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Il Calcolo Infinitesimale Non Standard (ebook)

By Paolo Bonavoglia - Matematicamente.it
Il Calcolo Infinitesimale Non Standard (ebook)

In questo ebook trovi

  • Un nuovo approccio per l'insegnamento dell'analisi matematica
  • Un esperimento didattico originale fatto dall'autore in classe
  • Limiti, derivate, integrali, studio di funzione alla maniera Non Standard

Leggi le prime pagine del libro >>>

Descrizione

Analisi nei licei sì o no? E se sì in che modo e in che misura? Una domanda che si ripropone ad ogni riforma o riordino delle scuole superiori. Nei licei italiani l’analisi fu inserita a inizio Novecento in occasione della riforma Credaro; a stilarne i programmi fu chiamato Guido Castelnuovo che così giustificò questa scelta:

«Ma se si vuole che l'allievo delle scuole medie senta di questa matematica moderna il soffio ispiratore ed intravveda la grandezza dell'edifizio, occorre parlargli del concetto di funzione ed indicargli sia pure sommariamente, le due operazioni che costituiscono il fondamento del Calcolo infinitesimale.»

Allora l’analisi fu inserita solo nel liceo moderno, che fu poi soppresso dalla riforma Gentile del 1923 e in qualche misura sostituito dal liceo scientifico che ereditò l’analisi come materia conclusiva del corso di matematica. Nei licei classici dove il peso della matematica fu ridimensionato l’analisi continuò a restare fuori, come del resto la geometria analitica.

Di fatto la geometria analitica fu inserita dopo la guerra nei libri di testo del liceo classico e collocata tra la prima e seconda liceo (terzo e quarto anno); l’analisi continuò a restarne fuori con l'eccezione della sperimentazione PNI diffusisi tra gli anni Ottanta e Novanta.

Negli istituti tecnici l’analisi c’è sempre stata e viene in genere trattata già nel quarto anno di corso, a volte anticipando anche al terzo.

 

Autore: Paolo Bonavoglia
 Titolo: Il Calcolo Infinitesimale
 Sottotitolo: Analisi per i licei alla maniera non standard
 

Indice

•Prefazione
•Introduzione storica
•1 - Primi passi nel calcolo infinitesimale◦1.1 - Il problema della tangente
◦1.2 - Il problema della velocità istantanea

•2 - Primi passi tra le derivate◦2.1 - Infinitesimi e derivate
◦2.2 - Parte standard
◦2.3 - Un primo esempio: la derivata del quadrato
◦2.4 - Derivata di potenze superiori
◦2.5 - La derivata della potenza
◦2.6 - La derivata è un'operazione lineare
◦2.7 - La derivata di un polinomio
◦2.8 - La derivata del prodotto di funzioni
◦2.9 - La derivata della funzione composta
◦2.10 - Le derivate successive
◦2.11 - Significato geometrico della derivata seconda
◦2.12 - Significato fisico della derivata seconda

•3 - Trovare la tangente a una curva◦3.1 - Tangenti a una parabola
◦3.2 - Tangenti a una parabola cubica

•4 - Problemi di massimo e minimo◦4.1 - Introduzione
◦4.2 - La regola di Fermat
◦4.3 - Ricerca dei massimi e minimi di una funzione
◦4.4 - I metodo per la ricerca dei massimi e minimi
◦4.5 - II metodo per la ricerca dei massimi e minimi
◦4.6 - Ricerca dei punti di flesso di una funzione
◦4.7 - I metodo per la ricerca dei punti di flesso
◦4.8 - II metodo per la ricerca dei punti di flesso

•5 - Primi esempi di studio di funzione◦5.1 - Introduzione
◦5.2 - Una funzione algebrica di 3º grado
◦5.3 - Ancora una funzione algebrica di 3º grado
◦5.4 - Una funzione algebrica di 4º grado

•6 - Primi passi tra gli integrali◦6.1 - L'integrale indefinito
◦6.2 - Integrale della potenza
◦6.3 - Proprietà lineari
◦6.4 - Integrale di un polinomio
◦6.5 - L'integrale è un'area

•7 - Calcolo di aree◦7.1 - Calcolo approssimato di aree
◦7.2 - La formula dei trapezi
◦7.3 - Area sottesa da una funzione con i trapezi
◦7.4 - Calcolo di aree con la formula di Simpson
◦7.5 - Esempio con la formula di Simpson

•8 - L'integrale definito◦8.1 - Ma l'area esatta qual è
◦8.2 - L'area sotto una funzione
◦8.3 - Il teorema fondamentale dell'analisi
◦8.4 - L'integrale definito
◦8.5 - Area tra due curve
◦8.6 - Esempi

•9 - Calcolo approssimato di integrali◦9.1 - Integrazione con la formula dei trapezi
◦9.2 - Integrazione con la formula di Simpson
◦9.3 - Esempi con la formula di Simpson

•10 - NSA infinitesimi e numeri iperreali◦10.1 - Le obiezioni di George Berkeley
◦10.2 - La prima rifondazione dell'Analisi
◦10.3 - Abraham Robinson riabilita gli infinitesimi
◦10.4 - Numeri infinitamente grandi
◦10.5 - Numeri infinitamente piccoli
◦10.6 - Notazione
◦10.7 - I numeri iperreali
◦10.8 - Aritmetica dei numeri iperreali
◦10.9 - Numeri infinitamente vicini
◦10.10 - La funzione parte standard
◦10.11 - Funzioni continue
◦10.12 - Continuità e limiti
◦10.13 - Prima definizione di limite

•11 - Le derivate◦11.1 - La definizione generale di derivata
◦11.2 - Derivate del cubo e della potenza ennesima
◦11.3 - Regole di derivazione
◦11.4 - La derivata della potenza
◦11.5 - La derivata della funzione inversa
◦11.6 - Derivata della radice quadrata
◦11.7 - Derivata della radice cubica
◦11.8 - La derivata della funzione composta
◦11.9 - La derivata del prodotto di funzioni
◦11.10 - La derivata del reciproco di una funzione
◦11.11 - La derivata del quoziente di funzioni
◦11.12 - Funzioni esponenziali e logaritmiche
◦11.13 - Le funzioni iperboliche
◦11.14 - La funzione di Gauss o gaussiana
◦11.15 - Derivata delle funzioni goniometriche
◦11.16 - Funzioni continue e funzioni derivabili

•12 - Integrali◦12.1 - Integrale indefinito
◦12.2 - Integrali fondamentali
◦12.3 - Regole di integrazione
◦12.4 - Integrali “impossibili”

•13 - Infinito, limiti, asintoti◦13.1 - I paradossi di Zenone
◦13.2 - Il primo paradosso di Zenone: il segmento
◦13.3 - Somme e serie
◦13.4 - I limiti
◦13.5 - La serie armonica
◦13.6 - Infinito attuale e infinito potenziale
◦13.7 - Infiniti attuali e numeri ordinali
◦13.8 - Limiti, parte standard
◦13.9 - Limiti e parte standard
◦13.10 - Limiti notevoli
◦13.11 - La regola de l'Hopital
◦13.12 - Asintoti di una funzione
◦13.13 - Asintoti verticali
◦13.14 - Asintoti orizzontali
◦13.15 - Asintoti obliqui

•14 - Approssimazione polinomiale◦14.1 - Primo esempio: approssimiamo il coseno
◦14.2 - Secondo esempio: approssimiamo il seno
◦14.3 - Terzo esempio: approssimiamo l'esponenziale
◦14.4 - Forma generale del polinomio di MacLaurin
◦14.5 - Il polinomio di Taylor
◦14.6 - Polinomio di Maclaurin della gaussiana
◦14.7 - Un polinomio di Maclaurin a convergenza limitata
◦14.8 - Derivazione usando il polinomio di Maclaurin
◦14.9 - Integrazione usando il polinomio di Maclaurin

•15 - Studio di funzione◦15.1 - Introduzione
◦15.2 - Studio di funzioni algebriche fratte
◦15.3 - Studio di una funzione irrazionale
◦15.4 - Studio di funzioni goniometriche

•16 - Appendice 1 Confronto tra Nsa e Analisi classica◦16.1 - Definizione di continuità
◦16.2 - Derivata della funzione composta

•17 - Appendice 2 SIA (Smooth Infinitesimal Analysis)◦17.1 - Fondamenti della SIA
◦17.2 - La derivata nella SIA

•18 - Appendice 3: Applicazioni in Fisica◦18.1 - La caduta dei gravi
◦18.2 - Il moto circolare uniforme

•19 - Bibliografia◦19.1 - Libri
◦19.2 - Web

Autore

Paolo Bonavoglia è nato a Roma nel 1950. Laureato in matematica ha insegnato Matematica e Fisica nei licei classici e dal 1987 al 1994 Informatica industriale negli istituti tecnici. Dal 1994 insegna Matematica al liceo classico Marco Foscarini di Venezia; è anche webmaster del sito del liceo, nel cui ambito ha curato gli ipertesti Eclissi e calendari e La crittografia da Atbash a RSA. Negli ultimi anni ha pubblicato sulla rivista Progetto Alice: Il ritorno dell'infinitesimo e L'analisi infinitesimale nel liceo classico - una sperimentazione dell'Analisi Non Standard. Ogni anno organizzata una giornata di studio sulla Analisi Non Standard.

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