Giornata di studio Analisi Non Standard 6 (ebook)

24 VI giornata di studio NSA

Questo slogan coglie correttamente la nozione di limite: di fatto si può dimo-

strare abbastanza agevolmente che un certo numero è il limite nella nozione non

standard se e solo se lo è nella nozione cosiddetta εδ.

Questo slogan mostra anche tutta la complicazione della nozione oggi classica:

è un gioco competitivo a due in cui il secondo giocatore ha una strategia vincente

se il numero che si ritiene sia il limite lo è davvero.

Cioè, di fronte ad una sfida lanciata dal primo giocatore di avvicinare il risultato

più di una qualsiasi quantità reale prefissata, il secondo giocatore deve trovare dei

margini d’intervento tali che ogni azione scelta entro quei margini permetta di

superare la sfida.

È un problema del tipo “per ogni - esiste - per ogni” che si risolve facendo cor-

rispondere a un qualsiasi traguardo assegnato (per ogni distanza massima richiesta

dal limite) un opportuno livello d’impegno (esiste un intorno di c privato di c) in

modo che ogni azione fatta con almeno quell’impegno (per ogni valore dell’intorno)

porta a superare la prova.

In più bisogna partire dal traguardo richiesto per giungere a quanto ci si deve im-

pegnare, invece di partire dall’impegno assoluto per giungere al risultato raggiunto

in modo assoluto, come avviene con i metodi non standard.

Inoltre la tecnica “classica” permette solo di verificare che un certo numero

è il limite, ma non dice niente di come trovarlo. Al contrario la nozione con gli

infinitesimi porta direttamente a trovare il limite nel momento in cui si trascura il

trascurabile.

Tutte queste difficoltà della nozione “classica” derivano esattamente dal voler

rifiutare aprioristicamente gli infinitesimi.

In un certo senso si possono scusare i matematici dell’800 che, quando non era

ancora chiara la nozione di numero reale, pensavano di riottenere i risultati ottenuti

dall’analisi infinitesimale usando gli infinitesimi (reciproci di infiniti in atto) usando

solo l’infinito potenziale.

Ma verso la fine dell’800 ci si accorse che per dire correttamente cosa sono i

numeri reali bisognava usare l’infinito attuale nella forma della totalità dei naturali

(Cantor).

Quanti danni ha procurato Aristotele con la sua accettazione dell’infinito po-

tenziale e rifiuto di quello attuale: cioè è accettabile un processo che non termina

mai, ma non si può neppure concepire un qualcosa che ha infiniti elementi, ad

esempio tutti quelli del processo che non termina mai.

Come aveva già mostrato Zenone, la posizione aristotelica sull’infinito tiene solo

se si accetta che Achille non raggiungerà mai la tartaruga. Altrimenti o si rifiutano

entrambe le nozioni d’infinito, incluso quello potenziale, (accettando che non ci

siano processi che non terminano, e assumendo una posizione atomista senza con-

tinuità e senza triangoli equilateri) oppure si accettano entrambe, e dunque anche

quello attuale e la concepibilità di oggetti infiniti (e dei loro reciproci infinitesimi).

2. Aspetti non standard non riconducibili ad una trattazione classica 25

Poiché per sviluppare la matematica odierna bisogna comunque accettare l’infi-

nito attuale, oggi non si giustifica più l’enorme aumento di complicazione presentato

dalla trattazione standard introdotta prima ancora che sia indispensabile.

Così facendo si rende molto più difficile per gli studenti la comprensione di

quella parte di matematica che è opportuno acquisiscano.

Perché continuare a presentare la matematica come una disciplina inutilmente

così complicata da doverla odiare, quando, accettando di parlare d’infinitesimi,

diventa molto più naturale e piana?

Tutto ciò non vuol dire che non sia opportuno giungere anche alla nozione εδ

di limite e alle sue conseguenze, ma a suo tempo, forse alla fine dell’ultimo anno

delle superiori, se non dopo.

Di fatto, grazie agli infinitesimi, si lega la visione globale di processi con una

visione puntuale nell’infinitamente vicino a un certo punto, ma può essere utile

vedere il comportamento del processo nel “vicino”, visibile alla scala dei razionali,

di quel punto, e allo scopo è utile legare l’approccio “classico” a quello non standard.

2.15 Nozioni di infinito

Si osservi che la nozione d’infinito attuale soggiacente gli infinitesimi è diversa da

quella cantoriana.

Infatti, con gli infinitesimi, la nozione d’infinito, che è attuale, può essere evi-

denziata considerando quanti passi si devono fare se si volesse andare da un punto

A a un punto B, visibili sulla retta nella scala usuale, mediante passi di lunghezza

infinitesima. ×∞

ξ

A

A B

Facendo un numero finito di passi si rimane sempre infinitamente vicino ad A,

sicché per arrivare a B bisogna fare infiniti passi.

Bisogna accettare i numeri naturali infiniti (ipernaturali)

che contano tali passi!

Come immaginarsi tali numeri naturali?

Sono adatti a contare insiemi così grandi (infiniti) che prima di raggiungere

contando tutti gli elementi dell’insieme per forza si perde il conto.

26 VI giornata di studio NSA

Ma, dopo aver perso il conto, ci sono ancora elementi da considerare e se ne

può contare ancora uno in più di quelli cui si era giunti avendo perso il conto (cioè

passare al successore immediato del numero sconosciuto cui si era giunti), e poi un

altro ancora, e così via proseguendo con i numeri ipernaturali fino ad aver esaurito

gli elementi dell’insieme.

In questo processo si può perdere nuovamente il conto, e si può addirittura

perdere il conto di quante volte si è perso il conto.

Gli ipernaturali per raggiungere i quali si è perso il conto almeno una volta

vengono detti ipernaturali infiniti.

È evidente che la nozione d’infinito attuale introdotta con i numeri ipernatu-

rali è ben diversa dalla nozione cantoriana: questa considera infinito l’insieme dei

naturali che, come vengono intesi generalmente, sono singolarmente finiti, mentre

gli ipernaturali presentano singoli numeri che sono infiniti attuali.

2.16 Integrare entrambi i mondi

È opportuno che entrambe le nozioni d’infinito, sia standard che non standard, ven-

gano acquisite dagli studenti per raggiungere una matematica avanzata e poterne

disporre quando richiesto.

Ma questa non è la situazione normale degli alunni delle scuole secondarie

neppure quelle di secondo grado, nelle quali si può sviluppare con estremo rigore

tutta l’analisi matematica prevista nei programmi in modo naturale usando solo

metodi non standard, almeno inizialmente, includendo anche facili dimostrazioni

che siano esplicative e mostrino il significato di ciò che si fa.

Anche se è vero che ogni affermazione nel linguaggio dei reali si dimostra clas-

sicamente se e solo se si dimostra con i metodi non standard, in un linguaggio più

ricco i metodi non standard permettono di ottenere di più di quanto si raggiunge

con i metodi classici (Henson-Keisler), con modalità più semplici. Nella didatti-

ca scolastica non interessa tanto arrivare a più risultati molto avanzati, ma alla

semplicità della trattazione che può essere conseguita con metodi non standard.

Questi prevedono di accettare di concepire gli infinitesimi, la funzione parte

standard, e un predicato in più che indichi quando un elemento è o non è standard,

che non sono disponibili classicamente.

Così l’immediatezza, la facilità e la semplicità ottenute con i metodi non

standard non sono riducibili a una trattazione classica né ottenibili in questa.

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standard analysis. Springer, 2007

3

Teaching analysis with ultrasmall numbers

1

Richard O’Donovan

Collège André-Chavanne

Geneva

Since the origins of analysis in the 17th century, mathematicians have hesitated

between the heritage of Newton and the heritage of Leibniz. The modern theory

is closer to Newton, but the notation is still very Leibnizian – think of what the dx

means at the end of an integral.

Many instructors refer to an intuition of infinitely small quantities – or arbitrarily

small values – to help students form a mental image when the limit is involved.

The concept of “really tiny” is much more potent than that of the limit. Then the

formalisation reverts to limits.

A rigorous theory of infinitesimals, known as nonstandard analysis, was deve-

loped by Robinson in the 1960s. Nelson and Hrbacek then separately provided

2

axiomatic approaches.

The theory used here is based on research by Péraire [2] and Hrbacek [1, 4]

and developed jointly with Lessmann and O’Donovan [5, 6, 7] in order to be usable

even at introductory level.

3.1 Introduction

The story has been the same for the last three hundred years: Newton or Leibniz?

3

For the definition of continuity at a point, which heritage do you prefer?

— assuming one masters the alternation of quantifiers:

− ⇒ |f −

> > a| < δ f < ε).

(∀ε 0) (∃δ 0) (∀x) (|x (a) (a)|

1 contact: rjodonovan@gmail.com

2 more recently; Benci, Forti and Di Nasso provided yet different axiomatisations [3].

3 We use the word “heritage” since the modern formulation does not go back beyond Bolzano,

Weierstrass, Dedekind et al. But this formulation can be considered to be more on Newton’s side

while infinitesimals are closer to Leibniz’ view. 29

30 VI giornata di studio NSA

or,

— assuming one has an understanding of “being ultraclose” noted by '

' ⇒ '

a f f

(∀x) (x (x) (a))

The second formula expresses that a continuous function preserves proximity.

At first view, what does the first formula express, if anything but bewilderment in

the beginner student’s eye?

When instructors realise that certain mathematics subjects are difficult to teach

and to learn, they usually turn to didactics to find solutions. These will use cle-

ver examples and methods which make the students explore the concepts. But

they will also introduce metaphors and mental images which (hopefully) should

lead to correct and rigorous mathematics. In the case of analysis or calculus, the

introduction is frequently done with a loss of rigour and some hand-waving.