandezza fisica è una grandezza scalare (es. densità, temperatura ecc.), funzione

sempre delle coordinate (x,y,z) del punto P,il campo si dice scalare e si scrive, per esempio,

= .

u u(x, y, z) 11

N. Magnarelli Elettromagnetismo MATEMATICAMENTE.IT

Il campo elettrico E , essendo il rapporto tra una grandezza vettoriale ed una scalare, è anch’esso

0

un vettore che ha il verso della forza se q>0, ha il verso contrario se q<0.

F

OP

In ogni caso, il vettore E è orientato come il vettore se la carica che genera il campo è

0

F

=

positiva; è orientato in senso contrario se la carica Q è negativa. Dalla formula E si ha

0

0 q

= .

F qE 0

1.3 Lavoro del campo elettrico generato da una carica puntiforme e potenziale del campo.

E generato da una carica puntiforme q posta in un punto O

Considerando il campo elettrico 0 o

dello spazio (fig. 1-3). Il campo elettrico in un punto P è dato dalla formula:

() q r

= o

E r k

(1) ,

0 2 r

r

OP

ove con abbiamo indicato il vettore .

r

( ) ≠ ≠

Il vettore E r è definito per r 0 , cioè per ogni punto P O dello spazio. Sappiamo che una

0

carica q posta nel punto P è soggetta alla forza

=

F qE 0

ossia

q q r 1

= =

o

F k ove

(2) k πε

2 r 4

r o

B Il lavoro L che le forze del campo compiono per

qE

0 γ(A,B)

F trasportare la carica q dal punto A al punto B lungo

A una linea γ è dato dall’integrale:

q

A

q P

q q

∫ r

= ×

o ℓ

L k d

γ

qE (A,B)

0 2 r

r

r γ (A,B)

Fig. 1

O q

0 Figura 1-3 q q

= ⋅

o

cioè (3) ,

L k dr

γ (A,B) 2

r

( )

γ AB B  

 

1 1 1

∫ −

2

= − = −

L kq q r dr = ,

kq q kq q  

 

γ (A,B) o o o

 

r r r

 

A B

A

γ (A,B)

 

q q ( )

= − −

 

o 0

 

L q k k

(4) = ,

q V (r ) V r

 

γ (A,B) 0 A 0 B

r r

 

A B 12

N. Magnarelli Elettromagnetismo MATEMATICAMENTE.IT

q

( ) = ≠

o

dove è + c per .

V r k 0

r

0 r

La (4) ci dice che il lavoro che le forze del campo compiono per trasportare la carica q dal punto

γ che li unisce .

A al punto B dipende solo da questi due punti e non dalla particolare curva

Nel caso di una qualsiasi curva regolare chiusa, cioè per A B , la (4) ci dà:

q q =

o

∫ .

(4’) k dr 0

2

r

±γ

E

Le (4), (4’) ci dicono che il campo elettrico è conservativo, e come tale esso si può esprimere

0

come gradiente di una funzione scalare V (r) , ossia :

0

= −

E grad (V )

(5) .

0 0

d ambo i membri della (5) si

Vogliamo trovare questa funzione. Moltiplicando scalarmene per

ottiene:

× = − ×

ℓ ℓ

E d grad(V ) d ,

0 0

∂ ∂ ∂

V V V

× = − − −

0 0 0

(6) E d dx dy dz .

0 ∂ ∂ ∂

x y z

Il secondo membro della (6) è il differenziale, cambiato di segno, della funzione scalare V (r). Si

0

ottiene così la notevole relazione

= − × ℓ

dV E d

(7) ,

0

0

q r

= − ×

o ℓ

dV k d

ossia ,

0 2 r

r q

= − o

da cui .

dV k dr

0 2

r

Integrando questa equazione differenziale si ottiene:

∫ ∫ −

= − × 2

dV kq r dr ,

0 o

cioè q

= +

o

(8) .

V (r) k c

0 r

E

Le (5), (8) ci dicono che il campo elettrico generato da una carica puntiforme è uguale al

0

gradiente, cambiato di segno, della funzione scalare

q

= +

o . Questa funzione, determinata a meno di una costante, si dice

V k c potenziale elettrico

0 r

del punto P del campo. 13

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La (7) ci dice che Il lavoro elementare del campo elettrico riferito all’unità di carica positiva è

uguale al differenziale, cambiato di segno, del potenziale elettrostatico.

La formula

= −

E grad(V )

0 0

ci permette subito di ritrovare la relazione (4) del lavoro elettrico. Infatti si ha :

B

∫ ∫ ∫

= × = − × = −

ℓ ℓ

L qE d q grad(V ) d q dV

0

γ (A,B) 0 0

γ γ

(A,B) (A,B) A

= − e quindi

L q [V (r ) V (r )]

(A,B) 0 A 0 B q q

= −

o o

(9) .

L q [k k ]

(A,B) r r

A B γ

Nella (9) e nella formula precedente abbiamo omesso di indicare la curva per ricordare che il

γ

lavoro del campo elettrico fra due punti A e B non dipende dalla particolare linea che unisce i

due punti considerati.

d

Moltiplicando scalarmente per ambo i membri della (9) si ha

∂ ∂ ∂

V V V

× = − × = − − −

o o o

ℓ ℓ

(*) E d grad V d dx dy dz .

o o ∂ ∂ ∂

x y z

Si ottiene così la notevole relazione

× = −

E d dV

0 0

cioè: il lavoro elementare del campo elettrico riferito all’unità di carica è uguale al differenziale,

= −

E grad V

cambiato di segno del potenziale elettrostatico. La formula ci permette subito di

0 0

ritrovare la formula (4) del lavoro elettrico. Infatti si ha B

∫ ∫ ∫

= × = − × = −

ℓ ℓ

(*) L qE d q grad V d q dV ,

0

γ (A,B) 0 0

γ γ

(A,B) (A,B) A

B

( )

= −  

L q V r

 

γ (A,B) 0 A

( ) ( )

= −

  .

L q V r V r

 

γ (A,B) 0 A 0 B

14

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1.4 Carattere irrotazionale del campo elettrico

Vogliamo dimostrare che il campo elettrico E generato da una carica puntiforme q è

0 o

=

irrotazionale, ossia rotE 0 .

0

Infatti si ha:

i j k

∂ ∂ ∂

=

(1) rotE .

0 ∂ ∂ ∂

x y z

k q x k q y k q z

o o o

3 3 3

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2

+ + + + + +

2 2 2

x y z x y z x y z

rot E secondo l’asse x. Si ha:

Esaminiamo la componente del vettore 0

∂ ∂

E E

= −

0Z 0Y

rot E 0

X ∂ ∂

y z

Calcolando a parte le due derivate parziali si ottiene:

 

3 5

∂ ∂ ( ) ( )

− −

E 3

 

2 2 2 2 2 2

= + + = − + + ⋅

0Z 2 2

kq z x y z kq z x y z 2y ,

o o

∂ ∂  

y y 2

 

E zy

= −

0Z 3kq o

∂ 5

y ( )

2 2 2

+ + 2

x y z

 

3 5

∂ ∂ ( ) ( )

− −

E 3

 

2 2 2 2 2 2

= + + = − + + ⋅

0Y 2 2 ,

kq y x y z kq y x y z 2z

o o

∂ ∂  

z z 2

 

E zy

= −

0Z .

3kq o

∂ 5

y ( )

2 2 2

+ + 2

x y z

=

rot E 0

Ne segue 0

X

= =

rot E 0 rot E 0

Analogamente, e .

0 0

Y Z

Riassumendo i risultati, si verificano due condizioni

15

N. Magnarelli Elettromagnetismo MATEMATICAMENTE.IT

( ) ≠

E

a) Le componenti E , E E del vettore sono definite per ogni punto P O dello spazio

ox oy, oz 0

(xyz) ; ne segue che esse sono definite per ogni dominio A delimitato da due sfere concentriche di

centro O, che è un dominio a connessione lineare semplice (infatti, comunque si tracci in A una

poligonale semplice e chiusa, essa è sempre il bordo di una superficie poliedrica tutta costituita da

punti di A ). E E Eoz

b) Le componenti sono continue in A assieme alle loro derivate parziali prime e per

ox oy,

ogni punto di A si verifica: ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

= x y z

rot E 0 o se si vuole =0 , da cui

0 E E E

ox oy oz

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

E E

E E

E E

oy oy

oz ox

ox oz

= =

=

, , .

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

y z x y

z x

Quando sono soddisfatte le condizioni a) e b), un importante teorema di analisi matematica ci

assicura che l’integrale

∫ × ℓ

E d

0

γ (A,B) γ che li unisce (quindi possiamo

dipende solo dai punti A, B e non dalla particolare linea

( )

γ V x y z

omettere il pedice ) ed esiste una funzione , , ,

0

definita in A , per cui si ha :

× = −

E d dV

0 0

= −

E gradV .

o se si vuole 0 0

Analisi matematica II

(Vedi A. Ghizzetti, , p. 234 – Ed. Veschi,1954).

Il verificarsi di queste due condizioni ci permette di dire che:

α) il campo elettrico E generato dalla carica puntiforme q è conservativo e quindi il lavoro

0 0

non dipende dalla particolare traiettoria γ seguita dalla carica q;

L γ (AB)

β) il campo elettrico E si può esprimere come gradiente di una funzione scalare

0

q

( ) = +

0 , detta potenziale, e quindi si ha:

V r k c

0 r

= − = − × ℓ

E grad V dV E d

(2) , da cui .

0 0

0 0

La costante c che compare nella formula del potenziale (4) non porta nessuna difficoltà nei calcoli;

infatti nei casi pratici interessano solo differenze di potenziale (si scrive d.d.p.) e quindi la costante

c si elimina automaticamente. ( )

∞ =

V

Generalmente si assume che il potenziale si annulli nei punti all’infinito, cioè 0 ; in tal

0

caso dalla (4) si ha c = 0 e la formula del potenziale diventa:

q

( ) = o

(6) .

V r k

0 r

16

N. Magnarelli Elettromagnetismo MATEMATICAMENTE.IT

E

Abbiamo visto che il campo elettrico si può esprimere come gradiente di una funzione scalare

0

=

V kq r . Possiamo quindi scrivere:

0 o kq

= − = − o

(7) .

E grad V grad

0 0 r

Vogliamo verificare direttamente che la formula (7) è esatta. Infatti, ricordando la definizione di

gradiente possiamo anche scrivere

∂ ∂ ∂

V V V

0 0 0

= − − − , da cui:

E i j k

0 ∂ ∂ ∂

x y z

∂ ∂ ∂

V V V

0 0 0

= − = −

= −

(8) , , .

E E

E

0X 0Z

0Y

∂ ∂

x z

y

Verifichiamo che le tre relazioni (8) sono esatte; basta verificare la prima di esse. Si ha

1

∂ ∂ ∂ ( ) −

V 1 2 2 2

= − = − = − + + ≠

0 2 con .

E kq kq x y z 0

r

0X o o

∂ ∂ ∂

x x r x

Ricordando il calcolo della derivata parziale di una funzione composta si ha:

3

( ) −

  kq x

1 2 2 2 o

= − − + + ⋅ =

2

E kq x y z 2x

 

0X o 3

 

2 ( )

2 2 2

+ + 2

x y z

da cui kq x q

x x

o o

= ⋅ =

E → .

E k

0X 0X

2 2 2 1 2

+ + r

x y z ( ) r

2 2 2

+ + 2

x y z ∂  

1

− rappresenta effettivamente la componente

Abbiamo così dimostrato che la derivata kq  

o ∂  

x r

E E x

del campo elettrico secondo l’asse . La dimostrazione delle altre due relazioni (82) è

0

0 X

perfettamente analoga. Se ora ricordiamo che risulta identicamente

( ) =

rot grad V 0 ,

0

= −

E grad V

si ha la riprova che il campo elettrico è irrotazionale nei punti dello spazio in cui

0 0

esso è definito, cioè nei campi che non contengono l’origine O del riferimento Oxyz.

17

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1.5 Alcune considerazioni sul gradiente di una funzione scalare.

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