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Dopo una breve introduzione alla teoria delle curve differenziabili nello spazio ordinario, l'autore introduce in modo semplice e intuitivo le superfici parametrizzate e presenta subito la questione più delicata e feconda, ovvero la nozione di metrica indotta dallo spazio ordinario sulla superficie. Passa quindi allo studio delle linee geodetiche, per le quali offre, in modo intuitivo ma ricco di spunti, parecchi aspetti di notevole interesse e ben collegati con altre parti della matematica moderna, in particolare il Calcolo delle Variazioni. Infine è d'obbligo la teoria della curvatura, anch'essa presentata in modo semplice, chiaro e a partire dalle vecchie ma brillanti idee di Gauss e Riemann.
Il testo risulta adatto a tutti coloro che hanno una buona conoscenza dell'Algebra lineare e dell'Analisi matematica in dimensione finita, per esempio studenti dei primi anni delle facoltà di Scienze o di Ingegneria.
Dortmund (Germania) Luglio 2010
Luca Lussardi
Prefazione
La geometria differenziale delle ordinarie superfici diè una branca della matematica estremamente bella e stimolante. Essa conduce naturalmente, se generalizzata ad n dimensioni, alla geometria riemanniana ed al connesso calcolo tensoriale. Queste ultime costituiscono la base matematica della teoria della relatività generale, universalmente considerata la più bella teoria fisica, fra le più alte vette del pensiero umano di tutti tempi.
Questa doppia valenza, matematica e fisica, secondo me, rende la geometria differenziale ancora più interessante ed affascinante.
In queste pagine, mi propongo di introdurre il lettore in questo mondo stupendo facendogli vivere la stessa "emozione" di un "esploratore" che entra in una terra sconosciuta. In cambio, come prerequisito, è richiesta una buona conoscenza della matematica di base, almeno a livello di biennio universitario di matematica, fisica, ingegneria o simili.
Lo stile è descrittivo/intuitivo. Il formalismo è snello e pratico. Non mi dilungo in inutili tecnicismi matematici, né utilizzo un linguaggio ampolloso e pedante, ben sapendo però che ciò è a scapito del rigore formale matematico. Dovendo scegliere - fra rigore e pragmatismo - ho preferito l'approccio pragmatico, avendo io la forma mentis di un fisico. Darò, quindi (a parte doverosi approfondimenti), per scontate tutte le condizioni di regolarità delle situazioni e delle funzioni in gioco, cioè darò per scontato che le cose "siano tali da funzionare correttamente".
Infine, desidero ringraziare Antonella Valzania, segretaria del Circolo Matematico Cesenate, per la correzione delle bozze.
Cesena, dicembre 2009
Arrigo Amadori
•
Indice
Presentazione
Prefazione
Introduzione
1 Le curve
1.1 Il vettore tangente
1.2 Lunghezza
1.3 Curvatura
2 Le superfici
2.1 Vettori tangenti ad una superficie
2.2 Campi vettoriali
2.3 Metrica
2.3.1 Prodotto interno sul piano tangente,tensore metrico
2.3.2 Angolo fra due vettori del piano tangente
2.3.3 Lunghezze su superficie, elemento di linea
2.3.4 Aree su superficie, elemento di superficie
3 Le geodetiche◦3.1 Rudimenti di calcolo variazionale
3.2 Geodetiche nello spazio euclideo tridimensionale (approccio variazionale)
3.3 Geodetiche sulle superfici (approccio variazionale)
3.4 Geodetiche sulle superfici (approccio vettoriale)
3.4.1 Derivata covariante
3.4.2 Campo parallelo. Spostamento parallelo
3.4.3 Geodetiche
4 Curvatura
4.1 Curvatura gaussiana
4.2 Il teorema egregium
4.3 La curvatura dal punto di vista del trasporto parallelo
4.4 La curvatura dal punto di vista delle geodetiche
•
Autore
Arrigo Amadori
Arrigo Amadori (Cesena, 1950) laureato in Fisica ha insegnato nelle scuole superiori, attualmente svolge attività di divulgazione scientifica, nel 2007 ha fondato il Circolo Matematico Cesenate, è autori di libri sulla meccanica quantistica e il calcolo differenziale.
A. Amadori Il viaggio perfetto
1
A. Amadori Il viaggio perfetto
Arrigo Amadori
Il viaggio perfetto
Come diventare
esploratori di superfici
2
A. Amadori Il viaggio perfetto
EDITING
ANTONIO BERNARDO
---------------
© 2011 Matematicamente.it
Corso Umberto 27c
73010 San Donato di Lecce
Tel.fax 0832 657445
www.matematicamente.it
libri@matematicamente.it
Stampa
Universal book
Via Botticelli, 22 – 87036 Rende (CS)
Tel. Fax 0984 408929
978 88 963 5407 0
ISBN: 3
A. Amadori Il viaggio perfetto
Indice
Presentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 Le curve 13
1.1 Il vettore tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Le superfici 21
2.1 Vettori tangenti ad una superficie . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Campi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
2.3 Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.1 Prodotto interno sul piano tangente,
tensore metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
2.3.2 Angolo fra due vettori del piano tangente . . . . . . 45
2.3.3 Lunghezze su superficie, elemento di linea . . . . . 46
2.3.4 Aree su superficie, elemento di superficie . . . . . . 49
3 Le geodetiche 56
3.1 Rudimenti di calcolo variazionale . . . . . . . . . . . . . .57
3.2 Geodetiche nello spazio euclideo tridimensionale
(approccio variazionale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Geodetiche sulle superfici (approccio variazionale) 63
4
A. Amadori Il viaggio perfetto
3.4 Geodetiche sulle superfici (approccio vettoriale) . . . 70
3.4.1 Derivata covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
3.4.2 Campo parallelo. Spostamento parallelo . . . . . . . 82
3.4.3 Geodetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 Curvatura 90
4.1 Curvatura gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Il teorema egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
4.3 La curvatura dal punto di vista del trasporto
parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4 La curvatura dal punto di vista delle geodetiche . .133
Bibliografia essenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
5
A. Amadori Il viaggio perfetto
Presentazione
Questo libro rappresenta un giusto compromesso tra chi desi-
dera apprendere le basi della geometria differenziale della
superficie nello spazio ordinario, e invece chi cerca qualche
spunto per eventuali approfondimenti successivi. Infatti, la trat-
tazione dei fondamenti della teoria della superficie è presentata
in modo non eccessivamente tecnico e formale, corredato da
molte figure e dando ampio spazio all'intuizione, ma senza
trascurare i passaggi matematici più delicati, che necessi-
terebbero di approfondimenti ulteriori, ma che devierebbero
troppo dal percorso proposto.
Dopo una breve introduzione alla teoria delle curve differen-
ziabili nello spazio ordinario, l'autore introduce in modo sem-
plice e intuitivo le superfici parametrizzate e presenta subito la
questione più delicata e feconda, ovvero la nozione di metrica
indotta dallo spazio ordinario sulla superficie. Passa quindi allo
studio delle linee geodetiche, per le quali offre, in modo intuitivo
ma ricco di spunti, parecchi aspetti di notevole interesse e ben
collegati con altre parti della matematica moderna, in partico-
lare il Calcolo delle Variazioni. Infine è d'obbligo la teoria della
curvatura, anch'essa presentata in modo semplice, chiaro e a
6
A. Amadori Il viaggio perfetto
partire dalle vecchie ma brillanti idee di Gauss e Riemann.
Il testo risulta adatto a tutti coloro che hanno una buona
conoscenza dell'Algebra lineare e dell'Analisi matematica in
dimensione finita, per esempio studenti dei primi anni delle
facoltà di Scienze o di Ingegneria.
Dortmund (Germania)
Luglio 2010 Luca Lussardi
7
A. Amadori Il viaggio perfetto
Prefazione 3
ℝ
La geometria differenziale delle ordinarie superfici di è
una branca della matematica estremamente bella e stimolan-
te. Essa conduce naturalmente, se generalizzata ad n
dimensioni, alla geometria riemanniana ed al connesso calcolo
tensoriale. Queste ultime costituiscono la base matematica
della teoria della relatività generale, universalmente
considerata la più bella teoria fisica, fra le più alte vette del
pensiero umano di tutti tempi.
Questa doppia valenza, matematica e fisica, secondo me,
rende la geometria differenziale ancora più interessante ed
affascinante.
In queste pagine, mi propongo di introdurre il lettore in questo
mondo stupendo facendogli vivere la stessa “emozione” di un
“esploratore” che entra in una terra sconosciuta. In cambio,
come prerequisito, è richiesta una buona conoscenza della
matematica di base, almeno a livello di biennio universitario
di matematica, fisica, ingegneria o simili.
Lo stile è descrittivo/intuitivo. Il formalismo è snello e pratico.
Non mi dilungo in inutili tecnicismi matematici, né utilizzo un
linguaggio ampolloso e pedante, ben sapendo però che ciò è a
8
A. Amadori Il viaggio perfetto
scapito del rigore formale matematico. Dovendo scegliere – fra
rigore e pragmatismo - ho preferito l'approccio pragmatico,
avendo io la forma mentis di un fisico. Darò, quindi (a parte
doverosi approfondimenti), per scontate tutte le condizioni di
regolarità delle situazioni e delle funzioni in gioco, cioè darò
per scontato che le cose “siano tali da funzionare corretta-
mente”.
Infine, desidero ringraziare Antonella Valzania, segretaria del
Circolo Matematico Cesenate, per la correzione delle bozze.
Cesena, dicembre 2009 Arrigo Amadori
9
A. Amadori Il viaggio perfetto
Introduzione
L'aggettivo “differenziale” che si aggiunge alla parola geometria
sta ad indicare che in quella teoria matematica si applicano
alla geometria (essenzialmente riguardante punti dello spazio)
i concetti e i metodi del calcolo differenziale. Tale calcolo si
basa sul concetto di derivata, di differenziale e di vettore
tangente. In sintesi, si può dire che in geometria differenziale
si “esplorano” le figure (geometriche) per mezzo dei vettori
tangenti, perché con tali vettori, ogni linea o superficie curva
può essere, almeno localmente, linearizzata, cioè considerata
piana. 3
ℝ
Le superfici sono sottoinsiemi di a due dimensioni che,
per semplicità e convenienza, vogliamo siano lisce, regolari,
cioè prive di punti aguzzi, spigoli vivi, spiegazzamenti,
lacerazioni ecc. L'esigenza di regolarità è ovvia. 3
ℝ
Le superfici sono insiemi di punti immersi in . Per
questo dobbiamo conoscere bene le proprietà di questo spazio,
che è lo spazio vettoriale reale tridimensionale.
3
ℝ
I punti (vettori) di sono le triple ordinate:
10
A. Amadori Il viaggio perfetto
a 1
=a =
a a a a (0.1)
1, 2, 3 2
a 3 ∈ℝ
a a a
rappresentabili come vettori riga o colonna, con 1, 2, 3
Figura 0.1 {e }
3 e e
ℝ
La base ortonormale canonica di è , dove:
1, 2, 3
=1,
e 0, 0
1 =0,
e 1, 0 (0.2)
2 =0,
e 0, 1
3
Per i vettori della base ortonormale vale la condizione:
〈 〉=
e , e (0.3)
i j i , j
{
1, i= j
= , con i , j=1,2 ,3 è la delta di Kronecker.
dove i j 0, i≠ j 11
A. Amadori Il viaggio perfetto
Figura 0.2
3
ℝ
Per i vettori di sono definite le seguenti operazioni:
±b
a b a
1 1 1 1
±b= ± =
a addizione e sottrazione
±b
a b a
2 2 2 2
±a
a b a
3 3 3 3
a k a
1 1
=k = ∈ℝ
k a moltiplicazione per uno scalare k
a k a
2 2
a k a
3 3
a b
1 1 〉=a a a
〈a , b b b prodotto interno o scalare
, b〉=〈 a b 1 1 2 2 3 3
2 2
a b
3 3
∣ ∣
a a a
1 2 3
×b=
a prodotto vettoriale
b b b
1 2 3
e e e
1 2 3 (0.4) a⋅b
Il prodotto interno può essere indicato anche con ed il
a∧b
prodotto vettoriale con .
12
A. Amadori Il viaggio perfetto
〈 〉
3
ℝ a , b
Lo spazio , dotato del prodotto interno definito
sopra, è detto spazio euclideo tridimensionale reale.
3
ℝ
Il prodotto interno induce in la norma:
12 2 32
∥a∥= 〈a 〉= a a (5)
, a a 2
e la distanza: 2 2 2
a a −b a −b a −b (6)
d , b=∥a−b∥= 1 1 2 2 3 3
3
d ℝ
La distanza induce in la topologia naturale in cui gli
intorni sono le sfere aperte: 3
a ={b ∈ℝ a } (7)
S , r ; b , d , br
3 0
ℝ
a r
centrate i ogni punto di ed aventi raggi .
Figura 0.3 3
ℝ
Abbiamo così definito tutte le proprietà di che dovremo
usare. 13
A. Amadori Il viaggio perfetto
1. Le curve
Prima di iniziare a parlare di superfici, occorre introdurre le
3
ℝ
curve, le linee di , che sono oggetti ad una dimensione (e
che, come sempre, consideriamo lisce, regolari, ecc.). Su di
esse definiremo il concetto di vettore tangente, di lunghezza e
di curvatura e lo faremo in modo sintetico e rapido,
trattandosi di concetti molto evidenti.
3
ℝ
Una curva di è descrivibile da una data
parametrizzazione, cioè da una funzione vettoriale
3 t
:t ⊆ℝ ℝ , t
, t ( è un intervallo aperto) (l'uso di
1 2
1 2
una stessa lettera per indicare la curva e la sua
parametrizzazione non crea ambiguità).
Possiamo indicare una parametrizzazione di una curva con le
scritture: {
= t
t 1 1
1 = t
t
t oppure oppure (1.1)
2 2 2
t = t
3 3 3
3
∈t ⊆ℝ ∈ℝ
t , t , , ,
(dove ) o con altre convenienti
1 2 1 2 3
14
A. Amadori Il viaggio perfetto
notazioni che eventualmente useremo nel seguito e che
saranno autoesplicative. Figura 1.1
Ovviamente, una curva (come insieme di punti) possiede
infinite parametrizzazioni. Infatti, data una parametrizzazione
t =t
t
, tramite la trasformazione , si ottiene la
t .
nuova parametrizzazione
Definiamo ora il concetto di vettore tangente.
1.1 Il vettore tangente
t
Siano una curva (con una parametrizzazione ) ed i
t t 0
e , con :
suoi punti 15
A. Amadori Il viaggio perfetto
Figura 1.2 t −t
t −t
Costruiamo i vettori e .
Figura 1.3
Orbene, il vettore tangente ad una curva è definito come:
t −t
̇t =lim (1.2)
0
16
A. Amadori Il viaggio perfetto
dove il punto indica la derivata prima rispetto a t.
Figura 1.4
Le componenti del vettore tangente sono:
˙
t
1
̇ t = ˙
t (1.3)
2
˙
t
3
t = t t t
, ,
dove .
1 2 3
Per le sempre presenti esigenze di regolarità, supporremo che
le derivate qui introdotte abbiano tutte le proprietà necessa-
rie. In particolare, imporremo sempre che si abbia in ogni
punto della curva: ̇ t ≠0 (1.4)
così da evitare indesiderabili singolarità (come sarà più chiaro
in seguito). ̇t
Il vettore tangente ad una curva , in analogia con la
17
A. Amadori Il viaggio perfetto
fisica, è detto anche velocità.
Vediamo ora una prima applicazione del vettore tangente.
1.2 Lunghezza t t
t
La lunghezza della curva fra i punti e è
1 2
t t t t
2 2 2 2
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2 2 2 2
= d d = ̇ ̇ ̇ ∥̇t∥dt
l ds= d dt= 1.5
1 2 3 1 2 3
t t t t
1 1 1 1
Se si sceglie una parametrizzazione per cui valga in ogni
∥̇t ∥=1
punto , la lunghezza assume una forma più
semplice, esattamente: t t
2 2
∫ ∫
= ∥̇t ∥dt = −t
l dt=t (1.6)
2 1
t t
1 1
In questo caso, si dice che la curva è parametrizzata dalla
t t
lunghezza e la curva (fra i due punti e ) è
1 2
t
, t
lunga esattamente quanto l'intervallo .
1 2
Intuitivamente, in questo caso si può pensare che la curva sia
stata ottenuta da un segmento semplicemente incurvandolo,
senza allungarlo o accorciarlo.
Una curva parametrizzata dalla lunghezza introduce in modo
naturale il concetto di curvatura (di una curva).
18