Fisica 2? No problem (ebook)

Carlo Sintini - Fisica? No problem! - Vol.2

Se calcoliamo la retta normale AP e determiniamo le coordinate di A, basta

mostrare che il triangolo AFP è isoscele (AF = FP) per dimostrare che il

raggio luminoso dopo aver colpito lo specchio in P viene deviato sempre in

modo da passare per F.

Riferiamoci ad una parabola generica che però immaginiamo abbia il vertice

nell'origine e l'asse coincidente con l'asse y (queste condizioni non tolgono

nulla alla genericità della parabola, perché basta scegliere opportunamente gli

assi coordinati).

La sua equazione è 1

 2

y x

4 h

dove il fuoco ha coordinate  



F 0

; h

Consideriamo ora una generica retta verticale x=t. Sostituendo t nella

equazione della parabola si trova  

2

t

 



P t ;

 

 

4 h

L'equazione del fascio di rette passanti per P è

2

t

  

y m

( x t )

4 h

mettiamo ora a sistema questo fascio di rette con la parabola

2

t

  

y m ( x t )

4 h

1

 2

y x

4 h

Risolviamo 2 2

x t

  

mx mt

4 h 4 h

  

2 2

x t 4 mhx 4 mht

   

2 2

x 4 mhx 4 mht t 0

    

2 2 2

0 si ha 4 m h 4 mht t 0

ponendo 4

e cioè 29

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 

 

2

2 mh t 0

t



m 2 h

che è il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola nel punto P.

Il coefficiente angolare della retta normale è allora l'antireciproco, e tale

normale ha equazione 2

t 2 h

   

y ( x t )

4 h t

o meglio 2

2 h t

   

y x 2 h

t 4 h

L'intersezione con l'asse y si ha per 

2 2

8

h t



y 4 h

e quindi le coordinate del punto A sono

 



2 2

8

h t

 



A 0

;

 

 

4 h

La lunghezza del segmento AF è allora

 

2 2 2 2

8

h t 4 h t

  

AF h

4 h 4 h

Calcoliamo ora la lunghezza del segmento PF   2



2 2 2

  t 4 h

2

t

    

2 2

 

PF t h t 2

 

4 h 16 h

   

2 2 4 2 2 4 2 2

16 h t t 8

h t 16 h 4 h t

 

2

16 h 4 h

Quindi il triangolo APF è isoscele e il raggio luminoso dopo aver colpito lo

specchio passa per il fuoco F.

Poiché la retta verticale x = t è generica, resta

così dimostrato che ogni raggio luminoso

parallelo all'asse della parabola passa per il

fuoco.

Al contrario (per il principio di invertibilità del

cammino ottico) se un raggio luminoso esce

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dal fuoco, colpisce lo specchio e viene sempre deviato in modo da uscire

parallelamente all'asse della parabola.

In altre parole il fuoco e l'infinito sono punti coniugati.

Notiamo infine un particolare. Confrontiamo fra loro due fasci di raggi

luminosi: il primo non deviato dallo specchio, ed il secondo con tutti i raggi

luminosi che convergono nel fuoco.

In entrambi i casi i raggi luminosi seguono percorsi che hanno la stessa

lunghezza (se immaginiamo che i raggi luminosi siano costituiti da un gruppo

di particelle tutte allineate fra loro, queste convergeranno nel fuoco

raggiungendolo tutte nello stesso istante).

Gli specchi sferici La realizzazione di un buon specchio parabolico è

piuttosto costosa da ottenere: è molto più semplice

costruire specchi di forma sferica.

Vedremo fra poco che con ottima approssimazione

uno specchio parabolico può essere sostituito con

uno sferico, purché la sua apertura sia piccola.

Le equazioni della parabola e della circonferenza

sono rispettivamente

 1

 2

 y x

 4 h

   

2 2

 x y 4 hy 0

Confrontiamo fra loro la parabola e la circonferenza mostrate nella figura

precedente.

Il fuoco della parabola è 

F (

0

; h

) 

C (

0

;

2

h

)

mentre la circonferenza ha il centro in e passa per l'origine.

Quindi F è il punto medio fra C e l'origine degli assi.

Consideriamo poi una generica retta verticale x=t ed i due punti di

intersezione A e B. Le coordinate dei punti A e B sono

 

2

t

 



A t ;

 

 

4 h 



  

2 2

B t ; 2 h 4 h t

e perciò i segmenti AD e BD hanno lunghezza

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2

t



AD 4 h

  

2 2

BD 2 h 4 h t

Mettiamoli a rapporto e facciamo il limite per t che tende a zero.

2

t

AD 4 h

 

lim lim

 

t 0 t 0  

BD 2 2

2 h 4 h t





2

t  

2 2

2 h 4 h t

4 h

 

 



lim 

t 0    

2 2 2 2

2 h 4 h t 2 h 4 h t





2

t  

2 2

2 h 4 h t  

2 2

2 h 4 h t

4 h

  

lim lim 1

 

t 0 t 0

2

t 4 h

Risulta quindi che per t che tende a zero i due segmenti AD e BD tendono a

diventare uguali.

In altre parole l'arco di parabola può essere sostituito

con un arco di circonferenza (con raggio pari al

doppio della distanza focale della parabola) l'errore è

tanto più trascurabile quanto più piccola è l'apertura

 dello specchio.

È per questi motivi che nell'ottica geometrica si parla sempre di specchi

sferici invece che parabolici.

Tutte le rette passanti per C si chiamano assi dello specchio. Fra questi quello

che passa per V (centro dello specchio), si chiama asse principale.

Le approssimazioni di Gauss

Le leggi dell'ottica geometrica sono valide solo se

sono rispettate le due "approssimazioni di Gauss".

1. Gli specchi sferici devono avere una piccola



apertura, cioè un angolo sufficientemente

piccolo.

2. I raggi devono essere parassiali, cioè

quasi paralleli all'asse ottico principale.

Non esiste un limite netto di demarcazione,

superato il quale le leggi non sono più valide.

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Maggiormente sono rispettate queste condizioni e tanto più risultano valide le

considerazioni e le leggi dell'ottica geometrica.

Costruzione grafica delle immagini

Una caratteristica degli assi ottici, di tutti gli assi ottici, non solo quello

principale, consiste nel fatto che ogni loro punto ha una immagine (cioè il

corrispondente punto coniugato) che si trova sempre sullo stesso asse. Ogni

retta passante per il centro dello specchio sferico, è un asse ottico. L'asse ottico

principale è invece quello che passa per il centro della porzione di specchio

sferico che stiamo usando.

Da ogni punto escono infiniti raggi luminosi. Per individuare la posizione

delle immagini si possono prendere in considerazione tre raggi caratteristici

fra gli infiniti:

 Quello parallelo all'asse ottico principale, che urtando lo specchio

viene deviato in modo da passare per il fuoco.

 Quello che passa per il fuoco, che al contrario diviene parallelo

all'asse ottico principale.

 Quello che passa per il centro, che colpisce lo specchio normalmente e

quindi ritorna indietro lungo la stessa direzione da cui è arrivato.

Esaminiamo alcuni casi particolarmente rappresentativi.

–

1° Caso specchi concavi (immagine reale)

Se l'oggetto AB è più lontano del

centro, l'immagine A'B' è reale,

rovesciata, impicciolita, e situata fra

centro e fuoco.

Per il principio di invertibilità del

cammino ottico, se l'oggetto A'B' è

posto invece fra centro e fuoco, allora

l'immagine AB è reale, rovesciata,

ingrandita, e situata oltre il centro.

–

2° Caso specchi concavi

(immagine virtuale)

Se l'oggetto AB è posto fra fuoco e

specchio, l'immagine A'B' è virtuale,

dritta e ingrandita.

Poichè l'immagine è virtuale e si forma dietro lo specchio, non è possibile

applicare il principio di invertibilità del cammino ottico.

33

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–

3° Caso specchi convessi

In questo caso, dato che il centro e il

fuoco si trovano dietro lo specchio, è

possibile una sola situazione.

L'oggetto AB ha una immagine A'B'

virtuale, dritta e impicciolita.

Anche qui non è possibile applicare il

principio di invertibilità del cammino

ottico.

La formula dei punti coniugati

Permette di ottenere la posizione

dell'immagine con un calcolo (valido nei

limiti delle approssimazioni di Gauss) e non

con una costruzione grafica (che comunque

è sempre approssimata in modo piuttosto

grossolano).

Siano ho e hi rispettivamente le altezze

dell'oggetto e dell'immagine.

Mentre o ed i sono le distanze dell'oggetto e

dell'immagine dal fuoco, ed f infine è la distanza focale.

I triangoli grigi sono a due a due simili fra loro.

Si possono allora stabilire le seguenti proporzioni fra lati corrispondenti:





h : o h : f

0 i

 



h : f h : i

0 i

Il prodotto dei medi deve essere uguale al prodotto degli estremi, e quindi

  



h f h o

0 i

   



h i h f

0 i

dividendo membro a membro si ha

f o



i f

e cioè  2

oi f

Riportando su un grafico questa funzione, si ha

un ramo di iperbole equilatera.

Talvolta però si preferisce riferire le posizioni

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dell'oggetto e dell'immagine allo specchio invece che al fuoco.

Indicando con p la distanza dell'oggetto dallo specchio e con q la distanza

dell'immagine dallo specchio, si può allora scrivere

   

 p o f o p f

 cioè

   

 q i f i q f

e sostituendo nella funzione della iperbole equilatera ricavata

precedentemente, si ha    2

( p f )( q f ) f

Cioè, sviluppando,

   

2 2

pq pf fq f f

e semplificando  

fq fp pq

si ottiene infine (dividendo i due membri per pqf)

1 1 1

 

p q f

che corrisponde ancora ad una iperbole (esplicitando rispetto a q si riconosce

una funzione omografica, cioè una iperbole equilatera con gli asintoti paralleli

agli assi coordinati).

Le due equazioni dei punti coniugati (espresse in funzione di o ed i, oppure in

funzione di p e q), sono perfettamente equivalenti fra loro.

Leggi di Snellius–Cartesio per la rifrazione

Quando un raggio luminoso incontra un ostacolo può anche attraversarlo, se

questo è trasparente. Basta pensare per esempio ad un raggio luminoso che

passa dall'aria all'acqua (o viceversa).

Il raggio luminoso in questo caso devia, si spezza e, passando da un mezzo ad

un altro più denso, si avvicina alla normale.

Questo fenomeno si chiama rifrazione (da "frangere" = rompere, spezzare).

La rifrazione, analogamente alla riflessione, ubbidisce a due leggi:

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 PRIMA LEGGE: Il raggio incidente, il raggio rifratto e la normale al

punto di incidenza giacciono sempre su uno stesso piano.

 SECONDA LEGGE: L'angolo di incidenza i e l'angolo di rifrazione r

soddisfano la legge seni  n

1

, 2

senr

dove n è una costante che si chiama indice di rifrazione relativo fra i due

1,2

mezzi, e dipende dalla velocità della luce nei due mezzi.

Poiché l'indice di rifrazione si ricava sperimentalmente ed il numero delle

possibili coppie di mezzi trasparenti è molto alto, torna utile definire l'indice

di rifrazione assoluto di un singolo mezzo trasparente, che si calcola

mettendo in relazione la velocità della luce nel vuoto e nel mezzo in esame.

c



n

Per esempio nel mezzo 1 si ha l'indice assoluto e nel mezzo 2

1 v

1

c



n 2 v 2

Il rapporto fra i due indici di rifrazione assoluti fornisce l'indice di rifrazione

relativo fra i due mezzi c

n v v

  

2 2 1

n

1

, 2 c

n v

1 2

v

1

In questo modo diminuisce notevolmente il numero di costanti che occorre

inserire in una tabella di valori ricavati sperimentalmente.

Perché un raggio luminoso si spezza?

Immaginiamo che un bagnino sulla spiaggia

veda una bagnante sul punto di affogare, e

corra per salvarla.

Ovviamente la velocità v con cui il bagnino

1

corre sulla sabbia è maggiore della velocità

v con cui lo stesso nuota in mare.

2

Se il bagnino andasse da A a B in linea retta

(passando per D), o se percorresse la

traiettoria ad angolo retto AE + EB, in

entrambi i casi impiegherebbe un tempo maggiore rispetto a quello che

sarebbe necessario per seguire una opportuna traiettoria intermedia AC + CB.

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Ebbene (come sempre accade in natura) i fenomeni avvengono sempre con il

minimo dispendio di energia, così gonfiando un palloncino questo assume la

forma sferica perché la quantità di gas in esso contenuto con la forma sferica

occupa la minor superficie possibile, e si potrebbe continuare con molti altri

esempi.

Nel caso della rifrazione la luce descrive una traiettoria che le consente sempre

di arrivare nel minor tempo possibile, e questa (come nel caso del bagnino)

corrisponde alla spezzata AC + CB.

dell’ottica geometrica

Incongruenza Cerchiamo di dimostrare la seconda legge di Snellius-

Cartesio v

seni  

1 n

( ) per mezzo dell'ottica geometrica.

1

, 2

senr v 2

Consideriamo due piani orizzontali leggermente