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Il Viaggio Perfetto (ebook)

By Arrigo Amadori - Matematicamente.it
Il Viaggio Perfetto (ebook)

In questo ebook trovi

  • Un modo non eccessivamente tecnico per capire la geometria differenziale delle superfici
  • Un ricco corredo di immagini che aiutano la comprensione
  • Uno studio delle linee geodetiche e del calcolo delle variazioni

Leggi le prime pagine del libro >>>

Descrizione

Questo libro rappresenta un giusto compromesso tra chi desidera apprendere le basi della geometria differenziale della superficie nello spazio ordinario, e invece chi cerca qualche spunto per eventuali approfondimenti successivi. Infatti, la trattazione dei fondamenti della teoria della superficie è presentata in modo non eccessivamente tecnico e formale, corredato da molte figure e dando ampio spazio all'intuizione, ma senza trascurare i passaggi matematici più delicati, che necessiterebbero di approfondimenti ulteriori, ma che devierebbero troppo dal percorso proposto.

Dopo una breve introduzione alla teoria delle curve differenziabili nello spazio ordinario, l'autore introduce in modo semplice e intuitivo le superfici parametrizzate e presenta subito la questione più delicata e feconda, ovvero la nozione di metrica indotta dallo spazio ordinario sulla superficie. Passa quindi allo studio delle linee geodetiche, per le quali offre, in modo intuitivo ma ricco di spunti, parecchi aspetti di notevole interesse e ben collegati con altre parti della matematica moderna, in particolare il Calcolo delle Variazioni. Infine è d'obbligo la teoria della curvatura, anch'essa presentata in modo semplice, chiaro e a partire dalle vecchie ma brillanti idee di Gauss e Riemann.

Il testo risulta adatto a tutti coloro che hanno una buona conoscenza dell'Algebra lineare e dell'Analisi matematica in dimensione finita, per esempio studenti dei primi anni delle facoltà di Scienze o di Ingegneria.

Dortmund (Germania) Luglio 2010
 Luca Lussardi

 

Prefazione

La geometria differenziale delle ordinarie superfici diè una branca della matematica estremamente bella e stimolan¬te. Essa conduce naturalmente, se generalizzata ad n dimensioni, alla geometria riemanniana ed al connesso calcolo tensoriale. Queste ultime costituiscono la base matematica della teoria della relatività generale, universalmente considerata la più bella teoria fisica, fra le più alte vette del pensiero umano di tutti tempi.

Questa doppia valenza, matematica e fisica, secondo me, rende la geometria differenziale ancora più interessante ed affascinante.

In queste pagine, mi propongo di introdurre il lettore in questo mondo stupendo facendogli vivere la stessa "emozione" di un "esploratore" che entra in una terra sconosciuta. In cambio, come prerequisito, è richiesta una buona conoscenza della matematica di base, almeno a livello di biennio universitario di matematica, fisica, ingegneria o simili.

Lo stile è descrittivo/intuitivo. Il formalismo è snello e pratico. Non mi dilungo in inutili tecnicismi matematici, né utilizzo un linguaggio ampolloso e pedante, ben sapendo però che ciò è a scapito del rigore formale matematico. Dovendo scegliere - fra rigore e pragmatismo - ho preferito l'approccio pragmatico, avendo io la forma mentis di un fisico. Darò, quindi (a parte doverosi approfondimenti), per scontate tutte le condizioni di regolarità delle situazioni e delle funzioni in gioco, cioè darò per scontato che le cose "siano tali da funzionare correttamente".

Infine, desidero ringraziare Antonella Valzania, segretaria del Circolo Matematico Cesenate, per la correzione delle bozze.

Cesena, dicembre 2009
 Arrigo Amadori
 

Indice

•Presentazione
•Prefazione
•Introduzione
•1 Le curve◦1.1 Il vettore tangente
◦1.2 Lunghezza
◦1.3 Curvatura

•2 Le superfici◦2.1 Vettori tangenti ad una superficie
◦2.2 Campi vettoriali
◦2.3 Metrica
■2.3.1 Prodotto interno sul piano tangente,tensore metrico
■2.3.2 Angolo fra due vettori del piano tangente
■2.3.3 Lunghezze su superficie, elemento di linea
■2.3.4 Aree su superficie, elemento di superficie


•3 Le geodetiche◦3.1 Rudimenti di calcolo variazionale
◦3.2 Geodetiche nello spazio euclideo tridimensionale (approccio variazionale)
◦3.3 Geodetiche sulle superfici (approccio variazionale)
◦3.4 Geodetiche sulle superfici (approccio vettoriale)
■3.4.1 Derivata covariante
■3.4.2 Campo parallelo. Spostamento parallelo
■3.4.3 Geodetiche


•4 Curvatura◦4.1 Curvatura gaussiana
◦4.2 Il teorema egregium
◦4.3 La curvatura dal punto di vista del trasporto parallelo
◦4.4 La curvatura dal punto di vista delle geodetiche

Autore

Arrigo Amadori (Cesena, 1950) laureato in Fisica ha insegnato nelle scuole superiori, attualmente svolge attività di divulgazione scientifica, nel 2007 ha fondato il Circolo Matematico Cesenate, è autori di libri sulla meccanica quantistica e il calcolo differenziale.

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