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Sintesi
Questo libro è dedicato a persone che possiedono conoscenze di matematica e fisica almeno a livello di maturità scientifica.
Lo stile è didattico-intuitivo. L’approccio alla Meccanica Quantistica è perciò di taglio pratico e bada al sodo dei concetti fisici e della loro veste matematica. Nelle Appendici sono riportati gli strumenti matematici necessari per la comprensione del libro. Gli argomenti di primo livello sono a livello di maturità scientifica, quelli di secondo livello sono adatti a studenti universitari. Questi ultimi sono necessari per una seconda lettura approfondita dell’opera.
Il libro, quindi, si presta a due livelli di approccio: iniziale e approfondito. Il lettore potrà scegliere quello a lui più congeniale.
La presente introduzione della MQ non segue lo sviluppo storico. La creazione della MQ in forma di teoria compiuta occupò praticamente i primi tre decenni del ‘900 e risultò un processo assai complesso e travagliato. Si è preferito invece mostrare la teoria nella sua veste definitiva usando, per lo più, l’interpretazione di Schrödinger in termini di funzione d’onda; esistono in verità diverse interpretazioni della MQ del tutto equivalenti.

Caratteristiche del libro
ISBN 978-88-963-5401-8
pagine 230

Indice


Prefazione
Introduzione
1. Le fondamenta della MQ
I quanti
Il principio di indeterminazione
Ruolo della misura in MQ
Dualismo onda-corpuscolo
Funzioni d'onda
Grandezze fisiche
2. Caso unidimensionale
Posizione
Quantità di moto
La funzione d'onda gaussiana
Energia
Esempi unidimensionali
Moto libero
Buca di potenziale rettangolare
Gradino di potenziale
Oscillatore armonico
3. Caso pluridimensionale
Operatori posizione, quantità di moto, energia. Equazione stazionaria di Schrödinger
Momento angolare
Autovalori ed autovettori dell'operatore
Autovalori dell'operatore i2
Autofunzioni del momento angolare
Atomo di idrogeno
Modello classico di Rutherford
Modello quantistico di Schrödinger
4. Evoluzione temporale
Operatore di evoluzione temporale
Equazione temporale di Schrödinger
Operatore di evoluzione temporale in forma integrale
Esempi numerici di propagazione della
funzione d'onda
Moto libero
Buca di potenziale
Barriera di potenziale
Oscillatore armonico
Appendici
A. Richiami di matematica di primo livello
Numeri complessi
Vettori
Funzioni a più variabili
B. Richiami di matematica di secondo livello
Spazio L2(O,C) e spazi di Hilbert
Cenno alla teoria delle distribuzioni
Trasformata di Fourier
L'equazione di Schrödinger
Abbreviazioni e convenzioni
Bibliografia essenziale
Postfazione di Massimo Teodorani, Ph.D.

Autore


Arrigo Amadori
Arrigo Amadori (Cesena, 1950) laureato in Fisica ha insegnato nelle scuole superiori, attualmente svolge attività di divulgazione scientifica, nel 2007 ha fondato il Circolo Matematico Cesenate, è autori di libri sulla meccanica quantistica e il calcolo differenziale.
Estratto del documento

56

Meccanica Quantistica non Relativistica – Capitolo 2

2

b

=

e .

a 4 π

La funzione d'onda gaussiana (centrata nell'origine) normaliz-

zata risulta essere quindi: b

2 −

Ψ = ⋅ 2 (2.20)

bx

e

4 π

Ricaviamo da questa (valore medio della posizione) e p

x

(valore medio della quantità di moto) che, data l'evidente sim-

metria, ci aspettiamo nulle.

Si ha: +∞ 2

b 2

b

∫ − ⋅ − ⋅

= Ψ Ψ = Ψ Ψ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

2 2

b x b x

ˆ

x x x e x e dx

, , 4 4

π π

−∞

+∞ +∞

⎛ ⎞

b b

2 2 1 ( )

∫ ∫

− ⋅ − ⋅

= ⋅ = − ⋅ − =

2 2

b x b x

2 2

⎜ ⎟

xe dx bx e dx

4

π π ⎝ ⎠

b

4

−∞ −∞

+∞ +∞

b d b

1 2 1 2 ⎡ ⎤

∫ − ⋅ − ⋅

=− ⋅ = − ⋅ =

2 2

b x b x

2 2

e dx e 0

⎣ ⎦

π π −∞

b dx b

4 4

−∞

e: d

= Ψ Ψ = Ψ − Ψ =

ˆ

, ,

p p i dx *

⎡ ⎤

+∞ 2 2

b d b

∫ − ⋅ − ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅ =

2 2

b x b x

⎢ ⎥ .

e i e dx

4 4

π π

dx

⎣ ⎦

−∞ +∞

2

b ∫ − ⋅

= − ⋅ =

2

2 b x

2 0

ib xe dx

π −∞ Ψ

Calcoliamo ora la componente di rispetto all'autostato

a p

Ψ . Si ha:

p +∞ +∞

i i

− − ⋅ −

1 2

b 2

b 2

px b x px

∫ ∫

− ⋅

= Ψ Ψ = ⋅ = ⋅

2

b x .

a , e e dx e dx

4 4

π π

p p 2

h

h − ∞ − ∞ p

L'integrale ottenuto è evidentemente una funzione di che

57

Meccanica Quantistica non Relativistica – Capitolo 2

( )

chiameremo .

f p

Si ha: +∞ +∞ ⎤

⎡ ⎛ ⎞

⎛ ⎞

i

− −

( ) p p

2

bx px

∫ ∫ − =

= = 2 ⎜ ⎟

⎜ ⎟

bx ⎥

f p e dx e cos x i sin x dx

⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎦

− ∞ − ∞ .

+ ∞ + ∞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞

p p

∫ ∫

− −

= 2 2 ⎜ ⎟

⎜ ⎟

bx bx

e cos x dx i e sin x dx

⎝ ⎠

⎝ ⎠

− ∞ − ∞

L'ultimo integrale è chiaramente nullo (il suo integrando è una

funzione dispari tendente a zero all'infinito). Per questo si

ricava: +∞ ⎛ ⎞

( ) p

∫ −

= 2 ⎜ ⎟

bx .

f p e cos x dx

⎝ ⎠

− ∞

Questo integrale è risolubile indirettamente nel seguente

modo: +∞

∂ ⎛ ⎞

df p

∫ −

= =

2

bx ⎜ ⎟

cos

e x dx

∂ ⎝ ⎠

dp p −∞

+∞ ∂ ⎛ ⎞

p

∫ −

= =

2

bx ⎜ ⎟

cos

e x dx

∂ ⎝ ⎠

p

−∞ +∞ ⎛ ⎞

1 p

∫ −

=− =

2

bx ⎜ ⎟

sin

xe x dx

⎝ ⎠

−∞

+∞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1 d p

∫ −

=− − =

2

bx

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

sin

e x dx ,

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

b dx

−∞

+∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 d p

∫ −

= =

2

bx

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

sin

e x dx

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 b dx

−∞

⎧ ⎫

+∞ +∞

⎡ ⎤

⎪ ⎪

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 p p p

∫ −

= − =

2

2

bx bx

⎨ ⎬

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

sin

e x cos

e x dx

⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

⎪ ⎪

2 b ⎩ ⎭

−∞

−∞

+∞ ⎛ ⎞

p p

∫ −

=− 2

bx ⎜ ⎟

cos

e x dx

⎝ ⎠

2

2 b −∞

ovvero: df p

= − .

f

2

2

dp b

Questa è una equazione differenziale del prim'ordine nell'in-

58

Meccanica Quantistica non Relativistica – Capitolo 2

( )

cognita integrabile elementarmente per separazione

f p

delle variabili. df p

= −

Si ha dp

2

2

f b

2

p

= − +

e ln f k

2

4 b

ed infine (utilizzando ancora la lettera ):

k

2

p

− .

= 2

4 b

f ke

è ricavabile dalla condizione iniziale:

La costante k +∞

( ) ∫ −

= 2

bx

f 0 e dx

− ∞ = ⋅

da cui si ottiene (con la sostituzione ):

t b x

+∞ +∞ π

( ) 1

∫ ∫

− −

= = = =

2 2

bx t .

f k e dx e dt

0 b

b

− ∞ − ∞

( ) risulta quindi valere:

La funzione f p 2

π p

= ⋅ .

2

4 b

f e

b Ψ

per cui, di conseguenza, la componente di sarà:

a p 2 2

π π

p p

− −

( )

2 2 2

b b

= Ψ Ψ = ⋅ = ⋅ = ⋅ .

2 2

4 b 4 b

,

a f p e e

4 4 4

π π

p p 2 2 2

h h b h b

In sintesi abbiamo quindi: 2

π p

2

= ⋅ (2.21)

2

4 b

a e

4

p 2

h b

Questa è la distribuzione dei valori della quantità di moto per

la funzione d'onda gaussiana (2.20) e si tratta ancora di una

= . Questo fatto è di grande

gaussiana centrata in p 0

importanza. 59

Meccanica Quantistica non Relativistica – Capitolo 2

La densità di probabilità per un valore della quantità di moto

2

p è allora e deve valere la condizione di

a p

normalizzazione: +∞

∫ 2 =

a dp 1

p

− ∞

che in questo caso porta a: 2

⎛ 2

+ ∞ π p

2

⎜ ⎟

∫ ⋅ =

2 .

b

4

e dp 1

4

⎜ ⎟

2

h b

⎝ ⎠

− ∞

Verifichiamo l'esattezza di questa formula per mostrare anche

1 Ψ

della ,

che la scelta della costante di normalizzazione p

h

fatta a suo tempo, fu giusta.

Proseguendo, si ottiene: 2

+∞

π p

2 ∫

⋅ =

2

2 b

e dp 1

2

h b − ∞

p dp

= =

t dt

che, ponendo e , diventa:

2 2

2 b 2 b

+∞

π

2 ∫ −

⋅ ⋅ =

2

2 t

2 b e dt 1

2

h b − ∞

π

2 π

⋅ ⋅ =

da cui 2

2 b 1

2

h b π 2 2

4 =

e 1

2

h h

=

come volevasi dimostrare (essendo ).

π

2 2

π p

2

b 2

Ψ = ⋅ 2 = ⋅

Alla corrisponde la . Con-

bx 2

e 4 b

a e

4 4

π p 2

h b 60

Meccanica Quantistica non Relativistica – Capitolo 2

frontandole (i loro quadrati) con la distribuzione normale

σ

σ

gaussiana (2.17), ricaviamo gli scarti quadratici medi e p

x

Ψ

(per la e per la rispettivamente).

a p 1

σ = σ =

Si ha evidentemente e , per cui,

b

x p

2 b

moltiplicandoli, si ottiene:

σ σ = .

x p 2

Questo risultato è compatibile con il principio di indetermina-

zione di Heisenberg per cui, come introdotto in modo qualita-

tivo nel paragrafo 1.2, possiamo affermare che le indetermina-

zioni di posizione e quantità di moto coincidono con i loro

scarti quadratici medi, cioè: σ

σ Δ =

Δ = e . (2.22)

p

x p

x

A questo punto della costruzione della MQ possiamo affer-

mare che siamo pervenuti ad una importante conferma della

coerenza della teoria. 61

Meccanica Quantistica non Relativistica – Capitolo 2

2

Ψ 2

Figura 2.6: e compatibili col principio di indeterminazione

a p

Terminiamo il paragrafo introducendo la funzione d'onda (più

generale della (2.20)): ( ) i

− − +

2

2

b b x x p x

Ψ = ⋅ 0 0 . (2.23)

e

4 π

Essa ha queste caratteristiche (che lasciamo dimostrare al

lettore): 2

b ( )

− − 2

Ψ = ⋅

2 ,

2 b x x

e 0

π = =

come per la (2.20), ma centrata in , ,

x x x x

0 0

( )

− 2

π p p

− 0

2

2 = ⋅ ,

2

2 b

a e

p 2

h b 62

Meccanica Quantistica non Relativistica – Capitolo 2

= =

come per la (2.21), ma centrata in , .

p p p p

0 0

Si tratta quindi una particella localizzata “gaussianamente” in

=

un intorno di e con quantità di moto media a

x x p

0 0

distribuzione gaussiana. Useremo questa funzione d'onda a

mo' di campione nel capitolo dell'evoluzione temporale.

2.4 Energia

In MQ l'energia riveste, come è da attendersi, un ruolo

centrale. La conoscenza della forma matematica dell'operatore

che la caratterizza è un punto focale. Prima di addentrarci nei

metodi con cui si descrive l'energia in MQ, però, occorre

richiamarne sinteticamente la trattazione classica. Poi, grazie

al principio di corrispondenza, procederemo con la MQ.

In MC l'energia di una particella libera (non soggetta a forze)

coincide con la sua energia cinetica:

2

1 p

= = . (2.24)

2

E mv

2 2 m

Quando è presente una forza conservativa, l'energia classica

della particella è: 2 ( )

p

= + (2.25)

E U x

2 m

( )

dove è l'energia potenziale che dipende dalla posizione e

U x

che è legata alla forza che agisce sulla particella da:

( )

d

= − (2.26)

F U x

dx

Il fatto che la forza sia conservativa, come affermato sopra,

della particella rimane costante

significa che l'energia E

durante il suo moto il quale è descritto dall'equazione di

Newton: = ⋅ (2.27)

F m x

2

p

Essendo l'energia cinetica positiva o nulla, il moto può

2 m

avvenire solo se vale la condizione: 63

Meccanica Quantistica non Relativistica – Capitolo 2

( )

− ≥ (2.28)

E U x 0

che rappresenta un vincolo imprescindibile in MC.

In MC, un moto avviene esclusivamente nelle regioni di spazio

in cui è soddisfatta la (2.28). Come vedremo, questo non è

vero in MQ e vi è in generale una probabilità non nulla per la

particella di essere anche in zone classicamente proibite

(effetto tunnel). Questo è un altro forte punto qualificante e

rivoluzionario della MQ.

Mostriamo con un esempio come classicamente un moto può

( ) ed una certa

avvenire data una certa energia potenziale U x

energia .

E Figura 2.7: moto classico oscillatorio

La particella può muoversi classicamente solo nella regione di

≤ ≤

spazio con ed oscillerà periodicamente in quell'in-

x x x

A B

tervallo raggiungendo velocità nulle agli estremi (perché in

2 ( )

p = − =

quei punti si ha ) e velocità massima

E U x 0

2 m ( )

(nell'esempio) nel punto di minimo relativo della (perché

U x

2 ( )

p = −

in quel punto si ha massimo).

E U x

2 m

In quest'altro esempio, invece, il moto avviene nella regione

≥ . La particella proviene da destra verso sinistra, in

x x A

= la velocità si annulla poi il moto si inverte (in una

x x A 64

Meccanica Quantistica non Relativistica – Capitolo 2

sorta di urto elastico contro una barriera) e procede da sinis-

tra verso destra.

Figura 2.8: moto classico non oscillatorio limitato a sinistra

Procediamo ora con l'introduzione dell'energia in MQ.

In MQ, all'energia corrisponde un operatore chiamato

hamiltoniano (in onore di Hamilton che portò a compimento la

=

. Per il moto libero, quando cioè ,

MC) ed indicato con U 0

l'hamiltoniano sarà: 2

ˆ

p

=

ˆ (2.29)

H 2 m

d

= −

ovvero, ricordando che :

ˆ

p i dx

⎛ ⎞

⎛ ⎞ 2

1 d d 1 d

= − − = −

ˆ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ 2

H i i

⎝ ⎠

⎝ ⎠ 2

2 m dx dx 2 m dx

cioè, in sintesi: 2 2

d

= −

ˆ . (2.30)

H 2

2 m dx

Questo è l'hamiltoniano per la particella libera (non soggetta a

forze). L'equazione agli autovalori, in questo caso è , ovvero

2 2

d

− Ψ = Ψ (2.31)

E

2

2 m dx 65

Meccanica Quantistica non Relativistica – Capitolo 2

>

che ammette autovalori continui ed autovettori del tipo

E 0

i px , dove è la costante di normalizzazione che

a

Ψ = ae

E

determineremo fra breve.

Infatti: i i i

2 2 2 2

d d d d i

px px px

− = − = − =

ae a e a pe

2

2 m dx 2 m dx dx 2 m dx

i i

2 2

i d i i

px px

= − = − = .

a p e a p pe

2 m dx 2 m

i i

2

p px px

= =

a e Eae

2 m

Si noti una importante particolarità degli autovalori E

dell'energia per una particella libera. Ad un dato valore di E

(positivo) corrispondono i due distinti valori della quantità di

= ±

moto (corrispondenti ai due versi sull'asse delle

p 2 mE

) e quindi due distinti autovettori. Questo fatto si esprime

x

dicendo che gli autovalori (positivi) dell'energia per una parti-

cella libera sono degeneri e con ordine di degenerazione due.

, i corrispondenti autostati sono

Dato un valore positivo di E

allora: i i

+ ⋅ − ⋅

2 mE x 2 mE x

, , (2.32)

Ψ = Ψ =

ae ae

+ −

E E

dove il simbolismo è evidente. Il primo autostato corrisponde

al moto libero della particella da sinistra verso destra, mentre

il secondo autostato, al moto libero da destra verso sinistra.

Ψ

Vedremo più avanti che anche le combinazioni lineari di +

E

Ψ

e sono autostati dell'hamiltoniano libero.

E

Per quanto riguarda la normalizzazione di un autostato

i ⋅

2 mE x , ovvero la determinazione della costante , si

a

Ψ = ae

E

può considerare quanto segue.

Siccome siamo in regime di spettro continuo, la condizione di

normalizzazione è: 66

Meccanica Quantistica non Relativistica – Capitolo 2

( )

δ ′

Ψ Ψ = − ,

, E E

E E

dove ed sono valori dell'energia (positivi).

E E

Esplicitando le funzioni d'onda si ottiene:

+∞ i i ′

⋅ − ⋅ ( )

2 mE x 2 m

E x

∫ ′ ′

δ

= −

*

ae a e dx E E

− ∞ ′ Ψ

(il coefficiente è relativo a ) e, ricordando che

a E′

>

= (supponendo qui ):

p 0

p 2 mE +∞ ( )

i ′

− ( )

p p x

′ ′

δ

= −

* (2.33)

a a e dx E E

− ∞

D'altra parte, per la proprietà fondamentale della delta di

qualunque vale:

Dirac, sappiamo che, per una funzione f

+∞ ( ) ( ) ( )

∫ δ ′ ′

− =

f E E E dE f E

− ∞

2

p =

=

e, poiché da si ricava , dove è la velocità

v

dE vdp

E 2 m

(qui positiva), di conseguenza si ha:

+∞ ( ) ( ) ( )

∫ δ ′ ′

− = .

f E E E vdp f E

− ∞

Si deduce perciò che: ( ) ( )

′ ′

δ δ

− = −

E E v p p

perché, sempre per la proprietà fondamentale della delta di

Dirac, vale: +∞ ( ) ( ) ( )

∫ ′ ′

δ − = .

f p p p dp f p

− ∞ p

e perché è funzione di .

E

La (2.33) allora diventa:

+∞ ( )

i ′

− ( )

1

p p x

′ ′

δ

= −

*

a a e dx p p

v

− ∞ 67

Meccanica Quantistica non Relativistica – Capitolo 2

da cui: +∞ i ( )

− ( )

p p x

∫ δ

′ ′

= −

* .

va

a e dx p p

− ∞

Questa è la formula per la normalizzazione degli autovettori

della quantità di moto. Si deduce quindi che deve essere:

1

′ =

*

va

a h

=

da cui, se (è questo il caso per la normalizzazione) si

E E

ricava infine: 1

= .

a hv

Gli autovettori normalizzati dell'energia (per il moto libero da

sinistra verso destra) sono allora:

i ⋅

1 2 mE x

Ψ = . (2.34)

e

E hv

A questo punto sorge il problema di come descrivere quan-

tisticamente la presenza di una forza che agisce sulla

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