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Sintesi
Questo libro rappresenta un giusto compromesso tra chi desidera apprendere le basi della geometria differenziale della superficie nello spazio ordinario, e invece chi cerca qualche spunto per eventuali approfondimenti successivi. Infatti, la trattazione dei fondamenti della teoria della superficie è presentata in modo non eccessivamente tecnico e formale, corredato da molte figure e dando ampio spazio all'intuizione, ma senza trascurare i passaggi matematici più delicati, che necessiterebbero di approfondimenti ulteriori, ma che devierebbero troppo dal percorso proposto.
Dopo una breve introduzione alla teoria delle curve differenziabili nello spazio ordinario, l'autore introduce in modo semplice e intuitivo le superfici parametrizzate e presenta subito la questione più delicata e feconda, ovvero la nozione di metrica indotta dallo spazio ordinario sulla superficie. Passa quindi allo studio delle linee geodetiche, per le quali offre, in modo intuitivo ma ricco di spunti, parecchi aspetti di notevole interesse e ben collegati con altre parti della matematica moderna, in particolare il Calcolo delle Variazioni. Infine è d'obbligo la teoria della curvatura, anch'essa presentata in modo semplice, chiaro e a partire dalle vecchie ma brillanti idee di Gauss e Riemann.
Il testo risulta adatto a tutti coloro che hanno una buona conoscenza dell'Algebra lineare e dell'Analisi matematica in dimensione finita, per esempio studenti dei primi anni delle facoltà di Scienze o di Ingegneria.
Dortmund (Germania) Luglio 2010
Luca Lussardi

Prefazione
La geometria differenziale delle ordinarie superfici diè una branca della matematica estremamente bella e stimolante. Essa conduce naturalmente, se generalizzata ad n dimensioni, alla geometria riemanniana ed al connesso calcolo tensoriale. Queste ultime costituiscono la base matematica della teoria della relatività generale, universalmente considerata la più bella teoria fisica, fra le più alte vette del pensiero umano di tutti tempi.
Questa doppia valenza, matematica e fisica, secondo me, rende la geometria differenziale ancora più interessante ed affascinante.
In queste pagine, mi propongo di introdurre il lettore in questo mondo stupendo facendogli vivere la stessa "emozione" di un "esploratore" che entra in una terra sconosciuta. In cambio, come prerequisito, è richiesta una buona conoscenza della matematica di base, almeno a livello di biennio universitario di matematica, fisica, ingegneria o simili.
Lo stile è descrittivo/intuitivo. Il formalismo è snello e pratico. Non mi dilungo in inutili tecnicismi matematici, né utilizzo un linguaggio ampolloso e pedante, ben sapendo però che ciò è a scapito del rigore formale matematico. Dovendo scegliere - fra rigore e pragmatismo - ho preferito l'approccio pragmatico, avendo io la forma mentis di un fisico. Darò, quindi (a parte doverosi approfondimenti), per scontate tutte le condizioni di regolarità delle situazioni e delle funzioni in gioco, cioè darò per scontato che le cose "siano tali da funzionare correttamente".
Infine, desidero ringraziare Antonella Valzania, segretaria del Circolo Matematico Cesenate, per la correzione delle bozze.
Cesena, dicembre 2009
Arrigo Amadori

Indice


Presentazione
Prefazione
Introduzione
1 Le curve
1.1 Il vettore tangente
1.2 Lunghezza
1.3 Curvatura
2 Le superfici
2.1 Vettori tangenti ad una superficie
2.2 Campi vettoriali
2.3 Metrica
2.3.1 Prodotto interno sul piano tangente,tensore metrico
2.3.2 Angolo fra due vettori del piano tangente
2.3.3 Lunghezze su superficie, elemento di linea
2.3.4 Aree su superficie, elemento di superficie
3 Le geodetiche◦3.1 Rudimenti di calcolo variazionale
3.2 Geodetiche nello spazio euclideo tridimensionale (approccio variazionale)
3.3 Geodetiche sulle superfici (approccio variazionale)
3.4 Geodetiche sulle superfici (approccio vettoriale)
3.4.1 Derivata covariante
3.4.2 Campo parallelo. Spostamento parallelo
3.4.3 Geodetiche
4 Curvatura
4.1 Curvatura gaussiana
4.2 Il teorema egregium
4.3 La curvatura dal punto di vista del trasporto parallelo
4.4 La curvatura dal punto di vista delle geodetiche

Autore


Arrigo Amadori
Arrigo Amadori (Cesena, 1950) laureato in Fisica ha insegnato nelle scuole superiori, attualmente svolge attività di divulgazione scientifica, nel 2007 ha fondato il Circolo Matematico Cesenate, è autori di libri sulla meccanica quantistica e il calcolo differenziale.
Estratto del documento

A. Amadori Il viaggio perfetto

1

A. Amadori Il viaggio perfetto

Arrigo Amadori

Il viaggio perfetto

Come diventare

esploratori di superfici

2

A. Amadori Il viaggio perfetto

EDITING

ANTONIO BERNARDO

---------------

© 2011 Matematicamente.it

Corso Umberto 27c

73010 San Donato di Lecce

Tel.fax 0832 657445

www.matematicamente.it

libri@matematicamente.it

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Universal book

Via Botticelli, 22 – 87036 Rende (CS)

Tel. Fax 0984 408929

978 88 963 5407 0

ISBN: 3

A. Amadori Il viaggio perfetto

Indice

Presentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 Le curve 13

1.1 Il vettore tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Lunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Le superfici 21

2.1 Vettori tangenti ad una superficie . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Campi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

2.3 Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.1 Prodotto interno sul piano tangente,

tensore metrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

2.3.2 Angolo fra due vettori del piano tangente . . . . . . 45

2.3.3 Lunghezze su superficie, elemento di linea . . . . . 46

2.3.4 Aree su superficie, elemento di superficie . . . . . . 49

3 Le geodetiche 56

3.1 Rudimenti di calcolo variazionale . . . . . . . . . . . . . .57

3.2 Geodetiche nello spazio euclideo tridimensionale

(approccio variazionale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3 Geodetiche sulle superfici (approccio variazionale) 63

4

A. Amadori Il viaggio perfetto

3.4 Geodetiche sulle superfici (approccio vettoriale) . . . 70

3.4.1 Derivata covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

3.4.2 Campo parallelo. Spostamento parallelo . . . . . . . 82

3.4.3 Geodetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4 Curvatura 90

4.1 Curvatura gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2 Il teorema egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

4.3 La curvatura dal punto di vista del trasporto

parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4 La curvatura dal punto di vista delle geodetiche . .133

Bibliografia essenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

5

A. Amadori Il viaggio perfetto

Presentazione

Questo libro rappresenta un giusto compromesso tra chi desi-

dera apprendere le basi della geometria differenziale della

superficie nello spazio ordinario, e invece chi cerca qualche

spunto per eventuali approfondimenti successivi. Infatti, la trat-

tazione dei fondamenti della teoria della superficie è presentata

in modo non eccessivamente tecnico e formale, corredato da

molte figure e dando ampio spazio all'intuizione, ma senza

trascurare i passaggi matematici più delicati, che necessi-

terebbero di approfondimenti ulteriori, ma che devierebbero

troppo dal percorso proposto.

Dopo una breve introduzione alla teoria delle curve differen-

ziabili nello spazio ordinario, l'autore introduce in modo sem-

plice e intuitivo le superfici parametrizzate e presenta subito la

questione più delicata e feconda, ovvero la nozione di metrica

indotta dallo spazio ordinario sulla superficie. Passa quindi allo

studio delle linee geodetiche, per le quali offre, in modo intuitivo

ma ricco di spunti, parecchi aspetti di notevole interesse e ben

collegati con altre parti della matematica moderna, in partico-

lare il Calcolo delle Variazioni. Infine è d'obbligo la teoria della

curvatura, anch'essa presentata in modo semplice, chiaro e a

6

A. Amadori Il viaggio perfetto

partire dalle vecchie ma brillanti idee di Gauss e Riemann.

Il testo risulta adatto a tutti coloro che hanno una buona

conoscenza dell'Algebra lineare e dell'Analisi matematica in

dimensione finita, per esempio studenti dei primi anni delle

facoltà di Scienze o di Ingegneria.

Dortmund (Germania)

Luglio 2010 Luca Lussardi

7

A. Amadori Il viaggio perfetto

Prefazione 3

La geometria differenziale delle ordinarie superfici di è

una branca della matematica estremamente bella e stimolan-

te. Essa conduce naturalmente, se generalizzata ad n

dimensioni, alla geometria riemanniana ed al connesso calcolo

tensoriale. Queste ultime costituiscono la base matematica

della teoria della relatività generale, universalmente

considerata la più bella teoria fisica, fra le più alte vette del

pensiero umano di tutti tempi.

Questa doppia valenza, matematica e fisica, secondo me,

rende la geometria differenziale ancora più interessante ed

affascinante.

In queste pagine, mi propongo di introdurre il lettore in questo

mondo stupendo facendogli vivere la stessa “emozione” di un

“esploratore” che entra in una terra sconosciuta. In cambio,

come prerequisito, è richiesta una buona conoscenza della

matematica di base, almeno a livello di biennio universitario

di matematica, fisica, ingegneria o simili.

Lo stile è descrittivo/intuitivo. Il formalismo è snello e pratico.

Non mi dilungo in inutili tecnicismi matematici, né utilizzo un

linguaggio ampolloso e pedante, ben sapendo però che ciò è a

8

A. Amadori Il viaggio perfetto

scapito del rigore formale matematico. Dovendo scegliere – fra

rigore e pragmatismo - ho preferito l'approccio pragmatico,

avendo io la forma mentis di un fisico. Darò, quindi (a parte

doverosi approfondimenti), per scontate tutte le condizioni di

regolarità delle situazioni e delle funzioni in gioco, cioè darò

per scontato che le cose “siano tali da funzionare corretta-

mente”.

Infine, desidero ringraziare Antonella Valzania, segretaria del

Circolo Matematico Cesenate, per la correzione delle bozze.

Cesena, dicembre 2009 Arrigo Amadori

9

A. Amadori Il viaggio perfetto

Introduzione

L'aggettivo “differenziale” che si aggiunge alla parola geometria

sta ad indicare che in quella teoria matematica si applicano

alla geometria (essenzialmente riguardante punti dello spazio)

i concetti e i metodi del calcolo differenziale. Tale calcolo si

basa sul concetto di derivata, di differenziale e di vettore

tangente. In sintesi, si può dire che in geometria differenziale

si “esplorano” le figure (geometriche) per mezzo dei vettori

tangenti, perché con tali vettori, ogni linea o superficie curva

può essere, almeno localmente, linearizzata, cioè considerata

piana. 3

Le superfici sono sottoinsiemi di a due dimensioni che,

per semplicità e convenienza, vogliamo siano lisce, regolari,

cioè prive di punti aguzzi, spigoli vivi, spiegazzamenti,

lacerazioni ecc. L'esigenza di regolarità è ovvia. 3

Le superfici sono insiemi di punti immersi in . Per

questo dobbiamo conoscere bene le proprietà di questo spazio,

che è lo spazio vettoriale reale tridimensionale.

3

I punti (vettori) di sono le triple ordinate:

10

A. Amadori Il viaggio perfetto

 

a 1

=a =

a a a a (0.1)

1, 2, 3 2

a 3 ∈ℝ

a a a

rappresentabili come vettori riga o colonna, con 1, 2, 3

Figura 0.1 {e }

3 e e

La base ortonormale canonica di è , dove:

1, 2, 3

=1,

e 0, 0

1 =0,

e 1, 0 (0.2)

2 =0,

e 0, 1

3

Per i vettori della base ortonormale vale la condizione:

⟨ ⟩=

e , e (0.3)

i j i , j

{

1, i= j

 = , con i , j=1,2 ,3 è la delta di Kronecker.

dove i j 0, i≠ j 11

A. Amadori Il viaggio perfetto

Figura 0.2

3

Per i vettori di sono definite le seguenti operazioni:

     

±b

a b a

1 1 1 1

±b= ± =

a addizione e sottrazione

±b

a b a

2 2 2 2

±a

a b a

3 3 3 3

   

a k a

1 1

=k = ∈ℝ

k a moltiplicazione per uno scalare k

a k a

2 2

a k a

3 3

   

a b

1 1 ⟩=a a a

⟨a , b b b prodotto interno o scalare

, b⟩=⟨ a b 1 1 2 2 3 3

2 2

a b

3 3

∣ ∣

a a a

1 2 3

×b=

a prodotto vettoriale

b b b

1 2 3

e e e

1 2 3 (0.4) a⋅b

Il prodotto interno può essere indicato anche con ed il

a∧b

prodotto vettoriale con .

12

A. Amadori Il viaggio perfetto

⟨ ⟩

3

ℝ a , b

Lo spazio , dotato del prodotto interno definito

sopra, è detto spazio euclideo tridimensionale reale.

3

Il prodotto interno induce in la norma:

 12 2 32

∥a∥= ⟨a ⟩= a a (5)

, a a 2

e la distanza:  2 2 2

a a −b  a −b  a −b  (6)

d , b=∥a−b∥= 1 1 2 2 3 3

3

d ℝ

La distanza induce in la topologia naturale in cui gli

intorni sono le sfere aperte: 3

a ={b ∈ℝ a } (7)

S , r ; b , d , br

3 0

a r

centrate i ogni punto di ed aventi raggi .

Figura 0.3 3

Abbiamo così definito tutte le proprietà di che dovremo

usare. 13

A. Amadori Il viaggio perfetto

1. Le curve

Prima di iniziare a parlare di superfici, occorre introdurre le

3

curve, le linee di , che sono oggetti ad una dimensione (e

che, come sempre, consideriamo lisce, regolari, ecc.). Su di

esse definiremo il concetto di vettore tangente, di lunghezza e

di curvatura e lo faremo in modo sintetico e rapido,

trattandosi di concetti molto evidenti.

 3

Una curva di è descrivibile da una data

parametrizzazione, cioè da una funzione vettoriale

3 t 

:t ⊆ℝ  ℝ , t

, t ( è un intervallo aperto) (l'uso di

1 2

1 2

una stessa lettera per indicare la curva e la sua

parametrizzazione non crea ambiguità).

Possiamo indicare una parametrizzazione di una curva con le

scritture: {

   = t 

 t  1 1

1  = t 

 t 

 t oppure oppure (1.1)

2 2 2

 t   = t 

3 3 3

3

∈t ⊆ℝ    ∈ℝ

t , t , , ,

(dove ) o con altre convenienti

1 2 1 2 3

14

A. Amadori Il viaggio perfetto

notazioni che eventualmente useremo nel seguito e che

saranno autoesplicative. Figura 1.1

Ovviamente, una curva (come insieme di punti) possiede

infinite parametrizzazioni. Infatti, data una parametrizzazione

t  =t 

t

, tramite la trasformazione , si ottiene la

t  .

nuova parametrizzazione

Definiamo ora il concetto di vettore tangente.

1.1 Il vettore tangente

 t 

Siano una curva (con una parametrizzazione ) ed i

t  t  0

e , con :

suoi punti 15

A. Amadori Il viaggio perfetto

Figura 1.2 t −t 

t −t 

Costruiamo i vettori e .

Figura 1.3

Orbene, il vettore tangente ad una curva è definito come:

t −t 

̇t =lim (1.2)

 0

16

A. Amadori Il viaggio perfetto

dove il punto indica la derivata prima rispetto a t.

Figura 1.4

Le componenti del vettore tangente sono:

 

˙

 t 

1

̇ t = ˙

 t  (1.3)

2

˙

 t 

3

t = t   t   t 

, ,

dove .

1 2 3

Per le sempre presenti esigenze di regolarità, supporremo che

le derivate qui introdotte abbiano tutte le proprietà necessa-

rie. In particolare, imporremo sempre che si abbia in ogni

punto della curva: ̇ t ≠0 (1.4)

così da evitare indesiderabili singolarità (come sarà più chiaro

in seguito). ̇t 

Il vettore tangente ad una curva , in analogia con la

17

A. Amadori Il viaggio perfetto

fisica, è detto anche velocità.

Vediamo ora una prima applicazione del vettore tangente.

1.2 Lunghezza t  t 

t 

La lunghezza della curva fra i punti e è

1 2

t t t t

2 2 2 2

∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 2 2 2

=  d  d  = ̇ ̇ ̇ ∥̇t∥dt

l ds= d dt= 1.5

1 2 3 1 2 3

t t t t

1 1 1 1

Se si sceglie una parametrizzazione per cui valga in ogni

∥̇t ∥=1

punto , la lunghezza assume una forma più

semplice, esattamente: t t

2 2

∫ ∫

= ∥̇t ∥dt = −t

l dt=t (1.6)

2 1

t t

1 1

In questo caso, si dice che la curva è parametrizzata dalla

t  t 

lunghezza e la curva (fra i due punti e ) è

1 2

t 

, t

lunga esattamente quanto l'intervallo .

1 2

Intuitivamente, in questo caso si può pensare che la curva sia

stata ottenuta da un segmento semplicemente incurvandolo,

senza allungarlo o accorciarlo.

Una curva parametrizzata dalla lunghezza introduce in modo

naturale il concetto di curvatura (di una curva).

18

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