Giornata di Studio Analisi Non Standard 4 (ebook)

14 IV Giornata di studio

Una volta evidenziati i tre risultati possibili, (vedi figura) essi possono

essere facilmente e utilmente visualizzati con gli strumenti ottici.

Supponiamo per esempio che ε e δ siano entrambi infinitesimi e che ε e δ

sia infinitesimo di ordine superiore a δ. Algebricamente questo significa che

ε è un numero infinitesimo non nullo.

δ E' possibile fornire una visualizzazione di questo rapporto che ne

chiarisce e rende intuitiva la natura. La situazione è descritta nella figura

accanto: ε e δ appaiono, nella scala ordinaria sovrapposti allo zero, nessun

microscopio standard riesce a separarli dallo zero. Puntando sull'origine un

microscopio non standard

e agendo delicatamente

sulla manopola

dell'ingrandimento, riesco

a separare δ dallo zero ma

ε è ancora sovrapposto

allo zero. In questa

situazione nessun

microscopio standard

riesce a separare ε dallo

zero. Devo puntare, nel

campo visivo del primo

microscopio, un altro

microscopio non standard

e solo così anche ε si Confronto di infinitesimi, visualizzazione

separa dallo zero. E'

importante notare che in quest'ultima scala, δ non è più visibile, né è

raggiungibile con nessuno strumento standard. δ, rispetto a ε diventato

infinito.

In modo del tutto analogo si visualizza la situazione negli altri casi e

anche nel confronto degli infiniti.

7 M

ONADI E PARTE STANDARD

Ora si entra nel vivo del calcolo con i numeri iperreali. Abbiamo

visto che alcuni problemi si lasciano affrontare in modo naturale con

l'uso di numeri iperreali. Dopo aver affrontato e risolto un problema

(reale) usando numeri iperreali, dobbiamo tornare ai numeri reali,

cioè esprimere la soluzione in termini di numeri reali . Iniziamo

6

6 Ritornando all'esempio iniziale, si tratta di precisare bene il passaggio da 2+ ε

Analisi non standard nelle scuole superiori 15

definendo la relazione di infinita vicinanza:

due numeri x e y si dicono infinitamente vicini se la loro differenza

è un infinitesimo.

si verifica immediatamente che essa è una relazione di

equivalenza.

Ogni numero standard è circondato da una infinitesima nuvoletta di

numeri infinitamente vicini a lui.

Si chiama monade del numero x l’insieme dei numeri infinitamente

vicini a x.

Se puntiamo un microscopio non-standard sul numero x, vediamo

solo numeri appartenenti alla monade di x.

Ogni monade contiene al più un numero reale (standard), se ce ne

fossero due essi sarebbero infinitamente vicini, contraddicendo il

postulato di Archimede, che non vale per i numeri iperreali ma per

quelli standard ovviamente continua a valere. Se x è un numero finito,

si chiama parte standard di x l'unico numero reale appartenente alla

monade di x. Nell'esempio introduttivo per trovare la retta tangente,

abbiamo “rinunciato” a risolvere direttamente il problema cercando la

retta che avesse un unico punto di contatto, abbiamo cercato una

strada che conduceva ad una soluzione approssimata, (retta per due

punti vicini) affetta da un errore che però abbiamo reso infinitesimo

avvicinando infinitamente i due punti. Il risultato esatto è dato

dall'unico numero reale infinitamente vicino al risultato approssimato.

Quest'ultimo passaggio è fornito dalla funzione parte standard. Se x

è un numero finito, la sua monade contiene uno e un solo numero

reale e x può essere scritto in modo unico come somma di un numero

x=s +δ

reale (standard) e di un numero infinitesimo: , s è la parte

standard di x.

St x]=s

[

Una volta trovata la soluzione di un problema con l'uso di numeri

iperreali, non resta che trovare qual è l'unico numero reale che

appartiene alla monade del risultato.

Non sempre individuare la parte standard di un numero iperreale è

un'operazione banale, l'idea è quella di trasformare progressivamente

l'espressione data in una più semplice, fino ad arrivare a una forma

nella quale sia evidente quale sia la sua parte standard. Ma è

a 2.

16 IV Giornata di studio

necessario che in ogni passaggio il valore dell'espressione non cambi

monade!

Il percorso didattico suggerito da Goldoni per realizzare questo

passaggio prevede l'introduzione della relazione di indistinguibilità.

Due numeri sono indistinguibili quando la loro differenza è

infinitesima rispetto a ciascuno di essi o, equivalentemente, quando

il loro rapporto è infinitamente vicino a 1, si dimostra con facilità

l'equivalenza delle due condizioni. Lo zero è escluso dalla relazione

di indistinguibilità sempre a causa delle sue proprietà algebriche, in

particolare per la proprietà di essere elemento assorbente.

Per esempio ε e 2ε sono ovviamente infinitamente vicini, la loro

differenza è ε, ma non sono indistinguibili e così per ε e ε , infatti la

2

loro differenza non è infinitesima rispetto a ciascuno di essi. Mentre

2 2

ε ε ε

ε e sono indistinguibili in quanto la loro differenza, , è

+ 2

ε ε

infinitesima di ordine superiore rispetto a ε e a .

+

Analogamente si verifica facilmente che M e M +M sono anch'essi

2 2

indistinguibili pur essendo infinitamente lontani.

Sulla base di considerazioni di questo tipo possiamo semplificare

le espressioni iperreali utilizzando queste semplici regole:

ε+δ ~ ε se ε=o(δ) Trascuro gli infinitesimi di ordine superiore

Trascuro gli infinitesimi rispetto ai finiti non

a+ε ~ a infinitesimi

Trascuro gli infinitesimi rispetto agli infiniti

M+ε ~ M

M+a ~ M Trascuro i finiti non infinitesimi rispetto agli

infiniti

M+N ~ M se N<<M Trascuro gli infiniti di ordine superiore

Zero è indistinguibile solo da se stesso!

Anche la relazione di indistinguibilità può essere facilmente

descritta attraverso la visualizzazione con gli strumenti ottici. Due

numeri sono indistinguibili se osservati a una scala in cui essi siano

entrambi visibili e separati dallo zero, sembrano coincidere e non

sono separabili con nessuno strumento standard.

8 C

ONCLUSIONI

Analisi non standard nelle scuole superiori 17

Il fatto di utilizzare numeri iperreali per risolvere problemi reali non

è altro che l'usuale prassi in matematica di costruire il modello

matematico più semplice (ed elegante) di un problema, estendendo,

se necessario, l'insieme numerico di riferimento. E' così che nascono i

numeri negativi, razionali, e così via fino ai complessi. Per affrontare

un problema (di analisi) introduco dei nuovi numeri, i numeri iperreali,

che in qualche modo contengono già in sé il concetto di limite. La

soluzione del problema sarà in generale un'espressione iperreale che

indicherà un numero nella cui monade è presente un solo numero

reale, la sua parte standard. Tale numero è la soluzione al problema di

partenza.

Ecco infine qualche semplice esempio, applicato all'analisi, di

semplificazione di un'espressione iperreale per il calcolo della parte

standard [ ]

[ ]

a⋅ϵ a⋅ϵ

St St

a =St[ϵ]=0

= (trascuro ε rispetto ad ) = .

7

a+ϵ a

ϵ

Zero è l'unico numero standard nella monade di

Nell'esempio iniziale il coefficiente angolare della retta tangente nel

2

y=x

punto (1;1) alla parabola di equazione è:

[ ]

2 [ ] [ ]

2 2

1+2 2ϵ+ϵ

(1+ ϵ) −1 ϵ+ϵ −1 [ ]

m=St 2+ϵ

=St =St =St =2

ϵ ϵ ϵ

La derivata di una funzione è definita come parte standard del

rapporto incrementale per un incremento infinitesimo della x:

[ ]

f dx)−f

[ ] (x + (x )

df (x) 0 0

( )

D f x

( ) =St =St

0 dx dx

Calcolo della derivata in un punto:

1

f x

(x)= =2

calcoliamo la sua derivata nel punto 0

x

[ ]

1 1

− [ ]

[ ] [ ]

[ ]

2+δ 2 1 1 1 1 2−2−δ 1 1

( ) ( ) −1

−δ

( )

f ' St St St

(2)=St = ⋅ − = = =St =−

δ δ δ δ

2+ 2 4

2(2 2 2

δ +δ ) (2+δ) (2+δ)

a⋅x

lim

7 Questo calcolo corrisponde al calcolo di a x

+

x→ 0

18 IV Giornata di studio

9 B

IBLIOGRAFIA

1. P B IL CALCOLO INFINITESIMALE ed.

AOLO ONAVOGLIA

matematicamente.it

2. Il professor Apotema insegna....I NUMERI

G G

IORGIO OLDONI

IPERREALI ed. ilmiolibro.it

3. ELEMENTARY CALCULUS An infinitesimal

H J K

EROME EISLER

approach Creative Commons Attribution-NonCommercial

disponibile gratuitamente in formato pdf all'indirizzo

https://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html

4. DALL'INTERO ALL'IPERREALE

S V reperibile in

ANTI ALENTI

formato pdf all'indirizzo

http://math.unipa.it/~grim/analNonquad5.pdf

Analisi non standard nelle scuole superiori 19

Strumenti liberi per insegnare l'Analisi Non Standard

di Bruno Stecca e Daniele Zambelli

1 I P

L ROBLEMA

Con la riforma degli ordinamenti si impone l'insegnamento dell'Analisi

Matematica all'ultimo anno anche degli istituti ad indirizzo non tecnico o

scientifico, nei quali il curricolo di matematica si svolge in tempi ridotti ed

ha obiettivi di minore approfondimento. Il problema è (come sempre)

proporre un'attività significativa in tempi ristretti e cercando di evitare

eccessivi artifici nel calcolo. La scommessa è che L'Analisi non Standard sia

utilizzabile a questo scopo, perché propone contenuti più intuitivi rispetto

all'analisi classica aiuta la riflessione su alcuni concetti fondamentali.

La situazione e l'obbiettivo. Nel 2013-14 un gruppo di docenti,

principalmente del Liceo Maffei di Verona (liceo classico e linguistico), si

riunisce per un corso di formazione sull'Analisi non standard, come

principianti. Il corso si articola in un gruppo di lezioni teoriche, condotte da

Ruggero Ferro, e un gruppo di lezioni più mirate alla didattica, condotte da

Giorgio Goldoni. Al termine, emerge l'esigenza di maggiori tempi di studio

e di approfondimento individuali e collettivi. A questo scopo, si cerca uno

strumento facilitatore, per condividere il percorso e confrontarsi con chi ha

già acquisito un'esperienza didattica su questi temi.

2 L S

A OLUZIONE

Si decide di scrivere una dispensa a più mani, come guida all'azione del

docente, traducendo in strumento didattico il libro di Giorgio Goldoni I

numeri Iperreali . Si vuole per questa via approfondire il tema, migliorare la

competenza, allargare il gruppo dei collaboratori e condividere l'esperienza

con tutti gli interessati.

3 G S

LI TRUMENTI

3.1 La licenza: creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/it. Perché

20 IV Giornata di studio

l'esperienza di scrittura collaborativa possa estendersi a chiunque anche

in seguito, perché si possano utilizzare i materiali prodotti, modificarli e

diffonderli liberamente, occorre che il prodotto sia vincolato a una licenza

CC-BY-SA. Questa licenza permette di riprodurre il documento, modificarlo,

utilizzarlo per qualunque scopo, anche commerciale, a patto di

mantenerne inalterata la licenza.

3.2 Il repository: bitbucket.org/zambu/nsa. I testi scritti dai diversi autori

vengono convogliati in un unico “deposito” on line: Bitbucket.org. É dotato

degli strumenti adatti a confrontare i contributi e tenerli in ordine. Dal

repository si attingono i materiali aggiornati, per definite le correzioni e le

aggiunte. L'accesso a Bitbucket è libero per la lettura e il download,

mentre l'editing si può effettuare se autorizzati. Mette anche a

disposizione un wiki e uno strumento per la segnalazione di errori o

proposte.

3.3 Il compilatore: sphinx-doc.org. Gli appunti vengono scritti con un

editor qualunque in un formato semplice (ReStructuredText:

docutils.sourceforge.net/rst.html) possono essere letti così, ma il

programma Sphinx può tradurli in formato PDF, html o e-Pub. Esiste anche

un servizio Internet (readthedocs: nsa.readthedocs.org) che prende il

testo inserito nel repository e, ogni volta che viene modificato, lo traduce

nei vari formati visualizzabili on line o scaricabili.

3.4 Il ciclo di lavoro. L'autore stende il testo (preferibilmente ogni autore

dapprima sul proprio computer) seguendo una sintassi intuitiva e che usa

LaTeX per le formule matematiche. Usando Sphinx traduce il testo in PDF

o HTML in modo da controllare il risultato. Se il risultato è soddisfacente

effettua l'upload del file di testo su Bitbucket. Il repository avvisa

readthedocs che produce i vari formati della nuova versione.

Chi volesse contribuire può mettersi in contatto con il coordinatore del

progetto:

daniele.zambelli@gmail.com

4 B

IBLIOGRAFIA

G. G

1. , I numeri Iperreali, IlmioLibro.it 2014,

OLDONI

B.S , D. Z

2. , bitbucket.org/zambu/nsa,

TECCA AMBELLI

D. Z libro10minuti.readthedocs.org

3. , ,

AMBELLI

Analisi non standard nelle scuole superiori 21

Il differenziale alla Robinson in una e più variabili