VIII Giornata di studio Analisi Non Standard per le scuole superiori (ebook)

2. Gli infinitesimi in Matematica tra Scienza e Filosofia 31

←→ a a a a a . . .

0 0, 00 01 02 03 034

←→ a a a a a . . .

1 0, 10 11 12 13 14

←→ a a a a a . . .

2 0, 20 21 22 23 24

←→ a a a a a . . .

3 0, 30 31 32 33 34

←→

... ...

Tabella 2.3: Numeri decimali illimitati

Adesso, si consideri il numero b b b b b . . .

0, 0 1 2 3 4

ove è una qualunque cifra diversa da è una qualunque cifra diversa da

b a , b a ,

0 00 1 11

è una qualunque cifra diversa da etc. Risulta evidente che

b a , b b b b b . . .

0,

2 22 0 1 2 3 4

non ha trovato posto nella Tabella 2.3 in quanto non compare nella lista. Infatti

non si trova nella casella in quanto non si trova nella casella in

6

b a ,

0 = 1

0 00

quanto e così via.

6

b a ,

=

1 11

Dunque, l’insieme dei numeri reali in è più numeroso dell’insieme dei

[0, 1]

numeri naturali ovvero

N, n > n

([0, 1]) (N)

Il numero corrispondente a si chiama cardinalità del continuo ed, in genere,

[0, 1]

è denotato dalla lettera gotica “c”; dunque si ha che

ℵ

> .

c 0

Su questa base Cantor ha costruito l’aritmetica dei numeri infiniti. Per la prima

volta nella storia, l’infinito è stato addomesticato dal pensiero umano. Comunque

questa aritmetica risulta un po’ bizzarra, infatti, se e sono numeri cardinali

a b

infiniti, allora ×

a b a b b).

+ = = max(a,

Infiniti cardinali

32 VIII giornata di studio NSA

2.2.2 I numeri ordinali

Cantor ha avuto anche un altro grande merito. Si è reso conto che quando si

contano insiemi infiniti il risultato dell’operazione dipende dal metodo che si usa

per contare. Naturalmente con gli insiemi finiti ciò non è vero, ma questa è una

complicazione che va accettata per trattare con l’infinito. Pertanto per contare

insiemi infiniti si devono usare differenti tipi di numeri; il tipo di numeri impiegato,

dipende dal metodo impiegato per contare. Se contiamo un insieme mediante il

metodo impiegato nei paragrafi precedenti si ottengono i numeri cardinali che si

dividono in numeri cardinali finiti possono essere identificati

. . . .(che

0, 1, 2, 3, 4,

con i numeri naturali) ed i cardinali infiniti che vengono denotati con i simboli

ℵ ℵ ℵ

, , , . . .

0 1 2

L’altro metodo introdotto da Cantor ci porta ai numeri ordinali. Non intro-

durremo i numeri ordinali col metodo di Cantor, ma useremo la definizione di Von

Neumann che, oltre ad essere più semplice ed estremamente elegante, permette an-

che di dare una definizione di numero che è molto significativa anche quando viene

applicata ai numeri naturali. Per introdurre gli ordinali di Von Neumann dobbiamo

iniziare da una domanda fondamentale: come possiamo definire i numeri naturali?

Che cos’è lo zero? Che cosa rappresenta il numero uno? etc.

Numeri ordinali

La risposta di Von Neumann non è certo l’unica risposta che è stata data da

matematici e filosofi, ma è certamente una delle più suggestive perchè costruisce

tutto dal niente. Esaminiamo la prima e fondamentale domanda: cos’è lo zero.

Lo zero non è niente, ma il niente in matematica è un’ente ben preciso che ha un

nome: "insieme vuoto" ed un simbolo per rappresentarlo: "∅". E dunque abbiamo

la nostra prima definizione: 0 := ∅

Passiamo adesso alla seconda domanda: che cos’è il numero 1. Se lo 0 è un

insieme anche l’uno deve essere un insieme ed è ragionevole pensare che sia un

insieme contenente un elemento. Ma quale elemento? Ovviamente sarà l’unico

ente che abbiamo a disposizione, ovvero lo 0, e duque risulta naturale la seguente

definizione del numero 1 : {∅} .

1 :=

2. Gli infinitesimi in Matematica tra Scienza e Filosofia 33

Si osservi la sottile differenza tra e è l’insieme vuoto, ma non è

{∅} {∅}

.

∅ ∅

vuoto in quanto contiene un ente che certamente esiste (ovviamente nel mondo

delle idee). A questo punto il nostro lettore avrà capito anche come si costruiscono

gli altri numeri naturali: {∅, {∅}}

2 := ;

{∅, {∅} {∅, {∅}}}

,

3 :=

e così via. Usando una notazione più semplice e leggibile, possiamo scrivere

0 = ∅

{0}

1 = {0,

2 = 1} (2.2)

{0,

3 = 1, 2}

{0,

4 = 1, 2, 3}

.......

{0,

n . . . , n}

+1 = 1, 2, 3,

Dunque, secondo Von Newmann, ogni numero naturale è un insieme parti-

n

colare (ovvero l’insieme dei numeri naturali più piccoli di lui). I numeri così definiti

si chiamano numeri (di Von Neumann). La relazione d’ordine tra numeri

ordinali

ordinali è definita dalla seguente regola:

⇐⇒ ∈

y < x y x.

Dunque i numeri ordinali possono essere definiti dalle due regole seguenti:

• 0 è un numero ordinale.

• è un numero ordinale se e soltanto se è un insieme di numeri ordinali che

β

gode della seguente proprietà: dati due numeri ordinali e allora

∈ ∈

x β, y x,

∈

y β.

In base a queste due regole, l’insieme

{0, . . . . . . ..}

:= 1, 2, 3, 4, 5,

N 0

è lui stesso un numero ordinale. Ma non può essere identificato con alcun numero

naturale in quanto è infinito. Infatti è il numero ordinale infinito più piccolo e

viene denotato con la lettera Dunque anche al pari dei numeri naturali di Von

ω. ω

Neumann è l’insieme dei numeri ordinali più piccoli di lui. Ovviamente la storia non

finisce qui e si possono produrre altri numeri ordinali. Per esempio le uguaglianze

34 VIII giornata di studio NSA

2.2 possono essere riscritte nel seguente modo:

0 = ∅

∪ {0}

1 = 0 ∪ {1}

2 = 1 ∪ {2}

3 = 2 ∪ {3}

4 = 3

.......

∪ {n}

n n

+1 =

Con questa scrittura vediamo che ogni numero ha un successore, e questo

0

n n ,

si ottiene aggiungendo al numero l’insieme che ha come unico elemento il numero

stesso. Applicando la stessa regola a otteniamo un nuovo numero

ω,

0 ∪ {ω} {0,

ω ω . . . , ω}

:= = 1, 2, 3,

Poichè è diverso da ogni numero naturale, abbiamo che il successore

0 0

6

ω ω ω; ω ,

=

di è un nuovo numero che, come appare ovvio , sarà denotato col simbolo

3

ω Naturalmente questo processo può essere reiterato ed otteniamo la seguente

ω + 1.

tabella: ∪ {ω}

ω ω

+1 = ∪ {ω {0,

ω . . . , ω, ω

+2 = (ω + 1) + 1} = 1, 2, 3, + 1}

∪ {ω {0,

ω . . . , ω, ω ω

+3 = (ω + 2) + 2} = 1, 2, 3, + 1, + 2}

.......

{0,

ω . . . , ω, ω ω . . . , ω n}

+ (n + 1) = 1, 2, 3, + 1, + 2, +

Kroneker che è stato un insigne matematico tedesco dell’800,

Remark 2.2.1.

soleva dire che i numeri naturali sono stati creati da Dio, mentre tutti gli altri

numeri sono stato costruiti dall’uomo. Con questo aforisma egli intendeva dire

che mediante i numeri naturali, con costruzioni più o meno complesse, si potevano

definire tutti gli altri insiemi numerici quali i numeri razionali, i numeri reali, i

numeri complessi e così via. Al contrario i numeri naturali vanno presi così come

sono dati dalla nostra intuizione: ogni tentativo di razionalizzazione non fa altro

che complicare le cose. Questo punto di vista è stato clamorosamente smentito

un secolo dopo da Von Neumann con la sua meravigliosa costruzione dei numeri

naturali: bella, semplice e vicinissima all’intuizione. Von Neumann ha costruito i

numeri naturali dal nulla e su di essi ha costruito anche la meravigliosa struttura

dei numeri ordinali. In questo modo ha anche tolto a Dio il monopolio del "Creare

dal Nulla" (almeno per quanto riguarda le cose che vivono nell’iperuranio).

3 In seguito vedremo che la cosa non è cosi ovvia; quando si lavora con l’infinito bisogna sempre

essere cauti.

2. Gli infinitesimi in Matematica tra Scienza e Filosofia 35

A questo punto si pone la seguente domanda:

I numeri di Von Neuman sono una bella cosa, ma con essi si possono

contare gli elementi di un insieme infinito?

La risposta è si, ma con essi si possono contare solamente gli elementi di un

insieme dopo che essi sono stati messi in fila, pertanto prima cosa da fare è quella

di mettere in fila gli elementi di in modo che ogni gruppo abbia un capofila .

4

E

Successivamente poniamo gli elementi di in corrispondenza biunivoca con gli

E

elementi di un ordinale di Von Neumann in modo che venga rispettato l’ordine

della fila. Questo ordinale, chiamiamolo rappresenta il risultato di questa conta

β,

e scriveremo β

ord(E) =

Vediamo degli esempi: consideriamo il seguente insieme:

New York, Gerusalemme, San Paolo}

{Siena,

Prima di contare dobbiamo stabilire un ordinamento: per esempio stabiliamo

l’ordinamento lessicografico per cui si ha:

New York, San Paolo, Siena) (2.3)

5

(Gerusalemme,

Questo ordinamento ci porta alla seguente tabella:

0 Gerusalemme

←→

1 New York

←→

2 San Paolo

←→

3 Siena

←→

Ma l’insieme è il numero e dunque l’insieme (2.3) ha quattro

{0, 1, 2, 3} 4

elementi. In simboli: New York, San Paolo, Siena)

ord(Gerusalemme, = 4

Se cambiamo l’ordinamento e ordiniamo le città secondo il numero di abitanti

avremo l’insieme Gerusalemme, New York, San Paolo)

(Siena,

e la tabella:

4 Questa operazione in matematica si chiama buon ordinamento. Più precisamente un insieme

⊂

E si dice ben ordinato se ogni sottoinsieme A E ha il minimo (il capofila!). Per esempio i

numeri naturali sono un insieme ben ordinato. Al contrario i numeri razionali non lo sono. Per

vedere ciò, basta osservare che l’insieme dei numeri razionali positivi non ha il minimo.

5 Si osservi che qui abbiamo usato l’usuale convenzione che gli elementi di un insieme ordinato

si pongono in parentesi tonda.

36 VIII giornata di studio NSA

0 Siena

←→

1 Gerusalemme

←→

2 New York

←→

3 San Paolo

←→

In questo caso, il numero delle città rimane invariato, ovvero 4. Ma le co-

se cambiano con gli insiemi infiniti. Consideriamo l’insieme di tutti i programmi

considerati nel paragrafo 2.2.1. Se li ordiniamo secondo la Tabella 2.2, allora i

programmi sono ma possiamo decidere di ordinarli in altro modo; mettiamo

ω,

dapprima tutti i programmi che iniziano con e poi tutti i programmi che iniziano

0

con Allora otteniamo una tabella diversa:

1. 0 0

←→

1 00

←→

2 01

←→

3 000

←→

4 001

←→

5 010

←→

6 011

←→

7 0000

←→ ...

←→

... 1

←→

ω 10

←→

ω +1 11

←→

ω +2 100

←→

ω +3

... ...

←→

In tal modo abbiamo riempito tutte le caselle della tabella contrassegnate con i

numeri con i programmi che iniziano con e tutte le caselle contras-

. . .

0, 1, 2, 3, 0

segnate dai numeri infiniti con i programmi che iniziano

ω, ω ω ω . . .

+ 1, + 2, + 3,

con 1.

In conclusione abbiamo ottenuto il numero ordinale

{0, }

. . . , ω, ω ω ω . . .

1, 2, 3, + 1, + 2, + 3,

che ovviamente è maggiore di qualunque sia il quale, come il lettore

∈

ω n n ω,

+

può facilmente intuire viene denotato col simbolo 6

·

ω 2.

In ogni caso, se contiamo un insieme usando i numeri ordinali, il principio di

Euclide può essere violato. Per esempio, se ordiniamo i numeri quadrati secondo il

loro ordine naturale, otteniamo nuovamente la tabella 2.1 e pertanto si ha che

})

. . . ω

0rd ({0, 1, 4, 9, 16, =

6 · 6 ·

Si osservi che ω ω. L’aritmetica ordinale è piuttosto complessa, ma la sua analisi

2 = 2

esula dagli scopi del presente articolo.

2. Gli infinitesimi in Matematica tra Scienza e Filosofia 37

Dunque anche in questo caso i quadrati hanno lo stesso numero (ordinale) di

elementi di tutti i numeri naturali. Paradosso! Ma non contraddizione. Dunque

possiamo contare gli insiemi infiniti con i numeri ordinali anche se finiamo con

l’ottenere un’aritmetica ancora più bizzarra (ancorché più bella) di quella dei numeri

cardinali.

2.2.3 Tre metodi per contare

A questo punto si pone la seguente domanda.

Esiste un altro metodo per contare gli insiemi infiniti in modo

che si possa rispettare il principio di Euclide?

La risposta è SI’ ma, ovviamente, dobbiamo rinunciare al Principio di Hume.

Prima presentare questo nuovo modo di contare, vediamo come contano i bambini:

• Bambino di tre anni: se a un bambino di tre anni chiedete l’età probabilmente

alzerà tre ditini; in questo modo stabilisce una corrispondenza biunivoca tra il

numero dei suoi anni e il numero delle dita alzate (si conta per corrispondenza

biunivoca).

• Bambino di cinque anni: se un bambino di cinque anni vuol sapere quante

caramelle ha in primo luogo le metterà in fila e successivamente "reciterà" la

filastrocca che ha imparato a memoria: uno, due, tre, quattro,. . . Quando

si fermerà saprà che il numero delle sue caramelle è l’ultimo numero che