Giornata di Studio Analisi Non Standard 1 (ebook)

Analisi non standard nelle scuole superiori 15

almeno un numero standard. Per esempio, i numeri standard sono

tutti finiti. Infatti sono tutti minori di se stessi più uno, che è ancora

un numero standard.

Un segmento non infinitesimo è un segmento maggiore di almeno

un segmento standard (non nullo). Quindi un numero non infinitesimo

è un numero in valore assoluto maggiore di almeno un numero

standard positivo.

Abbiamo quindi una classe di numeri che sta fra gli infinitesimi e

gli infiniti. Un segmento finito e non infinitesimo è un segmento

compreso tra due segmenti standard (non nulli). Così un numero finito

non infinitesimo è un numero in valore assoluto compreso tra due

numeri standard positivi. Come si visualizza un numero finito non

infinitesimo a (positivo)? Bisogna sempre fare tre casi: piccolo, medio

o grande (come con la birra!). Comincio dal caso in cui a sia "piccolo".

Nella scala ordinaria, dove lo zero e l'uno li vedo separati, lo vedo

sovrapposto allo zero. Ma non è infinitesimo: è soltanto piccolo! Mi

basta allora un microscopio standard, regolato a un ingrandimento

opportuno, per separarlo dallo zero.

Può invece capitare che il numero sia "medio". Si tratta del caso

più "fortunato", perché il numero, nella scala ordinaria, rientra nel

16 Giornata di studio

campo visivo e lo vediamo separato dallo zero.

Resta un ultimo caso, in cui a è "grande" e, nella scala ordinaria,

rimane a destra del campo visivo. Questa volta però basta uno zoom

standard puntato nello zero per farlo rientrare nel campo visivo.

In conclusione, un numero "piccolo" è un numero che nella scala

ordinaria appare sovrapposto allo zero, ma che può essere separato

dallo zero con un microscopio standard; un numero "medio" è invece

un numero che già nella scala ordinaria rientra nel campo visivo e

ben separato dallo zero; un numero "grande", infine, è un numero

che nella scala ordinaria non rientra nel campo visivo, ma che può

essere fatto rientrare con l'uso di uno zoom standard centrato

nell'origine.

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I numeri iperreali, visti come i numeri che corrispondono alle

misure dei segmenti una volta ammessa l'esistenza di segmenti

infinitesimi e infiniti e la possibilità di estendere ad essi le operazioni,

possono quindi essere classificati nel modo seguente. Un numero è

infinito oppure finito, a seconda che sia in valore assoluto maggiore di

tutti i numeri standard o minore di almeno un numero standard

positivo. Uso le sigle "I" e "f" rispettivamente per indicare un numero

Un numero finito può a sua volta essere o

infinito e un numero finito.

non essere infinitesimo a seconda che sia in valore assoluto minore di

ogni numero standard positivo o maggiore di almeno uno. Uso allora le

sigle "i" e "fni" per indicare rispettivamente un infinitesimo o un finito

non infinitesimo. Gli infinitesimi sono a loro volta lo zero, che fa pane

per conto suo (il più infinitesimo di tutti!), e gli infinitesimi non nulli.

Chiaramente, tutti gli infinitesimi non nulli e tutti gli infiniti sono

numeri non standard. I finiti non infinitesimi invece comprendono,

tranne lo zero, tutti i numeri standard, ma anche tantissimi altri

numeri (uno standard più un infinitesimo non nullo non è standard,

ma è un finito non infinitesimo).

Una volta classificati i numeri iperreali in questi tipi, affronto le

operazioni tra tipi. Anche di queste operazioni è possibile dare

un'immagine geometrica estendendo in modo naturale le costruzioni

utilizzate nel caso dei segmenti standard. Ovviamente, i risultati

possono essere ottenuti anche per via algebrica, partendo dalla

definizione dei vari tipi di numeri. Ritengo però che la cosa più

importante, più ancora delle dimostrazioni, sia il fatto che i ragazzi

indovinino il tipo di risultato che corrisponde a una operazione tra

18 Giornata di studio

numeri di dato tipo. L'uso degli strumenti ottici immaginari

contribuisce a fare in modo che gli studenti si formino un immagine

indelebile delle varie situazioni che si possono presentare, in modo

da ricordare con sicurezza il tipo del risultato. inn :inn=?

inn : fni=inn

inn×inn=inn

inn±inn=i =inn

inn : I

inn× fni=inn

inn± fni= fni fni :inn=I

=?

=I inn×I

inn±I fni : fni= fni

fni× fni= fni

fni± fni= f =inn

fni : I

=

= fni× I I

fni± I I I :inn=I

×I =I

±I =? I

I I : fni=I

=?

I : I

Come nel caso dei limiti, compaiono le cosiddette forme

indeterminate, che si presentano nei casi in cui la conoscenza dei

tipi degli operandi non consente di determinare il tipo del risultato.

Contrariamente al caso dei limiti, però, in cui il limite può non

esistere, nel caso delle operazioni con gli iperreali il risultato esiste

sempre (tranne la divisione per zero!).

Qualcuno può farsi l'idea che, in fondo, l'uso degli iperreali sia del

tutto equivalente all'uso dei reali con l'operazione di limite. In

effetti si dimostra che ogni risultato riguardante i numeri reali,

ottenuto mediante gli iperreali, può essere ottenuto anche coi soli

numeri reali. Allora perché ricorrere agli infinitesimi e agli infiniti?

Nello studio della matematica lo studente impara a conoscere i

numeri razionali, ma non c'è problema che riguarda i numeri

razionali che non possa essere risolto usando semplicemente i

numeri interi! Il grande vantaggio dei numeri razionali sta nel fatto

che essi racchiudono già il concetto di rapporto tra interi,

consentendo di lavorare in modo assai più spedito. Analogamente

non c'è problema che si risolva coi numeri reali che non possa essere

risolto usando successioni approssimanti di numeri razionali. Nei

numeri reali questo processo di approssimazione è già incluso e con

essi possiamo lavorare in modo molto più efficiente. Così accade che

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i numeri iperreali contengano in qualche modo il processo di limite,

consentendo così di affrontare tanti concetti notevoli in modo assai

più semplice e diretto. Non dimentichiamoci poi del fatto che il

concetto di limite è più giovane di quello di infinitesimo e di infinito e

che i concetti e i risultati fondamentali del calcolo differenziale e

integrale sono stati ottenuti con metodi infinitesimali!

Confronto di infinitesimi e di infiniti

Nel calcolo infinitesimale alla vecchia maniera, che l'analisi non

standard ha resuscitato, è di fondamentale importanza il confronto di

infinitesimi e di infiniti. Quando chiedo agli studenti quale operazione

occorre fare tra due numeri per confrontarli, una buona metà della

classe suggerisce senza esitazione l'operazione di differenza. Solo

dopo aver mostrato loro con alcuni esempi come la conoscenza della

differenza di due numeri non ci dica nulla riguardo al fatto che i due

numeri siano dello stesso ordine di grandezza o di ordini molto

diversi, ecco che si sente finalmente parlare di quoziente. Per

ε δ

e si considera quindi il

confrontare due infinitesimi non nulli

loro quoziente. Si tratta di una forma indeterminata, nel senso che il

quoziente di due infinitesimi non nulli può essere di qualsiasi tipo: un

infinitesimo non nullo, un finito non infinitesimo oppure un infinito.

20 Giornata di studio

/

ε δ ε

Se è un infinitesimo, diciamo che è un infinitesimo di

δ ε

ordine superiore a . Come possiamo visualizzare il fatto che è

δ ? Nella scala ordinaria i due

un infinitesimo di ordine superiore a

numeri si vedono sovrapposti allo zero e non riusciamo a separarli

dallo zero con nessun microscopio standard. Si tratta cioè di due

infinitesimi. Usando un microscopio non standard e agendo

delicatamente sulla manopola dell'ingrandimento, ecco che il primo

δ

numero ad essere separato dallo zero è . Quando, nel campo

δ ε

visivo del microscopio, vedo separato dallo zero, risulta

ancora sovrapposto allo zero e non riesco, in quella scala, a

separarlo dallo zero con nessun microscopio standard. In altri

ε δ ε

termini, e sono entrambi infinitesimi, ma è infinitesimo

δ δ ε

anche rispetto a e, nella scala in cui vedo , è un

infinitesimo. In quella scala occorre un microscopio non standard per

ε

separare dallo zero.

Analisi non standard nelle scuole superiori 21

/

ε δ ε

Se il quoziente è un finito non infinitesimo diciamo che e

δ sono infinitesimi dello stesso ordine. Si tratta infatti di una

relazione simmetrica in quanto il reciproco di un finito non

infinitesimo è ancora un finito non infinitesimo. Possiamo visualizzare

la situazione nel modo seguente. Per semplicità supponiamo ancora

<

ε δ

una volta che i due numeri siano positivi e, inoltre, che sia .

Anche in questo caso i due numeri, nella scala ordinaria, appaiono

sovrapposti allo zero e non possono essere separati dallo zero con

nessun microscopio standard. Occorre allora usare un microscopio non

δ

standard e il primo numero che riusciamo a separare dallo zero è .

Possono presentarsi due casi. Nel primo caso possiamo essere così

fortunati da ottenere nel campo visivo del microscopio non standard

δ ε

un'immagine di e di simultaneamente separati dallo zero.

22 Giornata di studio

δ

Nel secondo caso, quando risulta separato dallo zero, ecco

ε

che rimane invece sovrapposto allo zero. Questa volta però, nella

scala dell'ultimo microscopio, basta usare un microscopio standard

ε ε

per separare dallo zero. Infatti è soltanto "piccolo" rispetto a

δ , ma non infinitamente piccolo!

/

ε δ ε

Se, infine, il quoziente è infinito, diciamo che è un

δ

infinitesimo di ordine inferiore a . Poiché il reciproco di un

infinito è un infinitesimo non nullo, ciò equivale ad affermare che

δ ε

è un infinitesimo di ordine superiore a e la visualizzazione è

ε δ

identica a quella già vista a patto di scambiare con .

Il confronto di infiniti si effettua in modo del tutto analogo a

quello degli infinitesimi e può essere visualizzato utilizzando degli

zoom. Analisi non standard nelle scuole superiori 23

Numeri infinitamente vicini, a distanza finita e

indistinguibili

Desidero terminare questo mio intervento con una nozione che non

ho trovato esplicitamente nei testi di analisi non standard, ma che mi

è utilissima nella trattazione del calcolo infinitesimale e che è quella

che ho chiamato indistinguibilità. A questo scopo devo premettere

alcune importanti definizioni.

Due numeri si dicono infinitamente vicini se la loro differenza è un

infinitesimo. Per indicare che x è infinitamente vicino a y si scrive

x≈ y x≈0

. In particolare, la scrittura equivale ad affermare che

x è infinitesimo. Si tratta di una relazione di equivalenza, le cui classi

si chiamano monadi. La monade del numero x, che si indica con

( )

mon x , è allora l'insieme di tutti i numeri infinitamente vicini a x e

la monade dello zero, detta anche monade principale, non è altro che

l'insieme dei numeri infinitesimi. Nella scala ordinaria, quando

puntiamo un microscopio non standard vediamo sempre numeri di una

stessa monade. Ogni numero finito x ha nella sua monade uno e un

solo numero standard s e può quindi essere espresso in modo unico

nella forma , cioè come somma di un numero standard con un

x=s+ ε

numero infinitesimo. Si tratta della parte standard e della parte

infinitesima di quel numero finito. La parte standard del numero

(

st x) . C'è una certa analogia con la parte intera

finito x si indica con

e la parte decimale di un numero reale, ma si tratta solo di una vaga

analogia perché la parte standard e la parte intera godono di

proprietà diverse. Per esempio la parte standard della somma di due

numeri finiti è la somma delle parti standard dei due numeri, mentre

la parte intera della somma di due numeri reali può essere diversa

dalla somma delle parti intere dei due numeri.

La parte standard gioca un ruolo fondamentale nell'uso dei numeri

iperreali. La situazione è infatti tipicamente la seguente. Si vuole

calcolare un certo valore reale, che rappresenta la soluzione di un

problema. Si ricorre allora ai numeri iperreali, ottenendo come

risultato un numero iperreale. Il numero reale che rappresenta la

soluzione del problema è allora la parte standard del numero

iperreale trovato, cioè l'unico numero reale che gli è infinitamente

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