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«Ma se si vuole che l'allievo delle scuole medie senta di questa matematica moderna il soffio ispiratore ed intravveda la grandezza dell'edifizio, occorre parlargli del concetto di funzione ed indicargli sia pure sommariamente, le due operazioni che costituiscono il fondamento del Calcolo infinitesimale.»
Allora l’analisi fu inserita solo nel liceo moderno, che fu poi soppresso dalla riforma Gentile del 1923 e in qualche misura sostituito dal liceo scientifico che ereditò l’analisi come materia conclusiva del corso di matematica. Nei licei classici dove il peso della matematica fu ridimensionato l’analisi continuò a restare fuori, come del resto la geometria analitica.
Di fatto la geometria analitica fu inserita dopo la guerra nei libri di testo del liceo classico e collocata tra la prima e seconda liceo (terzo e quarto anno); l’analisi continuò a restarne fuori con l'eccezione della sperimentazione PNI diffusisi tra gli anni Ottanta e Novanta.
Negli istituti tecnici l’analisi c’è sempre stata e viene in genere trattata già nel quarto anno di corso, a volte anticipando anche al terzo.
Autore: Paolo Bonavoglia
Titolo: Il Calcolo Infinitesimale
Sottotitolo: Analisi per i licei alla maniera non standard
•
Indice
•Prefazione•Introduzione storica
•1 - Primi passi nel calcolo infinitesimale
◦1.1 - Il problema della tangente
◦1.2 - Il problema della velocità istantanea
•2 - Primi passi tra le derivate
◦2.1 - Infinitesimi e derivate
◦2.2 - Parte standard
◦2.3 - Un primo esempio: la derivata del quadrato
◦2.4 - Derivata di potenze superiori
◦2.5 - La derivata della potenza
◦2.6 - La derivata è un'operazione lineare
◦2.7 - La derivata di un polinomio
◦2.8 - La derivata del prodotto di funzioni
◦2.9 - La derivata della funzione composta
◦2.10 - Le derivate successive
◦2.11 - Significato geometrico della derivata seconda
◦2.12 - Significato fisico della derivata seconda
•3 - Trovare la tangente a una curva
◦3.1 - Tangenti a una parabola
◦3.2 - Tangenti a una parabola cubica
•4 - Problemi di massimo e minimo
◦4.1 - Introduzione
◦4.2 - La regola di Fermat
◦4.3 - Ricerca dei massimi e minimi di una funzione
◦4.4 - I metodo per la ricerca dei massimi e minimi
◦4.5 - II metodo per la ricerca dei massimi e minimi
◦4.6 - Ricerca dei punti di flesso di una funzione
◦4.7 - I metodo per la ricerca dei punti di flesso
◦4.8 - II metodo per la ricerca dei punti di flesso
•5 - Primi esempi di studio di funzione
◦5.1 - Introduzione
◦5.2 - Una funzione algebrica di 3º grado
◦5.3 - Ancora una funzione algebrica di 3º grado
◦5.4 - Una funzione algebrica di 4º grado
•6 - Primi passi tra gli integrali
◦6.1 - L'integrale indefinito
◦6.2 - Integrale della potenza
◦6.3 - Proprietà lineari
◦6.4 - Integrale di un polinomio
◦6.5 - L'integrale è un'area
•7 - Calcolo di aree
◦7.1 - Calcolo approssimato di aree
◦7.2 - La formula dei trapezi
◦7.3 - Area sottesa da una funzione con i trapezi
◦7.4 - Calcolo di aree con la formula di Simpson
◦7.5 - Esempio con la formula di Simpson
•8 - L'integrale definito
◦8.1 - Ma l'area esatta qual è
◦8.2 - L'area sotto una funzione
◦8.3 - Il teorema fondamentale dell'analisi
◦8.4 - L'integrale definito
◦8.5 - Area tra due curve
◦8.6 - Esempi
•9 - Calcolo approssimato di integrali
◦9.1 - Integrazione con la formula dei trapezi
◦9.2 - Integrazione con la formula di Simpson
◦9.3 - Esempi con la formula di Simpson
•10 - NSA infinitesimi e numeri iperreali
◦10.1 - Le obiezioni di George Berkeley
◦10.2 - La prima rifondazione dell'Analisi
◦10.3 - Abraham Robinson riabilita gli infinitesimi
◦10.4 - Numeri infinitamente grandi
◦10.5 - Numeri infinitamente piccoli
◦10.6 - Notazione
◦10.7 - I numeri iperreali
◦10.8 - Aritmetica dei numeri iperreali
◦10.9 - Numeri infinitamente vicini
◦10.10 - La funzione parte standard
◦10.11 - Funzioni continue
◦10.12 - Continuità e limiti
◦10.13 - Prima definizione di limite
•11 - Le derivate
◦11.1 - La definizione generale di derivata
◦11.2 - Derivate del cubo e della potenza ennesima
◦11.3 - Regole di derivazione
◦11.4 - La derivata della potenza
◦11.5 - La derivata della funzione inversa
◦11.6 - Derivata della radice quadrata
◦11.7 - Derivata della radice cubica
◦11.8 - La derivata della funzione composta
◦11.9 - La derivata del prodotto di funzioni
◦11.10 - La derivata del reciproco di una funzione
◦11.11 - La derivata del quoziente di funzioni
◦11.12 - Funzioni esponenziali e logaritmiche
◦11.13 - Le funzioni iperboliche
◦11.14 - La funzione di Gauss o gaussiana
◦11.15 - Derivata delle funzioni goniometriche
◦11.16 - Funzioni continue e funzioni derivabili
•12 - Integrali
◦12.1 - Integrale indefinito
◦12.2 - Integrali fondamentali
◦12.3 - Regole di integrazione
◦12.4 - Integrali “impossibili”
•13 - Infinito, limiti, asintoti
◦13.1 - I paradossi di Zenone
◦13.2 - Il primo paradosso di Zenone: il segmento
◦13.3 - Somme e serie
◦13.4 - I limiti
◦13.5 - La serie armonica
◦13.6 - Infinito attuale e infinito potenziale
◦13.7 - Infiniti attuali e numeri ordinali
◦13.8 - Limiti, parte standard
◦13.9 - Limiti e parte standard
◦13.10 - Limiti notevoli
◦13.11 - La regola de l'Hopital
◦13.12 - Asintoti di una funzione
◦13.13 - Asintoti verticali
◦13.14 - Asintoti orizzontali
◦13.15 - Asintoti obliqui
•14 - Approssimazione polinomiale
◦14.1 - Primo esempio: approssimiamo il coseno
◦14.2 - Secondo esempio: approssimiamo il seno
◦14.3 - Terzo esempio: approssimiamo l'esponenziale
◦14.4 - Forma generale del polinomio di MacLaurin
◦14.5 - Il polinomio di Taylor
◦14.6 - Polinomio di Maclaurin della gaussiana
◦14.7 - Un polinomio di Maclaurin a convergenza limitata
◦14.8 - Derivazione usando il polinomio di Maclaurin
◦14.9 - Integrazione usando il polinomio di Maclaurin
•15 - Studio di funzione
◦15.1 - Introduzione
◦15.2 - Studio di funzioni algebriche fratte
◦15.3 - Studio di una funzione irrazionale
◦15.4 - Studio di funzioni goniometriche
•16 - Appendice 1 Confronto tra Nsa e Analisi classica
◦16.1 - Definizione di continuità
◦16.2 - Derivata della funzione composta
•17 - Appendice 2 SIA (Smooth Infinitesimal Analysis)
◦17.1 - Fondamenti della SIA
◦17.2 - La derivata nella SIA
•18 - Appendice 3: Applicazioni in Fisica
◦18.1 - La caduta dei gravi
◦18.2 - Il moto circolare uniforme
•19 - Bibliografia
◦19.1 - Libri
◦19.2 - Web
•
Autore
Paolo Bonavoglia
Paolo Bonavoglia è nato a Roma nel 1950. Laureato in matematica ha insegnato Matematica e Fisica nei licei classici e dal 1987 al 1994 Informatica industriale negli istituti tecnici. Dal 1994 insegna Matematicaal liceo classico Marco Foscarini di Venezia; è anche webmaster del sito del liceo, nel cui ambito ha curato gli ipertesti Eclissi e calendari e La crittografia da Atbash a RSA. Negli ultimi anni ha pubblicato sulla rivista Progetto Alice: Il ritorno dell'infinitesimo e L'analisi infinitesimale nel liceo classico - una sperimentazione dell'Analisi Non Standard. Ogni anno organizzata una giornata di studio sulla Analisi Non Standard.
48 P B
AOLO ONAVOGLIA
4.7.a Esempio 1
Sia data la funzione 3
y= x x
−
Le derivate sono: 2
y' x
=3 −1
Osservando lo schema si vede che la concavità è verso il basso
per x < 0 e verso l'alto per x > 0 e quindi si ha il flesso Flex(0;0)
2
coincidente con l'origine; la derivata prima 3x - 1 vale -1 per x
= 0 e quindi il flesso ha tangente decrescente.
Tutto questo è ben evidente
nel disegno qui accanto
dove la cubica è in blu,
mentre è evidenziata in
rosso la tangente per il
flesso (origine). Appare
evidente che il flesso è il
punto nel quale la curva
cambia concavità ed è
anche il punto nel quale la
tangente attraversa la
curva. La cubica con il flesso
Calcolo infinitesimale 49
4.7.b Esempio 2 4 2
y= x x
Sia data la funzione −
3
y '=4 x x
−2
Le derivate sono: 2
y' '=12 x −2 2
Uguagliando a zero si ha l'equazione 12x -2=0, e le due soluzioni
1 1
x=
x=− e per ; dunque ci sono due flessi:
6 6
1 5 1 5
;− Flex ;−
Flex
− .
1 2
6 36 6 36
Calcolando
f'(-√(1/6)) si trova:
-√(1/216)-2.(-√(1/6))
~ 0,74
dunque il primo
flesso è crescente;
analogamente si ri-
cava che il secondo
flesso vale circa
-0,74 e quindi è
decrescente. La quartica
50 P B
AOLO ONAVOGLIA
4.7.c Controesempio
Ne segue che la concavità è sempre verso l'alto, non c'è alcun
cambio di concavità, e quindi nessun flesso, ma piuttosto un
punto di minimo molto piatto.
4.8 II metodo per la ricerca dei punti di flesso
Il metodo si basa sul fatto che nei punti di flesso la derivata
seconda deve essere nulla e la prima derivata successiva che
non si annulla deve avere ordine dispari; se viceversa ha ordine
pari non ci sarà flesso, ma un punto di massimo o di minimo
come se si trattasse della derivata seconda.
Si tratta quindi di calcolare la derivata f"(x), risolvere f"(x) = 0 e
per ogni soluzione x calcolare f'''(x ):
i i
1. se f'''(x ) ≠ 0 c'è un flesso;
i
2. se f'''(x ) = 0 occorre calcolare le derivate successive fino
i
a trovarne una che non si annulla.
1. Se la prima derivata che non si annulla ha ordine
dispari, c'è un flesso.
2. Se la prima derivata che non si annulla ha ordine
pari, non c'è un flesso.
Si vedano comunque i seguenti tre esempi per comprendere
meglio il metodo.
Calcolo infinitesimale 51
4.8.a Esempio 1
Sia data di nuovo la funzione
3
y= x x
−
Le derivate successive sono:
2
y' x
=3 −1
y ' ' x
=6
y' ' ' =6
Uguagliando a zero si ha
l'equazione 6x = 0, e una sola
soluzione x = 0; la derivata
terza è uguale a 6, quindi Grafico della cubica
comunque positiva: si ha il 2
flesso Flex(0;0) coincidente con l'origine; la derivata prima 3x -
1 vale -1 per x = 0 e quindi il flesso ha tangente decrescente.
4.8.b Esempio 2
Sia data di nuovo la funzione:
4 2
y= x x
−
Le derivate successive sono:
3
y '=4 x x
−2
2
y' '=12 x −2
y ' ' '=24 x 2
Uguagliando a zero si ha l'equazione 12x - 2, e le due soluzioni
sono x = ±√(1/6) ≈ 0,4
La derivata terza 24x ha lo stesso segno di x, dunque è negativa
per x = -√(1/6) e positiva per x = +√(1/6); in ogni caso è diversa
da zero e quindi si tratta di due flessi:
1 5
Flex1 ;−
− 6 36
1 5
Flex2 ;−
6 36
52 P B
AOLO ONAVOGLIA
1 1 1 64 8
f ' − = −2 − =− ≈−0,544331,1547≈0,61
4−
6 216 6 216 6
Calcolando la derivata prima in Flex1 si trova
dunque il primo flesso ha pendenza positiva ed è crescente;
analogamente si ricava che il secondo flesso vale circa -0,61 e
quindi è decrescente.
Tutto questo si ritrova nel grafico della curva.
Grafico della quartica
4.8.c Controesempio 4
y= x
Consideriamo di nuovo la funzione con le sue derivate
3
y ' x
=4 2
y' '=12 x
iii
y x
=24
iv
y =24 2
la derivata seconda 12 x si annulla per x = 0, ma anche la
derivata terza si annulla per x = 0, mentre non è nulla la
derivata quarta.
Ne segue che c'è un punto stazionario ed essendo la derivata
quarta positiva si tratta di un minimo (molto piatto).
Calcolo infinitesimale 53
5 - P
RIMI ESEMPI DI STUDIO DI FUNZIONE
5.1 Introduzione
Nelle prossime pagine vediamo qualche primo esempio di studio
di funzione. Obiettivo dello studio di funzione è quello di
studiare le caratteristiche di una funzione fino a disegnarne nel
modo più accurato possibile il grafico
Non è possibile definire nei minimi dettagli i singoli passi di
questo studio; a seconda del tipo di funzione possono avere
maggior peso alcune caratteristiche di una funzione rispetto ad
altre. Per esempio un polinomio non ha asintoti (rette alle quali
la curva si avvicina senza mai toccarla; vedi più avanti cap. 13)
e non è necessario cercarli, mentre un'iperbole con asintoto
orizzontale non può avere massimi e minimi.
Ecco una prima trafila per lo studio di una funzione polinomiale
y = f(x).
Insieme di definizione è l'insieme nel quale la funzione è
● definita; per solito l'insieme dei numeri reali esclusi
alcuni valori "illeciti"; p.es. i valori che annullano il
denominatore di una frazione, o i valori negativi in un
radicale. Per i polinomi non ci sono problemi, l'insieme
di definizione è sempre R, insieme dei numeri reali.
Riconoscimento di eventuali simmetrie (assiali, centrali)
● Ricerca degli zeri della funzione, ovvero soluzione
● dell'equazione f(x) = 0.
Studio del segno della funzione, ovvero soluzione della
● disequazione f(x) > 0.
Ricerca dei punti di massimo e minimo.
● Ricerca dei punti di flesso.
●
54 P B
AOLO ONAVOGLIA
5.2 Una funzione algebrica di 3º grado
y' ' ' =6
Ricerca dei massimi, dei minimi e dei flessi.
6. Si tratta di
risolvere l'equazione f'(x) = 0, in questo caso 3x² - 4 = 0
che ha per soluzioni:
Calcolo infinitesimale 55
3
2
4 2
x=± =±
=± ≈ 1.1547 ...
3 3
3
Si hanno quindi due punti stazionari per x= -2/√3 e x = +-2/√3;
usando il II metodo si calcola la derivata seconda per ogni
punto:
I x= -2/√3 f"(-2/√3) = -12/√3 < 0 c'è un massimo
II x= +2/√3 f"(+2/√3) = +12/√3 > 0 c'è un minimo
Le ordinate dei due punti si ottengono sostituendo
nell'equazione di partenza.
2 2 8 8 16
I x=− ; y= f − =− = ≈3,0792 ...
3 3 3 27
27
2 2 8 8 16
II x= ; y= f = − =− ≈−3,0792 ...
3 3 3 27
27
e in definitiva si hanno i due punti stazionari:
2 16
Max ;
− ≈1,1542;
3,0792
3 27
16
2 ;−
Max ≈1,1542;
3,0792
3 27
5.2.a Ricerca di eventuali punti di flesso.
La derivata seconda è y'' = 6x;
uguagliando a zero si ha:
6x=0
x=0
la derivata terza è 6 e non si
annulla mai, quindi si ha un
flesso decrescente che
coincide con il secondo zero
(B)
Riassumendo tutti questi
risultati si ottiene il grafico a
lato.
56 P B
AOLO ONAVOGLIA
5.3 Ancora una funzione algebrica di 3º grado
La funzione è negativa per x < -3 e positiva altrove, fatto salvo
lo zero nell'origine.
Calcolo infinitesimale 57
Calcolo delle derivate
1. La derivata si ottiene utilizzando
la regola di derivazione della somma e quella della
potenza: 2
y' x x
=3 6
Le derivate successive sono:
ii
y x6
=6
iii
y =6
Ricerca dei massimi, dei minimi.
2. Si tratta di risolvere
l'equazione f'(x) = 0, in questo caso 3x² + 6x = 0 che
fattorizzando diventa:
x x2 =0
3
che ha due soluzioni: x = 0 e x = -2. Usando il secondo
metodo per x = 0 la derivata seconda vale 6, è positiva e
quindi si tratta di un minimo; per x = -2 la derivata
seconda vale -6, è negativa e quindi si ha un massimo.
Abbiamo quindi il massimo M(-2; 4) e il minimo
nell'origine (0; 0)
Ricerca dei flessi.
3. Si tratta di risolvere l'equazione f"(x)
= 0, in questo caso 6x + 6 = 0 che ha una sola soluzione x
= -1; vi è quindi un flesso nel punto F(-1; 2) che è anche
centro di simmetria della curva.
Tangente nel punto di flesso.
4. La retta tangente nel
punto F sarà data dall'equazione del fascio di rette per F
con coefficiente angolare pari alla derivata prima per x =
-1: y−2= f ' x1
−1
y=2−3 x1
y=−3x−1 y=−3 x−1
L'equazione della tangente è quindi
Riassumendo tutti questi risultati si ottiene il grafico della
pagina precedente.
58 P B
AOLO ONAVOGLIA
5.4 Una funzione algebrica di 4º grado
Studiare la funzione 4 2
y = x - 5x + 4
Si tratta di una curva algebrica di 4º grado (quartica)
Vediamo i singoli passi dello studio
Insieme di definizione: si tratta di un polinomio,
1. dunque I = R.
Ricerca degli zeri della funzione,
2. ovvero soluzione
4 2
dell'equazione x - 5x + 4 = 0. Si potrebbe usare la
formula dell'equazione di 2º grado rispetto a x²:
25−16
5± 5±3
x 2 = =
2 2
le due soluzioni sono quindi x² = 4; x² = 1; e vi sono
quattro zeri: x = -2; x = -1; x = +1; x = +2.
Studio del segno della funzione,
3. ovvero soluzione della
4 2
disequazione x - 5x + 4 = 0. Utilizzando il risultato
appena ottenuto la disequazione si può scrivere:
(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2)
Calcolo delle derivate
4. Le derivate successive si
ottengono facilmente utilizzando la regola di derivazione
della somma e quella della potenza:
Calcolo infinitesimale 59
i 3
y x x
= −1
4 0
ii 2
y x
=1 −1
2 0
iii x
y =2 4
i v
y = 2 4
v
y =0
Ricerca dei massimi, dei minimi.
5. Si tratta di risolvere
l'equazione f'(x) = 0, in questo caso 4x³ - 10x; mettendo
in evidenza la x si ha:
x(4x² - 10) = 0; x.(2x + √10).(2x - √10) = 0
si hanno quindi tre soluzioni:
x=0 10
x=− ≈−1,58
2
10
x= ≈−1,58
2
Utilizzando il II metodo si deve considerare la derivata
seconda e calcolarne il valore per ognuno di questi tre
punti: ii
f c' è un massimo
0=−100 ⇒
10 10
ii
f c' è un minimo
− =12× −10=200 ⇒
2 4
10 10
ii
f c' è un minimo
=12× −10=200 ⇒
2 4
Calcolando le ordinate (y) di questi tre punti si trovano i
tre punti stazionari:
f 0=0− 4×04=4 Max 0, 4
10 100 5×10 25 50 9
f − = − 4= − 4=− =−2.25
2 16 4 4 4 4
10 9
Min− ,− Min−1,58 ;−
≈ 2,25
2 4
10 100 5×10 25 50 9
f = − 4= − 4=− =−2.25
2 16 4 4 4 4
10 9
Min ,− Min1,58 ;−
≈ 2,25
2 4
60 P B
AOLO ONAVOGLIA
Ricerca dei flessi.
6. Si tratta di risolvere l'equazione f"(x)
= 0, in questo caso 12.x² - 10 = 0 che ha le due soluzioni:
2
x = ±√(5/6) ~ ±0,91, con y = (5/6) - 5(5/6) + 4 = 19/36.
Vi sono quindi due punti di flesso: Flex(±√(5/6); 19/36) ≈
Flex(±0,91; 0,53)
Riassumendo tutti questi risultati si ottiene il grafico riportato
qui di seguito:
La quartica con le tangenti nei punti di flesso
Calcolo infinitesimale 61
6 - P
RIMI PASSI TRA GLI INTEGRALI
6.1 L'integrale indefinito
Spesso, per esempio in Fisica, è necessario determinare la
funzione che ha per derivata una funzione data.
È il problema inverso della derivata.
Per esempio è facile verificare che una funzione che ha per
derivata y = x (bisettrice del primo quadrante) è:
2
x
y= 2
infatti …
2
x x
D x
=2 =
2 2
Ma è questa l'unica funzione
ad avere x come derivata?
In realtà si verifica
facilmente che anche
2
x
y= 1
2
2
x
y= 2
2 La funzione y=x (retta) e i suoi
2
x
y= −1 integrali indefiniti (parabole)
2
hanno per derivata x; infatti la derivata di 1 è 0, e così pure per
ogni altro valore costante. La soluzione più generale per la
funzione che ha per derivata x é 2
x
y = c
2
costante di integrazione.
dove c sta per Dunque l'operazione
inversa della derivata non ha come risultato una sola funzione,
ma una famiglia di infinite funzioni, una per ogni numero reale c.
Nella figura sopra appare evidente che tutte le parabole di
62 P B
AOLO ONAVOGLIA
2
x
y = c
equazione (qui per c= -1, 0, 1, 2, 3) hanno la stessa
2
pendenza per lo stesso valore di x e quindi hanno la stessa
derivata.
L'operazione inversa della derivata si chiama integrale e si
indica con un simbolo speciale, introdotto da Leibniz, una sorta
di Esse maiuscola stilizzata con un dx alla fine. Si scriverà
dunque: 2
x
∫ x d x= c
2
Più in generale si definisce funzione primitiva o integrale
indefinito di una funzione f(x), la funzione F(x) che ha f(x) per
derivata, e si scrive: ∫ f x xc
dx =F
dove la c è detta costante di integrazione; questa notazione
equivale a scrivere: D F xc= f x
6.2 Integrale della potenza
Dalla definizione di integrale indefinito seguono