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Ci auguriamo che questo supporto maggiore che il testo offre possa aiutare ancora di più lo studente.
Un ringraziamento particolare va al prof.Marco Luigi Bernardi, che mi ha fornito, durante gli anni passati a Pavia, gran parte del materiale che si trova in queste note. Ringrazio inoltre l’editore Antonio Bernardo per l’interesse da sempre dimostrato verso la pubblicazione di questo eserciziario, con la speranza che possa essere utile a tanti studenti.
Brescia, Dicembre 2011
Luca Lussardi
•
Indice
IndiceIntroduzione
1 L’insieme R
1.1 Nozioni di base sugli insiemi
1.2 Numeri naturali
1.3 Numeri interi
1.4 Numeri razionali
1.5 Numeri reali
1.6 Topologia di R
2 Funzioni
2.1 Richiami di teoria
2.2 Esercizi
3 Limiti e continuità
3.1 Richiami di teoria
3.1.1 Limiti
3.1.2 Funzioni continue
3.2 Esercizi
4 Derivate
4.1 Richiami di teoria
4.1.1 Generalità
4.1.2 Teoremi del calcolo differenziale
4.1.3 Estremi di funzioni
4.1.4 Teoremi di De l’Hopital
4.2 Esercizi
5 Integrali
5.1 Richiami di teoria
5.1.1 Integrazione secondo Riemann
5.1.2 Teorema fondamentale del calcolo integrale
5.1.3 Regole di calcolo
5.1.4 Integrali impropri
5.2 Esercizi
6 Serie numeriche
6.1 Richiami di teoria
6.1.1 Successioni reali
6.1.2 Serie numeriche
6.1.3 Serie geometrica
6.1.4 Serie a termini positivi
6.1.5 Serie a termini di segno qualunque
6.1.6 Serie di Taylor
6.2 Esercizi
Indice analitico
Codominio, complementare, criterio del confronto asintotico, criterio del confronto per serie, criterio del rapporto, criterio della radice, criterio di Leibniz, criterio integrale per le serie, derivata prima, differenza, differenza tra insiemi, divisione, dominio, estremo inferiore, estremo superiore, forme indeterminate, frazione, funione suriettiva, funzione, funzione analitica, funzione composta,funzione concava, funzione continua, funzione convessa, funzione crescente, funzione decrescente, funzione derivabile, funzione inferiormente limitata, funzione iniettiva, funzione integrabile secondo Riemann, funzione invertibille, funzione limitata, funzione pari, funzione periodica, funzione strettamente concava, funzione strettamente convessa, funzione strettamente crescente, funzione strettamente decrescente, funzione superiormente limitata, funzioni dispari, funzioni monotone, funzioni strettamente monotone, immagine di una funzione, insieme, insieme delle parti, insieme inferiormente limitato, insieme limitato, insieme superiormente limitato, insieme vuoto, integrale di Riemann, integrale improprio, integrazione per parti, integrazione per sostituzione, intersezione, intervallo, intervallo aperto, intervallo chiuso, intorno, limite di funzione, limite di successione, massimo assoluto, massimo di un insieme, minimo assoluto, minimo di un insieme, modulo, numeri interi, numeri naturali, numeri razionali, numeri reali, ordinamento totale, periodo, polinomio di Mac Laurin, polinomio di Taylor, primitiva, principio di induzione, prodotto, prodotto cartesiano, propriet`a dell’estremo superiore, punto critico, punto di accumulazione, punto di flesso, punto di massimo locale, punto di minimo locale, punto isolato, radice quadrata, retta tangente, serie assolutamente convergente, serie convergente, serie divergente, serie geometrica, serie numerica, serie oscillante, somma, sottoinsieme, successione convergente, successione divergente, successione oscillante, successione reale, teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, teorema del confronto per i limiti, teorema di Cauchy, teorema di De l’Hopital, teorema di Lagrange, teorema di Rolle, teorema di Weierstrass, teorema fondamentale del calcolo integrale, unione.
•
Autore
Luca LussardiLuca Lussardi è nato a Brescia nel 1977, ha studiato matematica all'Università Cattolica di Brescia e ha proseguito con gli studi di dottorato presso l'Università di Pavia. Ha usufruito di varie borse diricerca presso prestigiose università italiane e straniere, lavorando anche in Francia e in Germania. Attualmente è ricercatore presso l'Università Cattolica di Brescia. La sua attività di ricerca verte sul Calcolo delle Variazioni e aplicazioni.
30 CAPITOLO 2. FUNZIONI
−1 −|x|,
Moltiplicando ora per si ottiene un grafico di y =
che risulta essere il simmetrico rispetto al precedente, rispetto
all’asse delle x, ovvero dato dal seguente
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31
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Infine, il termine +3 corrisponde, come nell’esercizio preceden-
te, ad una traslazione verso l’alto di 3 sull’asse delle y, facendo
− |x|
ottenere il grafico di y = 3 dato da
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32 CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 3 →
Costruire il grafico della funzione f : data da
R R
Es3cap2 2
−|x −
f (x) = 4|.
soluzione
Costruiamo il grafico partendo dal noto grafico della parabola
2
di equazione y = x dato da
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33
CAPITOLO 2. FUNZIONI
−4
Il termine corrisponde ad una traslazione verso il basso di
2 −
4 facendo ottenere il grafico di y = x 4 dato da
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34 CAPITOLO 2. FUNZIONI
Il modulo produce poi un ribaltamento attorno all’asse delle
2 −
x dei rami negativi del grafico di y = x 4; il grafico di
2
|x −
y = 4| è quindi dato da
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35
CAPITOLO 2. FUNZIONI
−1
Infine, il fattore produce un ribaltamento globale attorno
all’asse delle x, facendo ottenere finalmente il grafico di y =
2
−|x − 4| dato da
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36 CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 4 →
Costruire il grafico della funzione f : [−2, 2] data da
R
Es4cap2 −x|x|.
f (x) =
soluzione 2
≥ −x
Conviene distinguere i due casi: per x 0 si ha f (x) = ,
2
mentre per x < 0 si ha f (x) = x . Ne segue che il grafico della
funzione data è
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37
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 5 →
Costruire il grafico della funzione f : data da
R R Es5cap2
f (x) = 2| sin x|.
soluzione
Costruiamo il grafico partendo dal noto grafico della funzione
y = sin x, dato da
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38 CAPITOLO 2. FUNZIONI
Il modulo, come già osservato in precedenza, ribalta i rami
negativi attorno all’asse delle x, facendo ottenere il seguente
|
grafico della funzione y = sin x| dato da
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39
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Il fattore 2, infine, produce una dilatazione lungo l’asse delle
y, per cui il grafico di y = 2| sin x| è dato da
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40 CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 6 →
Costruire il grafico della funzione f : data da
R R
Es6cap2 −
f (x) = arctan(−|x|).
soluzione ≥ −
Distinguiamo i due casi; se x 0, si ha f (x) = arctan(−x) =
−
arctan x. Se invece x < 0 si trova f (x) = arctan x. Il grafico
di f è quindi dato da
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41
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 7 →
Costruire il grafico della funzione f : data da
R R Es7cap2
|
f (x) = 3 + arctan(x)|.
soluzione
Partiamo dal grafico noto di f (x) = arctan(x), dato da
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42 CAPITOLO 2. FUNZIONI
Procedendo come negli esercizi precedenti, applicando il valore
|
assoluto otteniamo il grafico di y = arctan x|, dato da
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43
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Traslando, infine, verso l’alto di +3 troviamo infine il grafico
|
di y = 3 + arctan x|, dato da
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44 CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 8 →
Costruire il grafico della funzione f : data da
R R
Es8cap2 −5|x|
f (x) = 5 + e .
soluzione −5x −x
La funzione y = e ha grafico dato dal dilatato di y = e ,
e precisamente dato da
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45
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Traslando successivamente il grafico precedente verso l’alto di
−5x
5 otteniamo il grafico di y = 5 + e , dato da
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46 CAPITOLO 2. FUNZIONI {x
Finalmente, ribaltando il ramo che sta nel semipiano > 0}
si trova il grafico della funzione f dato da
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47
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 9
Studiare limitatezza, superiore ed inferiore, monotonia, parità Es9cap2
→
e periodicità della funzione f : data da
R R
3
f (x) = 4x + 1.
soluzione
Dall’esame del grafico 3
si deduce che la funzione f (x) = 4x + 1 non è inferiormente li-
mitata, non è superiormente limitata, e dunque non è limitata.
Inoltre f è strettamente crescente, non è pari, non è dispari e
non è periodica.
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48 CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 10
Es10cap2 Studiare limitatezza, superiore ed inferiore, monotonia, parità
→
e periodicità della funzione f : data da
R R
− |x|.
f (x) = 3
soluzione
Dall’esame del grafico − |x|
si deduce che la funzione f (x) = 3 non è inferiormente
limitata, è superiormente limitata, da 3, non è quindi limitata;
f non è monotona, è pari, non è dispari e non è periodica.
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49
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 11 Es11cap2
Studiare limitatezza (superiore ed inferiore), monotonia, pa-
→
rità e periodicità della funzione f : data da
R R
2
−|x −
f (x) = 4|.
soluzione
Dall’esame del grafico 2
−|x −
si deduce che la funzione f (x) = 4| non è inferiormente
limitata, è superiormente limitata, da 0, non è limitata; inoltre
f non è monotona, è pari, non è dispari e non è periodica.
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50 CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 12
Es12cap2 Studiare limitatezza, superiore ed inferiore, monotonia, parità
→
e periodicità della funzione f : [−2, 2] data da
R
−x|x|.
f (x) =
soluzione
Dall’esame del grafico −x|x|,
si deduce che la funzione f (x) = nel dominio dato, è
−4,
inferiormente limitata, da è superiormente limitata, da 4,
e quindi è limitata. Inoltre essa è strettamente decrescente,
non è pari, è dispari e non è periodica.
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51
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 13 Es13cap2
Studiare limitatezza, superiore ed inferiore, monotonia, parità
→
e periodicità della funzione f : data da
R R
f (x) = 2| sin x|.
soluzione
Dall’esame del grafico
si deduce che la funzione f (x) = 2| sin x| è inferiormente limi-
tata, da 0, è superiormente limitata, da 2, è quindi limitata,
non è monotona, è pari, non è dispari ed è periodica, di perio-
do T = π.
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52 CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 14
Es14cap2 Studiare limitatezza, superiore ed inferiore, monotonia, parità
→
e periodicità della funzione f : data da
R R
−
f (x) = arctan(−|x|).
soluzione
Dall’esame del grafico −
si deduce che la funzione f (x) = arctan(−|x|) è inferiormen-
π , è limitata,
te limitata, da 0, è superiormente limitata, da 2
non è monotona, è pari, non è dispari e non è periodica.
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53
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 15 Es15cap2
Studiare limitatezza, superiore ed inferiore, monotonia, parità
→
e periodicità della funzione f : data da
R R
|
f (x) = 3 + arctan(x)|.
soluzione
Dall’esame del grafico
si deduce che la funzione f è limitata sia inferiormente che
superiormente, quindi limitata; è pari, non è dispari, non è
periodica e non è monotona.
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54 CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 16
Es16cap2 Studiare limitatezza, superiore ed inferiore, monotonia, parità
→
e periodicità della funzione f : data da
R R
−5|x|
f (x) = 5 + e .
soluzione
Dall’esame del grafico
si deduce che la funzione data è limitata sia inferiormente che
superiormente, quindi limitata; è pari, non è dispari, non è
periodica e non è monotona.
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55
CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 17 Es17cap2
Studiare limitatezza, superiore ed inferiore, monotonia, parità
→
e periodicità della funzione f : data da
R R
2
f (x) = [cos x],
dove [x] denota la parte intera di x.
soluzione 2 ∈
Per definzione di parte intera [cos x] = 1 se x = kπ, con k Z,
2
mentre f (x) = 0 altrimenti. La funzione f (x) = [cos x] è dun-
que inferiormente limitata, da 0, è superiormente limitata, da
1, è limitata, non è monotona, è pari, non è dispari ed è pe-
riodica di periodo T = π.
Esercizio 18 Es18cap2
Studiare limitatezza, superiore ed inferiore, monotonia, parità
→
e periodicità della funzione f : data da
R R
3 |
f (x) = 4|x + cos(4x).
soluzione
La funzione f non è superiormente limitata a causa del termine
3 3
|x |, |x | ≥ ≥
ma è inferiormente limitata, essendo 0 e cos(4x)
−1 ∈
per ogni x f non è dunque limitata; f è pari, infatti
R.
si ha 3 3
− | |
f (−x) = 4| x + cos(−4x) = 4|x + cos(4x) = f (x).
f non è dispari e non è periodica.
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56 CAPITOLO 2. FUNZIONI
Esercizio 19 Es19cap2
Studiare limitatezza, superiore ed inferiore, monotonia, parità
→
e periodicità della funzione f : data da
R R
3 3
−
f (x) = arctan(−2x ) 2|x|x .
soluzione 3
|x|x
La funzione f non è limitata a causa del termine , che
rende f né inferiormente né superiormente limitata; f è una
funzione dispari, infatti 3 3
f (−x) = arctan(2x ) + 2|x|x
3 3
−(arctan(−2x − −f
= ) 2|x|x ) = (x).
Infine, f non è pari e non è periodica.
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Capitolo 3
Limiti e continuità
3.1 Richiami di teoria
3.1.1 Limiti
⊆ → ∈ ∪ {±∞}
Sia E e sia f : E Sia x di accumula-
R R. R
0
∈ ∪ {±∞}
zione per E. Si dice che ℓ è di f per x che
limite
R
tende ad x se per ogni intorno I di ℓ esiste un intorno J di
0 ∈ ∩ \ {x }) ∈
x tale che per ogni x J (E si ha f (x) I. In tal
0 0
caso si scrive anche lim f (x) = ℓ.
x→x 0
Si pone anche, quando la cosa ha senso,
f (x) := lim f (x).
f (x) := lim f (x), lim
lim x→x
x→x
+ 0
0 −
x→x
x→x x≤x
x≥x 0
0 0
0
Segue che ⇐⇒ f (x) = ℓ.
f (x) = lim
lim f (x) = ℓ lim
x→x + −
x→x
x→x
0 0
0
57
58 CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITÀ
Unicità del limite: Il limite, se esiste, è unico.
La definizione si può riscrivere caso per caso, in modo più
utile per le applicazioni.
∈
1) x , ℓ per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni
R:
0
∈ − ∩ 6 |f −
x (x δ, x + δ) E, con x = x , si ha (x) ℓ| < ε.
0 0 0
∈
2) x ℓ = +∞: per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale
R,
0 ∈ − ∩ 6
che per ogni x (x δ, x + δ) E, con x = x , si ha
0 0 0
f (x) > M .
∈ −∞:
3) x ℓ = per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale
R,
0 ∈ − ∩ 6
che per ogni x (x δ, x + δ) E, con x = x , si ha
0 0 0
−M
f (x) < . ∈
4) x = +∞, ℓ per ogni ε > 0 esiste M > 0 tale che
R:
0 ∈ ∩ |f −
per ogni x (M, +∞) E si ha (x) ℓ| < ε.
−∞, ∈
5) x = ℓ per ogni ε > 0 esiste M < 0 tale che
R:
0 ∈ ∩ |f −
per ogni x (−∞, M ) E si ha (x) ℓ| < ε.
6) x = +∞, ℓ = +∞: per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale
0 ∈ ∩
che per ogni x (δ, +∞) E si ha f (x) > M .
−∞:
7) x = +∞, ℓ = per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale
0 ∈ ∩ −M
che per ogni x (δ, +∞) E si ha f (x) < .
−∞,
8) x = ℓ = +∞: per ogni M > 0 esiste δ < 0 tale
0 ∈ ∩
che per ogni x (−∞, δ) E si ha f (x) > M .
−∞, −∞:
9) x = ℓ = per ogni M > 0 esiste δ < 0 tale
0 ∈ ∩ −M
che per ogni x (−∞, δ) E si ha f (x) < .
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59
CAPITOLO 3. LIMITI E CONTINUITÀ
→
Esempio: Sia data la funzione f : definta come f (x) =
R R
2
x . Allora si ha che 2
lim x = 0.
x→0 √ ∈
ε. Allora per ogni x (−δ, δ),
Infatti, fissato ε > 0 sia δ :=
6
x = 0, si ha 2 2
|f (x)| = x < δ = ε. →
Esempio: Sia data la funzione f : (0, +∞) definita come
R
1
f (x) = . Allora
x 1
lim = 0.
x
x→+∞
