La seconda prova di Matematica per il liceo scientifico (ed. 2023)

A

E

F F

C D

conseguenza, anche i triangoli EFA e CFD sono simili e gli angoli e sono congruenti;

3) EA è parallela a CB;

4) Il quadrilatero AECD è inscrivibile in una circonferenza. 24

b) Ammesso che le misure di BC e CD, rispetto ad un’assegnata unità di misura, siano 6 e , dopo aver

5

riferito il piano della figura ad un conveniente sistema di assi cartesiani, determinare:

1) le coordinate dei punti A, B, C, D, E;

2) l’equazione della circonferenza circoscritta al quadrilatero AECD.

PROBLEMA 2

Nel piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione:

[ ] = + + +

4 3 2

1 y x ax bx c

a) Dimostrare che, nel punto in cui secano l’asse y, hanno tangente parallela all’asse x.

b) Trovare quale relazione deve sussistere fra i coefficienti a, b affinché la curva [1] volga la concavità verso

le y positive in tutto il suo dominio.

c) Determinare i coefficienti a, b, c in modo che la corrispondente curva [1] abbia, nel punto in cui seca

( )

2

, 2

l’asse y, un flesso e la relativa tangente inflessionale la sechi ulteriormente nel punto di coordinate .

d) Indicata con K la curva trovata, stabilire com’è situata rispetto all’asse x, fornendo una esauriente

spiegazione della risposta.

e) Dopo aver verificato che la curva K presenta un secondo flesso, calcolare l’area della regione finita di

piano delimitata da K e dalle due tangenti inflessionali.

QUESTIONARO

1. Si considerino un tronco di piramide quadrangolare regolare, la cui base maggiore abbia area quadrupla

a

della minore, e un piano equidistante dalle basi del tronco. Dire se i dati sono sufficienti per calcolare

a

il rapporto fra i volumi dei due tronchi in cui il tronco dato è diviso dal piano a .

2. Sia ABC un qualsiasi triangolo. Sui suoi lati ed esternamente ad esso si costruiscano i tre quadrati

ABDE, BLFG e CAHL. Dimostrare, col metodo preferito, che i triangoli AHE, BDG e CFL sono

equivalenti al triangolo ABC.

3. Luca e Claudia devono calcolare il valore di una certa espressione contenente logaritmi. Trovano come

risultati rispettivamente: + +

log 27 log 12

, 2 log 81

2 2 2

Ammesso che il risultato ottenuto da Luca sia esatto, si può concludere che quello ottenuto da Claudia è

sbagliato? Fornire una risposta esaurientemente motivata.

= + +

2 2

4. Dimostrare che ogni funzione del tipo , dove a, b, c sono numeri

y a sin x b sin x cos x c cos x

reali non contemporaneamente nulli, ha di regola per grafico una sinusoide. C’è qualche eccezione?

n

å k

3

5. Determinare il più grande valore dell’intero n per cui l’espressione non supera 10000.

=

k 0

cos x

6. Dimostrare che il limite di , per x tendente a 0, è 1, esplicitando ciò che si ammette.

( ) = -

2

f x x 1

7. Determinare il dominio di derivabilità della funzione .

72

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2

( ) ( )

ò =

f x

8. Sia una funzione continua per ogni x reale tale che . Dei seguenti integrali:

f x dx 4

0

1 1 æ ö

x

( )

ò ò çè ÷ø

e

f 2 x dx f dx

2

0 0

se ne può calcolare uno solo in base alle informazioni fornite. Dire quale e spiegarne la ragione.

9. Dimostrare la seguente formula: - -

æ ö æ ö æ ö

n n 1 n 1

ç ÷ ç ÷ ç ÷

= +

ç ÷ ç ÷ ç ÷

-

k k k 1

è ø è ø è ø

< <

dove n, k sono numeri naturali tali che .

0 k n

Essa spiega una delle regole sulle quali è basata la costruzione del "triangolo di Tartaglia" (da Niccolò

Fontana, detto Tartaglia, 1505 ca. – 1557): enunciarla.

10. Calcolare quante sono le possibili "cinquine" che si possono estrarre da un’urna contenente i numeri

naturali da 1 a 90, ognuna delle quali comprenda però i tre numeri 1, 2 e 3.

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RISULTATI

PROBLEMA 1

a. ˆ

B

C E

1. EC è perpendicolare a CB in quanto è retto perché somma di due angoli complementari;

2. EFC e AFD hanni tutti gli angoli uguali mentre EFA e CFD hanno due lati ordinatamente proporzionali e

gli angoli compresi, per cui sono a coppie simili;

3. Considerati i segmenti EA e CB, essi formano con la trasversale AC angoli alterni interni congruenti e

quindi, per il teorema inverso delle rette parallele, i segmenti EA e CB sono paralleli;

4. Il quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari, quindi è inscrivibile in una circonferenza;

b.

1. Fissato un sistema cartesiano ortogonale centrato nel punto B e tale che il lato BC sia sull’asse positivo

æ ö

54 72

( ) ( ) ( ) ( )

ç ÷

A 3

, 4 , B 0

,

0 , C 6

,

0 , D , , E 6

, 4

delle ascisse si ha: ;

25 25

è ø

+ - - + =

2 2

2. .

x y 9 x 4 y 18 0

PROBLEMA 2 =

a. La derivata prima si annulla in ;

x 0

- £

2

3

a 8

b 0

b. La condizione da soddisfare è ;

= - = =

a 2

, b 0

, c 2

c. ;

d. Il grafico della funzione è situato sopra l’asse delle x in quanto la funzione è sempre positiva;

63

( ) =

F 1

,

1

e. Il secondo flesso è e l’area richiesta è .

S 20

QUESTIONARIO V 37

=

1

Q1. I dati sono sufficienti e si ha ;

V 19

2 a

× ×

a b sin a

=

Q2. Utilizzare la formula , dove è l’angolo compreso tra a e b;

S 2

Q3. Il risultato di Claudia è equivalente a quello di Luca ed è esatto;

¹ ¹ ¹

= - ¹ -

= = = =

a 0

, b 0

, c 0

a c

Q4. La funzione è sinusoidale se con ; se o o con

a c

b c 0 a b 0

¹ ¹

a 0

, c 0 la funzione non è sinusoidale;

=

Q5. ;

n 8

Q6. Si consulti un testo scolastico; { }

- ±

Q7. La funzione è derivabile in ;

R 1

1 1 æ ö

x

( )

ò ò

=

Q8. mentre non è calcolabile;

çè ÷ø

f 2 x dx 2 f dx

2

0 0

Q9. Esplicita tutti i fattoriali e poi esegui i calcoli;

æ ö

87

ç ÷

= =

C 3741

Q10. Le possibili combinazioni sono .

ç ÷

87 , 2 2

è ø 74

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27.LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO

A.S. 2004-2005 SESSIONE SUPPLETIVA

PROBLEMA 1

Sono dati una piramide triangolare regolare e il prisma retto inscritto in essa in modo che una base sia la

sezione della piramide con il piano equidistante dal suo vertice e dalla sua base.

A) Ammesso di conoscere il volume della piramide, dire se è possibile calcolare il volume del prisma e

fornire una esauriente spiegazione della risposta.

B) Posto che lo spigolo della base ABC della piramide sia lungo 4 cm:

1. calcolare la misura dello spigolo della base MNP del prisma, complanare ad ABC;

2. supposto che gli spigoli AB ed MN siano paralleli, riferire il piano dei triangoli ABC ed MNP ad un

sistema di assi cartesiani avente l'origine in A e l'asse delle ascisse coincidente con la retta AB e

trovare le coordinate dei vertici di tali triangoli;

3. determinare quindi l'equazione della parabola avente l'asse perpendicolare alla retta AB e passante

per i punti A, B, M e verificare che passa pure per N;

4. calcolare le aree delle parti in cui la parabola trovata divide i triangoli ABC ed MNP;

5. spiegare esaurientemente, col metodo preferito, com'è posizionata la circonferenza circoscritta al

triangolo MNP rispetto al triangolo ABC.

PROBLEMA 2 a

( ) =

È assegnata la funzione , dove a è un parametro reale non nullo.

f x

a + 2

1 x ( )

f x

1. Dopo aver fornito la definizione di funzione limitata, spiegare perché la funzione è limitata;

a

2. Una volta riferito il piano ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali Oxy ed indicato con A

>

il punto di massimo del grafico G della funzione quando , scrivere l'equazione della circonferenza

a 0

g di diametro OA;

3. Determinare quanti e quali punti hanno in comune la circonferenza g e la curva G, quando a varia

nell'insieme dei numeri reali positivi;

a

4. Calcolare il valore di a per il quale la circonferenza g e la curva G hanno in comune i vertici di un

triangolo equilatero; a G

5. Dopo aver controllato che il valore sopraddetto è 4, indicare con e la circonferenza e la

g G

curva corrispondenti a tale valore e calcolare le aree delle regioni piane in cui la curva divide

il cerchio delimitato da .

g

QUESTIONARO

1. È dato un trapezio rettangolo, in cui le bisettrici degli angoli adiacenti al lato obliquo si intersecano in un

punto del lato perpendicolare alle basi. Dimostrare che il triangolo avente per vertici questo punto e gli

estremi del lato obliquo è rettangolo e trovare quale relazione lega il lato obliquo alle basi del trapezio.

2. Siano AB, AC, AD tre spigoli di un cubo. Sapendo che uno spigolo è lungo s, calcolare la distanza del

vertice A dal piano dei punti B, C, D.

3. Alberto e Gianna sono chiamati a risolvere la seguente equazione:

p

p

1 5 p

p

= = + = +

. Alberto ottiene come soluzione gli angoli x tali che: oppure (k

sin x cos x x k x k

4 12 12

p p

( ) k

= - +

intero qualsiasi). Gianna trova la seguente soluzione: (k intero qualsiasi).

x 1 k

12 2

È vero o è falso che Alberto ha risolto correttamente e Gianna no? Fornire una risposta esauriente

( ) ( ) ( )

- - - + + =

2

4. Si consideri la seguente equazione in x: dove k è un parametro reale

k 2 x 2 k 1 x k 1 0 + ¥

+

diverso da 2. Indicate con x' ed x'' le sue radici, calcolare i limiti di quando k tende a 2, a e a

x ' x ' '

- ¥ . 75

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1

( )

- ®

5. Il limite della funzione per :

1 x x 0

x + ¥

A) è uguale a 1; B) è uguale a ; C) non esiste; D) è uguale ad e; E) è uguale ad 1/e;

essendo e la base dei logaritmi naturali. Una sola risposta è corretta. Individuarla e fornire una

spiegazione esauriente. ( )

6. Fornire un esempio di funzione reale di variabile reale avente le seguenti caratteristiche:<