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Sintesi
Questo testo non ha alcuna pretesa di costituire un'esposizione rigorosa e completa degli argomenti trattati. E' un manuale di rapida consultazione per studenti che, in alcuni punti, offre (forse) una spiegazione più chiara ed intuitiva rispetto a quella normalmente presente nei testi tradizionali.
Ho volutamente saltato molte dimostrazioni, preoccupandomi però in molte occasioni di fornire una giustificazione logica di quanto andavo affermando.
Come scelta consapevole (suggerita dalla mia esperienza di docente di un liceo scientifico), preferisco usare il rigore scientifico solo quando è necessario, ma non sempre. Preferisco decisamente la semplicità e l'immediatezza ad un rigore formalmente ineccepibile a spese della chiarezza.
Lo scopo di questi appunti è quello di fornire un valido appoggio ai testi tradizionali presentando in modo sintetico e chiaro tutti i punti fondamentali e tradizionalmente più ostici per lo studente, insieme ad un repertorio abbastanza ampio di esempi svolti.
Carlo Sintini,
Latina Marzo 2011
Caratteristiche del libro
ISBN: 978 88 96354 08 7
pagine: 280
formato: A5

Indice

•INTRODUZIONE
•CAP. 1 - PREMESSE
•CAP. 2 - GRAFICI, SIMMETRIE E TRASLAZIONI
•CAP. 3 - TRIGONOMETRIA
•CAP. 4 - LOGARITMI ED ESPONENZIALI
•CAP. 5 - GEOMETRIA ANALITICA
•CAP. 6 - I LIMITI
•CAP. 7 - LE DERIVATE
•CAP. 8 - GLI INTEGRALI
•CAP. 9 - MATRICI
•CAP. 10 - CALCOLO VETTORIALE
•CAP. 11 - GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO

Autore


Carlo Sintini
Carlo Sintini è nato a Roma nel 1936, si è laureato in fisica alla Sapienza di Roma, vive a Latina, dove ha insegnato nei licei scientifici. Ora è in pensione. Ha scritto numerosi volumi didattici, divulgativi, di informatica, giochi matematici, giochi con le carte, totocalcio…
Estratto del documento

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

 

a a

   n

n

ab a b da cui deriva che a a

a

a 

b b

 

2 2

a a perché a elevati al quadrato danno entrambi a

  

 3 2 3 2

   

a b a b infatti       

 5 3 5 ( 3) 5 3

Vediamo ora come ci si comporta quando si deve risolvere una

equazione o una disequazione contenente uno o più valori

assoluti.

E 5

SEMPIO  

x 3 5

Si trova facilmente che il contenuto del modulo (si dice anche

l’argomento del modulo), si annulla per x = 3, è positivo per

valori maggiori e negativo per valori minori.

Si vengono a formare due intervalli (quello a destra e quello a

sinistra di 3), ed in ciascuno dei due intervalli la presenza del

modulo da origine ad una diversa equazione.

Risolvendole si ha

Quindi l’equazione ha due soluzioni x=-2 e x=8.

32

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

E 6

SEMPIO   

3x 6 x 2

Studiando il segno degli argomenti di entrambi i moduli, si

possono individuare tre intervalli (o zone)

In questo caso non si deve applicare la regola dei segni di

Cartesio (le rette orientate non si riferiscono a due espressioni

moltiplicate o divise fra loro).

Nella zona 3 i segni sono entrambi positivi e quindi entrambi i

moduli è come se non esistessero; nella zona 1 i segni sono

entrambi negativi e quindi dovrei cambiare tutti i segni dei

termini contenuti in ciascuno dei due moduli. Questo equivale

a cambiare segno a tutti i termini dell’equazione, che quindi

rimane in sostanza invariata.

Ne deriva che nelle zone 1 e 3 l’equazione assume la forma

  

3x 6 x 2

che risolta fornisce la soluzione 

2x 8

x 4

Nella zona 2 invece solo il contenuto del primo modulo assume

valore negativo, ed allora si deve cambiare segno solo ai

termini contenuti nel primo modulo.

Si ha allora    

3x 6 x 2

  

4x 4

x 1

Quindi l’equazione iniziale ha come soluzioni x=1 e x=-4.

33

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

E 7

SEMPIO   

3x 6 x 2

Dall’esempio precedente abbiamo visto che si possono

individuare tre diverse zone. A differenza di prima le zone 1 e

3 non si equivalgono perché stavolta abbiamo a che fare con

una disequazione e non una equazione.

Abbiamo quindi tre diverse disequazioni (una per ciascuna

zona), che possono essere risolte

La zona 1 fornisce soluzioni che ricadono esternamente ad

essa, e quindi non sono accettabili.

Nella zona 2 risulta che le soluzioni sono tutte le x maggiori o

uguali ad uno (e minori di 2 perché occorre rimanere

all’interno della zona).

Nella zona 3 le soluzioni sono tutte le x minori o uguali a 4 (a

partire da 2 perché occorre rimanere all’interno della zona).

Per concludere le soluzioni sono quindi costituite da tutte le x

comprese nell’intervallo che va da 1 a 4, estremi compresi

(intervallo chiuso).  

1; 4

Algebricamente scriveremo: .

34

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

CAP. 2 - GRAFICI, SIMMETRIE E

TRASLAZIONI

Par. 1 - I grafici nel piano cartesiano

I punti del piano possono essere messi in corrispondenza

(biunivoca, cioè funzionante nei due versi) con le coppie

ordinate di numeri reali.

Nella figura è rappresentato il punto P in cui a=3 e b=2. Ha

importanza anche l’ordine con cui vengono presi i due numeri,

infatti scambiandoli fra loro si ottiene generalmente un punto

differente dal precedente.

Una espressione algebrica qualsiasi (detta anche funzione)

contenente due incognite (dette anche variabili) x ed y, viene

indicata simbolicamente nei due modi seguenti

f (x, y) 0 funzione in forma implicita

y f (x) funzione in forma esplicita

Quando la funzione è messa in una di queste due forme, si dice

che è scritta in forma standard o ridotta.

35

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

Per il momento prenderemo in esame solo funzioni

algebriche, cioè quelle che nella forma implicita hanno nel

primo membro un polinomio, e dunque non contengono

logaritmi, esponenziali o funzioni trigonometriche.

Per esempio:

  

x 2y 6 0 funzione in forma implicita

1

 

y x 3 funzione in forma esplicita

2

    

2 2

x 3y 2x y 8 0 funzione in forma implicita

3 2

x 4x

y funzione in forma esplicita

 

2

x 5x 6

La funzione del secondo esempio è stata ricavata dalla prima.

Esse quindi si equivalgono fra loro: una stessa funzione può

dunque essere scritta sia in forma implicita che esplicita.

Ma non sempre ciò è possibile: la terza funzione infatti non

può essere messa in forma esplicita.

Vedremo fra poco quale sia la condizione necessaria perché

una funzione possa essere scritta in forma esplicita.

Occupiamoci ora di un aspetto diverso: una equazione con due

incognite non ha un numero limitato di soluzioni, ma infinite.

Esse possono essere ottenute assegnando ad una delle due

incognite dei valori numerici arbitrari e calcolando ogni volta il

corrispondente valore che assume l’altra.

Per esempio nella prima funzione

1

 

y x 3

2

36

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

 

ponendo x 0 si ottiene y -3

1 5

    

ponendo x 1 si ottiene y 3

2 3

    

ponendo x 2 si ottiene y 1 3 2

3 3

    

ponendo x 3 si ottiene y 3

2 2

4

    

ponendo x 4 si ottiene y 3 1

2

e così via …

Interpretando queste soluzioni come coordinate di punti

   

5 3

     

    

   

0; 3 1; 2; 2 3; 4; 1 ...

   

3 2

ci si accorge che questi sono tutti allineati e formano una retta.

Si può dunque affermare che la funzione corrisponde nel piano

cartesiano ad una retta.

Più generalmente possiamo affermare che tutte le equazioni di

primo grado con due incognite x ed y corrispondono sempre a

rette nel piano cartesiano.

Perciò ogni funzione del tipo

y=mx+q

37

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

corrisponde nel piano cartesiano ad una retta e i coefficienti m

e q prendono rispettivamente il nome di coefficiente angolare

ordinata all’origine

e (o segmento staccato dalla retta

sull’asse y a partire dall’origine).

Il coefficiente angolare ha questo nome perché indica il grado

di inclinazione della retta.

Due rette con lo stesso coefficiente angolare sono inclinate allo

stesso modo e quindi sono parallele fra loro.

Se m è positivo, la retta è inclinata verso l’alto. Mentre se m è

negativo, la retta è inclinata verso il basso.

Più alto è il coefficiente angolare e maggiore è l’inclinazione

della retta.

Il termine q invece indica la distanza AO (vedi figura), cioè il

punto in cui la retta taglia l’asse y.

Può però avvenire che una funzione in forma esplicita abbia nel

secondo membro una espressione che non sia un binomio di

primo grado, per esempio   

2

y x 5x 6

In questo caso la funzione non è una retta, però con lo stesso

procedimento già visto possiamo calcolare alcuni suoi punti

prendendo dei valori arbitrari 38

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

 

ponendo x 0 si ottiene y 6

    

ponendo x 1 si ottiene y 1 5 6 2

    

ponendo x 2 si ottiene y 4 10 6 0

    

ponendo x 3 si ottiene y 9 15 6 0

    

ponendo x 4 si ottiene y 16 20 6 2

    

po

nendo x 5 si ottiene y 25 25 6 6

e così via …

Interpretando queste soluzioni come coordinate di punti

           

0;6 1;2 2;0 3;0 4;2 5;6 ...

Si vede che questi non sono allineati, ma formano una curva di

questo tipo

Questo metodo di studio per ottenere il grafico di una funzione,

si chiama metodo per punti, richiede molti calcoli se la

funzione è un po’ complessa, ma soprattutto non è molto

affidabile.

Infatti per esempio nel caso precedente la funzione in base ai

punti calcolati avrebbe anche potuto avere questo andamento

39

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

Vedremo in seguito come si deve procedere per raccogliere

informazioni sulla funzione in modo da poterla poi graficare

con sicurezza.

All’inizio del capitolo abbiamo affermato che non sempre una

funzione in forma implicita può essere trasformata e messa in

forma esplicita.

Perché la trasformazione sia possibile, deve essere soddisfatto

il principio della retta verticale.

Infatti dal punto di vista algebrico la funzione agisce come un

dispositivo (vedi figura a sinistra), in cui inserendo un valore

numerico x, si ha come risultato un altro valore numerico y.

 

Oppure nessuno, per esempio nel caso se poniamo

y 2 x

x=3 si ha y=i, che non può essere messo sull’asse y.

Ma non può mai avvenire che inserendo un valore per la x, si

abbiano due o più valori per la y.

40

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

Per esempio, nella figura a destra si ha una funzione che non

può essere scritta in forma esplicita perché una retta verticale

taglia la funzione in più di un punto, e quindi per un opportuno

valore della x debbono potersi ottenere più valori della y

(nell’esempio sono tre).

Quindi una funzione può essere messa in forma esplicita se una

generica retta verticale la taglia in un solo punto (o nessuno).

Par. 2 - Il dominio

Data una funzione y = f(x) chiamiamo dominio (o insieme di

l’insieme di tutti i valori dell’asse

definizione della funzione),

x la cui ordinata è reale e finita.

Vanno quindi esclusi dal dominio tutti i valori della x la cui

ordinata è immaginaria, o indefinita, o infinita.

41

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

E 8

SEMPIO

Data la funzione 

2x 6

y 

x 3

si può facilmente constatare che qualunque valore di x fornisce

un corrispondente valore per la y.

Fa eccezione soltanto il valore x=3 per il quale la corrispon-

6

  

dente y è infinita ( ).

y 0

Il grafico della funzione (come vedremo meglio in seguito) è

Il dominio è costituito in questo caso da tutti i valori della x,

eccettuato il valore x=3 in cui la funzione è infinita.

Il dominio viene indicato algebricamente nel modo seguente

   

  

;3 3;

cioè l’unione dell’intervallo che va da - a 3 (estremi esclusi),

con l’intervallo che va da 3 ad (estremi esclusi).

42

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

E 9

SEMPIO   2

y 4 x

Consideriamo invece la funzione

Il grafico della funzione è

(vedremo meglio in seguito che è

una semicirconferenza).

Se assegniamo alla x dei valori

–2

minori di o maggiori di 2, (per

esempio x=3) otteniamo per la y dei

valori immaginari

    

( ).

y 4 9 5 i 5

Quindi vanno esclusi dal dominio tutti i valori della x esterni

all’intervallo che va da –2 a 2.

Il dominio è formato in questo caso dall’intervallo (estremi

 

2; 2

inclusi)

E 10

SEMPIO

Sia data la funzione  

2

x 3x 2

y  

2 x 1  (come nell’esempio 8),

Se poniamo x = 1 non si ottiene y =

0

ma che è una forma indeterminata (vedi riquadro con

y 0

N.B. nel primo capitolo).

Cioè per x=1 non è possibile calcolare un corrispondente

valore per la y.

La ragione di questa impossibilità si chiarisce se fattorizziamo

il numeratore 43

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

  

 

x 2 x 1

y  

2 x 1

quando poniamo x=1 è il fattore (x-1) che si annulla sia nel

numeratore che nel denominatore, a dar luogo alla forma

indeterminata.

Ma la frazione può essere semplificata e si ottiene

x 2

y 2

1

 

y x 1

2

Dunque la funzione è una retta  

2

x 3x 2

y

Ma attenzione: la funzione assegnata è la ed

 

2 x 1

in questa espressione il valore x=1 fornisce una y indeter-

minata.

Quindi il grafico corrispondente è sì una retta, ma mancante di

un punto.

Il dominio della funzione è allora tutto l’asse x ad eccezione

del punto x=1.    

  

;1 1;

44

Carlo Sintini Matematica ? No problem !!!

Par. 3 - Le simmetrie

Consideriamo un punto generico A nel piano cartesiano, con

coordinate arbitrarie.

 Il punto D è il simmetrico di A rispetto all’asse x. Si ottiene

–y

D sostituendo al posto di y nelle coordinate di A.

 Il punto B è il simmetrico di A rispetto all’asse y. Si ottiene

–x

B sostituendo al posto di x nelle coordinate di A.

 di A rispetto all’origine

Il punto C è il simmetrico

(l’intersezione degli assi). Si ottiene C sostituendo –x –y

e al

posto di x e y nelle coordinate di A.

Si capisce allora perché, data una funzione f(x;y)=0 si può

affermare che:

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