Giochi matematici? No problem! (ebook)

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Carlo Sintini Giochi matematici? No problem!

RISPOSTA

Il numero 2450 è costituito dai fattori

2.5.5.7.7

Raggruppandoli in tutti i modi possibili si ottengono le seguenti

combinazioni:

        

2 5 245 252 2 7 175 184 2 25 49 76

        

2 35 35 72 5 5 98 108 5 7 70 82

        

5 10 49 64 5 14 35 54 7 7 50 64

     

7 10 35 52 7 14 25 46

I tre numeri nel primo membro rappresentano le possibili età delle tre

donne, mentre il risultato è la somma corrispondente. Chiaramente le

prime due combinazioni sono impossibili.

Ma indipendentemente da ciò, poiché a questo punto il professor Logar

non era in grado di dare la risposta e solo due terne forniscono la stessa

somma. L'attenzione va fissata solo sulle due combinazioni:

     

5 10 49 64 7 7 50 64

Il professore ha dunque 32 anni.

A questo punto l'amico considera sufficiente la precisazione che egli è

almeno di un anno più vecchio della più anziana delle tre donne.

Se egli avesse avuto 51 o più anni la sua precisazione sarebbe stata

inutile e l'incertezza sarebbe rimasta.

Dunque l'amico non poteva avere che 50 anni e le tre donne 5, 10 e 49

anni.

Presumibilmente egli aspettava quindi la moglie con due figlie.

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3. Il cacciatore e l’orso

Un cacciatore monta sulla sua

jeep, abbandona il proprio

accampamento e si dirige verso

sud in cerca di preda.

Dopo aver percorso 30 chilometri,

non avendo incontrato selvaggina,

cambia direzione e si dirige a est.

Percorsi altri 20 chilometri si

imbatte in un orso, gli spara e

l'uccide.

Lo carica sulla jeep e ritorna

all'accampamento dove, leggendo

il contachilometri, si rende conto

di aver percorso in tutto 80

chilometri esatti.

Di che colore era l'orso? 14

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RISPOSTA

L'orso era bianco.

Infatti il cacciatore ha descritto un percorso triangolare con i lati di 30

km, 20 km, 30 km. Questo triangolo è rettangolo, perché nei primi due

spostamenti egli si è diretto prima verbo sud e poi verso est.

Ma il terzo e ultimo spostamento, corrispondente all'ipotenusa di tale

triangolo, è ancora di 30 km, cioè ha una lunghezza pari a un cateto! Un

triangolo del genere non può esistere nel piano e il problema ha signifi-

cato geometrico solo se il cacciatore si trova esattamente sul polo Nord.

Quindi l'orso non può che essere bianco.

Questa risposta è quella più ovvia che parecchi conoscono in quanto il

quiz è abbastanza conosciuto. Però non tutti sanno che il percorso

potrebbe anche essere diverso perché in verità esistono altri infiniti

punti sulla superficie della terra, oltre al Polo Nord, in cui poteva

trovarsi l'accampamento dell'esploratore.

Consideriamo infatti una

circonferenza con centro nel Polo

Sud, lunga esattamente 20 km

(essa avrà un raggio di circa 3,183

km), e una seconda circonferenza

concentrica alla prima e distante

30 km da essa.

Partendo da un qualsiasi punto A

situato sulla circonferenza esterna,

il cacciatore percorrendo 30 km a

sud, 20 km a est e infine altri 30 km a nord, si troverà nello stesso punto

dal quale era partito.

Però al Polo Sud non ci sono orsi e quindi l'unica risposta giusta è che il

cacciatore si trovava al Polo Nord.

Si noti che la circonferenza interna poteva essere anche più piccola (per

esempio di 10 km, di 5 km, eccetera), mentre quella esterna si deve

trovare sempre

30 km dalla prima.

In tal caso il cacciatore, dopo aver percorso 30 km a sud, avrebbe

dovuto percorrere rispettivamente 2 giri, 4 giri eccetera, e ritornare poi

in ogni caso con altri 30 km nel punto di partenza.

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4. I tre cioccolatini (favola per bambini)

Il giorno dell'Epifania la

Befana (in incognito)

decide di giocare un tiro

birbone a un uomo di pochi

scrupoli.

Gli mostra tre cioccolatini

(magici) e gli assicura che

chi li mangia ha la

piacevole sorpresa di veder

raddoppiato il denaro nelle

proprie tasche.

Essa è disposta a venderli

all'uomo al modico prezzo

di 12 euro l'uno, purché egli

li mangi immediatamente.

Affinché non ci siano dubbi

sull'eccezionale potere dei

cioccolatini, il pagamento

degli stessi avverrà solo

dopo che ciascuno di essi

avrà dimostrato la propria efficacia.

Questi accetta con entusiasmo e, dopo aver mangiato ciascun ciocco-

latino e controllato il raddoppiamento del denaro, consegna alla strana

signora 12 euro ogni cioccolatino acquistato.

Ma quando egli avrà ingoiato l'ultimo di essi e pagato il debito si

accorgerà di non aver più una lira in tasca !

Quanto denaro possedeva l'uomo quando incontrò la Befana ?

Ai genitori dei bambini rivolgiamo invece la seguente domanda:

indicando con n la cifra posseduta inizialmente dall'uomo, qual è il

prezzo p che la Befana dovrebbe pretendere per ciascun cioccolatino

per far rimanere l'uomo al verde ? 16

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RISPOSTA

L'uomo possedeva inizialmente 10 euro e 50 centesimi.

Il quesito può essere risolto ragionando a ritroso. Infatti, per rimanere

senza denaro, prima di mangiare il terzo cioccolatino l'uomo doveva

avere in tasca 6 euro. Aggiungendo a questi i 12 euro dati alla Befana

per l'acquisto del secondo cioccolatino, si hanno 18 euro.

Quindi, prima di mangiare il secondo, egli doveva avere in tasca 9 euro.

Aggiungendo a questi i 12 euro per l'acquisto del primo cioccolatino, si

hanno 21 euro. Dunque prima di mangiare il primo cioccolatino egli

aveva in tasca esattamente la metà di tale somma, e

cioè 10 euro e 50 centesimi.

Per risolvere la seconda parte del problema basta osservare che vale la

seguente uguaglianza 2[2(2n - p) - p] - p = 0

dove n e p indicano rispettivamente la cifra iniziale dell'uomo e il

prezzo di ciascun cioccolatino. Risolvendo rispetto a p si ottiene:

p = 8n/7

Infatti, ponendo: n = 10,5



8 10,5

 

p 12

7

Come visto prima. 17

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5. L’errore della zecca

Da una zecca escono 5 sacchi di monete aventi tutti lo stesso peso.

Ci si accorge in un secondo tempo che, per un errore tecnico, uno dei

cinque sacchi contiene monete che pesano 11 g ciascuna, mentre gli

altri quattro contengono monete regolamentari che pesano 10 g.

Le monete difettose sono indistinguibili ad occhio da quelle buone.

1

Disponendo di una bilancia digitale ad un piatto , sapreste individuare

con una sola pesata qual è il sacco contenente le monete difettose?

1 Con questo tipo di bilancia, mettendo l'oggetto da pesare sul piatto, un dispositivo

elettronico indica il peso direttamente in cifre, ed esatto al grammo.

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RISPOSTA:

Basta mettere sul piatto della bilancia dieci monete prelevate dai sacchi

con il seguente criterio: disposti i sacchi in fila si prende una moneta dal

primo sacco, due dal secondo, tre dal terzo, quattro dal quarto e niente

dall'ultimo.

Se dalla pesata si ottiene come risultato:

100 g allora il sacco con le monete difettose è il quinto.

101 g allora il sacco cercato è il primo.

102 g allora è il secondo.

103 g allora è il terzo.

104 g allora è il quarto.

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6. La bilancia senza pesi

Questa volta avete invece a disposizione una tradizionale bilancia a due

piatti, ma ... vi mancano i pesi. Avete solo una sbarra metallica

omogenea, con sezione costante, di cui conoscete il peso (40 grammi) e

una sega.

La sbarra deve essere suddivisa in quattro parti con tre tagli in modo

che tali parti, combinate fra loro in maniera opportuna sui piatti della

bilancia, permettano di utilizzare la bilancia stessa per pesare qualunque

oggetto con la precisione del grammo fino alla portata massima di 40 g.

Siete in grado di stabilire con quale criterio devono essere eseguiti i tre

tagli ? 20

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RISPOSTA

La sbarra deve essere tagliata in parti proporzionali alle potenze di 3.

0

Il primo pezzo deve pesare 3 = 1 g 1

il secondo pezzo 3 = 3 g

2

il terzo 3 = 9g

3

e il quarto 3 = 27 g

Sommando il peso dei quattro pezzi si riottiene

1 + 3 + 9 + 27 = 40g

(trascurando ovviamente la limatura andata persa durante le operazioni

di taglio). Indicando con L la lunghezza della sbarra, poiché essa è

omogenea e a sezione costante, i tre tagli vanno eseguiti in

corrispondenza di 1 3 9

L

, L

, L

40 40 40 27 L

e avanzerà un quarto pezzo con lunghezza pari a 40

Ora, per esempio, si voglia pesare un oggetto di 7 grammi: si troverà

l'equilibrio ponendo l'oggetto su un piatto insieme al peso da 3 grammi

e, sull'altro piatto, i pesi da 1 g e 9 g.

Se l'oggetto pesasse invece 23 grammi, l'equilibrio si troverebbe

ponendo su un piatto l'oggetto in questione insieme ai pesi da 1 g e 3 g,

e sull'altro piatto il peso da 27 g.

E’ facile verificare che per qualunque oggetto con peso compreso fra 1

g e 40 g, esiste sempre una opportuna combinazione dei pezzi di sbarra

che permette di realizzare l'equilibrio e determinare quindi il peso

dell'oggetto stesso. 21

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7. Trucchi nei calcoli mentali

Il professor Logar carezzò teneramente i riccioli castani della nipotina

mentre questa rosicchiava nervosamente l'innocente cappuccio della

biro, alle prese con un introvabile errore di calcolo nel suo problema di

matematica.

“Possibile che questi simpatici numeretti ti creino tanto imbarazzo ?” le

disse con aria sorniona. Poi prese carta e penna e si sedette vicino a lei.

“Eppure basta saperli trattare senza timore prendendoli per il verso

caso”, e tracciò sul foglio il

giusto. Guarda: scriviamo un numero a

numero 143. “Ora scrivi pure tu un numero fino a mille sotto al mio, e

vediamo se è possibile eseguire a mente il prodotto dei due numeri”.

“Su, nonno, non esagerare: il risultato è un numero di cinque o sei cifre

troppo complicato eseguire la moltiplicazione a mente”.

ed è

“Proviamo !” la sfidò il professore con un malcelato sorriso sotto i baffi

(che non aveva).

La giovane con aria sufficiente scrisse il numero 719 sotto il precedente

e si mise a osservare il nonno con atteggiamento provocatorio.

Questi, senza apparente sforzo mentale e senza neanche un momento di

riflessione cominciò a scrivere lentamente ma sicuramente il numero

102.817.

La nipotina controllò rapidamente il risultato eseguendo la

moltiplicazione, poi spalancando gli occhi per lo stupore fissò incredula

il nonno.

“Come diavolo hai fatto a pescare il risultato esatto senza neanche un

attimo di riflessione ?”

Il professor Logar non seppe trattenere una risata sonora.

“Ti avevo detto che i numeri bisogna saperli prendere. Riproviamo con

quest'altro numero”, e scrisse sul foglio 3367. “Ora scrivi tu un numero

inferiore a cento e vediamo se riesco ancora a fare centro”. La ragazza

scrisse 83 e il nonno, prima ancora che lei posasse la penna, cominciò a

tracciare con tranquilla sicurezza, e senza la minima esitazione, il

risultato 279.461.

Ancora una volta la verifica della giovane confermò che il risultato era

esatto.

“sorprendente”, riconobbe, “ma deve essere uno dei tuoi soliti trucchi

come hai fatto !”

ingegnosi. Ti prego, dimmi 22

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“Hai ragione”, ammise il professore, “sei sufficientemente smaliziata da

intuire che devo aver usato un artificio. Del resto se mi avessi chiesto di

fare qualche altra dimostrazione, avresti notato che entrambe le volte il

numero scritto da me non era scelto proprio a caso. Adesso ti rivelerò

un piccolo trucco che, su scala più vasta, è stato spesso usato dai

cosiddetti calcolatori prodigio.

Con le tue nozioni di algebra elementare puoi seguire facilmente il mio

ragionamento.

Indichiamo con abc un qualsiasi numero di tre cifre: moltiplicandolo

per 1001 si avrà in ogni caso 

abc 1001 = abcabc

cioè lo stesso numero iniziale con le cifre ripetute consecutivamente.

Ma 1001/7 = 143 e quindi l'uguaglianza precedente può anche essere

scritta così: 1001 abcabc

 

abc

7 7

cioè abcabc

 

143 abc 7

In altre parole, dopo aver scritto il numero 143, qualunque fosse stato il

numero da te scelto, il risultato della moltiplicazione poteva essere