Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Il Dipartimento di Informatica dell'Università degli Studi di Verona
Il Piano Lauree Scientifiche - Università degli Studi di Verona
Il Gruppo promotore NSA - Verona
organizzano la
5a Giornata Nazionale di Analisi Non Standard
Verona, sabato 10 ottobre 2015
Sede: Dipartimento di Informatica – Università di Verona - Strada Le Grazie 15
La quinta edizione della Giornata nazionale di studio sull'Analisi non Standard per la scuola superiore, svoltasi a Verona il 10 Ottobre 2014, è stata un buon successo. Possiamo dirlo oggi, a posteriori, ricordando gli oltre 160 presenti e il loro apprezzamento per le attività in programma.
Possiamo attribuire il successo ad alcune semplici ragioni:
- ragioni di contenuto, legate all'esigenza di approfondire temi essenziali ai curricoli e di dibattere esperienze didattiche innovative consolidate o recenti;
- ragioni organizzative, legate all'autorevolezza degli enti organizzatori e al lavoro capillare che è stato messo in campo.
Il gruppo di lavoro che ha progettato il convegno era composto da:
- Ruggero Ferro (Univr), per il Dipartimento di Informatica, sede dell'evento;
- Sisto Baldo (Univr), per il Progetto Lauree Scientifiche, che ha fornito il supporto economico;
- Alberto Burato e Luciano Corso, dell'Associazione Mathesis, sezione di Verona, fondamentale supporto sia per le comunicazioni che per l'esonero ministeriale;
- Leonardo Aldegheri, Bruno Stecca, Daniele Zambelli, per l'organizzazione e il coordinamento.
Il convegno è stato preparato anche scrivendo e diffondendo un articolo introduttivo all'Analisi non Standard, comparso nel n.205 della rivista elettronica Matematicamente, che è stato diffuso a tutti gli iscritti al convegno e ai soci della Mathesis, nella speranza di avvicinare anche i meno esperti ai temi trattati.
La giornata aveva un tema: "L'Analisi non standard e la didattica dell'Analisi matematica", con una caratterizzazione. Infatti avevamo chiesto ai relatori di presentare:
- alcuni aspetti teorici essenziali;
- esperienze concrete di insegnamento; sottolineando, in confronto con i metodi tradizionali:
- i vantaggi del nuovo approccio per lo studente e per il docente;
- gli eventuali punti critici;
- l'eleganza nella ricerca della soluzione di un problema.
Gli articoli che seguono sono le relazioni, riviste dagli autori nelle settimane successive all'evento. Essi costituiscono, a nostro avviso, un interessante e utile stimolo alla formazione dei docenti e un quadro fedele delle esperienze didattiche in campo.
Febbraio 2016 Il gruppo NSA - Verona
•
Indice
1. Ritorno all'analisi infinitesimale
Ruggero Ferro
2. Strumenti ottici per un approccio ad alcuni teoremi di analisi
Giorgio Goldoni
3. Un'introduzione all'analisi con infinitesimi
Mauro Di Nasso
4. Condensatori: dall'esperimento all'equazione differenziale
Andrea Sellaroli
5. Percorsi, difficoltà, errori nell'uso della NSA nei licei
Paolo Bonavoglia
6. La NSA nel vivo della didattica: una terza via
Sergio Casiraghi
7. Problemi di massimo e minimo
Andrea Centomo
8. Sui teoremi del calcolo integrale
Lucia Rapella
9. Materiali didattici per l'insegnamento dell'Analisi Non Standard
Bruno Stecca, Daniele Zambelli
10. Il più veloce Achille e la ipertartaruga
Roberto Zanasi
ii V giornata di studio NSA
La giornata di studio si è svolta
presso il Dipartimento di Informatica dell’Università di Verona
Sabato, 10 Ottobre 2015.
Impaginato a cura di Bruno Stecca e Daniele Zambelli
« Matematicamente
info@matematicamente.it
ISBN
febbraio 2016
Licenza CC-BY-ND
http://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0/legalcode
ii V giornata di studio NSA
L'Associazione Mathesis - Società Italiana di Scienze MM. e FF. - sezione di Verona
Il Dipartimento di Informatica dell'Università degli Studi di Verona
Il Piano Lauree Scientifiche - Università degli Studi di Verona
Il Gruppo promotore NSA - Verona
organizzano la
a
5 Giornata Nazionale di Analisi Non Standard
Verona, sabato 10 ottobre 2015
–
Sede: Dipartimento di Informatica Università di Verona - Strada Le Grazie 15
–
Sessione del mattino: ore 9:00 12:45
9.00 Registrazione
9.25 Inizio lavori, saluti e comunicazioni organizzative
9.30 Ruggero Ferro, Fondamenti della Matematica - UNIVR
Ritorno all'analisi infinitesimale
10.15 Giorgio Goldoni, ITIS Leonardo Da Vinci - Carpi (MO)
Uso di strumenti ottici non standard per un approccio visivo ad alcuni teoremi di analisi
11.00 Pausa
11.15 Mauro Di Nasso, Logica Matematica - UNIPI
Introduzione all'analisi con infinitesimi
12.00 Andrea Sellaroli, Liceo Scientifico G. Fracastoro - Verona
Condensatori: dall'esperimento all'equazione differenziale
–
12.45 14.15 Pausa pranzo –
Sessione pomeridiana: 14.15 17.00
14.15 Organizzazione e avvio lavori
–
14.30 16.00 Interventi in sezioni parallele (i partecipanti potranno seguire tre interventi, a scelta):
Al momento le comunicazioni accettate comprendono:
Paolo Bonavoglia, Liceo Classico M. Foscarini - Venezia
Percorsi, difficoltà ed errori da evitare nell’insegnamento della NSA nei Licei
Sergio Casiraghi, e-Tutor Master DIDASCA - Sondrio
La NSA nella didattica viva della scuola secondaria superiore: una terza via
Andrea Centomo, Liceo Scientifico F. Corradini - Thiene (VI)
Problemi di Massimo e Minimo: un confronto tra metodi standard e non standard
Lucia Rapella, ITCG P. Saraceno - Morbegno (SO)
Sui teoremi del calcolo integrale
Roberto Zanasi, ITIS E. Fermi - Modena
Il pié veloce Achille e la ipertartaruga –
Bruno Stecca & Daniele Zambelli, Liceo Scientifico G. Fracastoro Verona
Materiali didattici per l’insegnamento della NSA
16.00 Discussione e conclusioni.
17 00 Fine lavori
Dispensa MIUR dall’insegnamento Prot. n. AOODGPER 24631– Roma 07- 08 - 2015 – Dirigente Giuseppe Bonelli
Per informazioni e invio di comunicazioni nsa2015vr@gmail.com ,Tel. 348 7310069 per iscrizioni info@mathesisverona.it
;
Indice
Presentazione v
1 Ritorno all’analisi infinitesimale 1
1.1 Problemi dalla realtà e numeri trascurabili . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Ipernaturali e nozioni di infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Ruolo degli ipernaturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Confronto tra nozioni di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Ruolo del linguaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Conclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Strumenti ottici per un approccio ad alcuni teoremi di analisi 15
2.1 Determinazione numerica di un probabile asintoto obliquo . . . . . 15
2.2 Determinazione di un asintoto obliquo . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Una visualizzazione per le regole de l’Hôpital nella forma discreta . 20
2.4 Il caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Conclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Un’introduzione all’analisi con infinitesimi 25
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Un po’ di storia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Introduzione di nuovi insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Numeri grandi e numeri piccoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 I numeri superreali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Presentazioni assiomatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.7 I numeri iperreali, assiomaticamente . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Condensatori: dall’esperimento all’equazione differenziale 45
4.1 Motivazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 L’esperimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 L’equazione differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Percorsi, difficoltà, errori nell’uso della NSA nei licei 51
5.1 Anticipare analisi? al III anno? al IV anno? . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Limiti sı̀ o no? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Ma la matematica ha una storia? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 L’esame di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.5 Link e libri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
iii
iv V giornata di studio NSA
6 La NSA nel vivo della didattica: una terza via 63
6.1 Cinque buone ragioni per insegnare l’Analisi Non Standard . . . . 64
6.2 Nuovi orizzonti nella formazione su siti web aperti . . . . . . . . . 65
6.3 Problemi riproposti con soluzione rapida in NSA+ riferiti a EASSS 67
6.4 Due, tre o più vie per portare la NSA nella pratica didattica . . . 72
6.5 La disponibilità di libri di testo e approcci pedagogici in NSA . . . 74
6.6 Miscellanea per progetti di passaggio alla NSA . . . . . . . . . . . 75
6.7 Conclusione del passaggio a Nord-Ovest . . . . . . . . . . . . . . 76
7 Problemi di massimo e minimo 79
7.1 Le botti di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2 Soluzione non standard e metodo di Fermat . . . . . . . . . . . . 83
7.3 Lattine di birra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.4 Leibniz e la legge della rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.5 Il rigore nell’approccio standard e non standard . . . . . . . . . . 86
7.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8 Sui teoremi del calcolo integrale 91
8.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.2 L’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3 Le proprietà e i teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9 Materiali didattici per l’insegnamento dell’Analisi Non Standard 97
9.1 Presentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.2 La derivata standard e il suo significato geometrico . . . . . . . . 98
9.3 La derivata non standard nel percorso del prof.Apotema . . . . . . 99
9.4 Tener conto della parte infinitesima . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.5 Il grado di accuratezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.6 Il progetto del libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.7 Come collaborare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10 Il piè veloce Achille e la ipertartaruga 107
10.1 Il paradosso di Zenone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.2 La definizione di serie numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.4 Condizione necessaria di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . 112
10.5 Serie a termini positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Presentazione
La quinta edizione della Giornata nazionale di studio sull’Analisi non Standard
per la scuola superiore, svoltasi a Verona il 10 Ottobre 2014, è stata un buon
successo. Possiamo dirlo oggi, a posteriori, ricordando gli oltre 160 presenti e il
loro apprezzamento per le attività in programma.
Possiamo attribuire il successo ad alcune semplici ragioni:
ragioni di contenuto, legate all’esigenza di approfondire temi essenziali ai
curricoli e di dibattere esperienze didattiche innovative consolidate o recenti;
ragioni organizzative, legate all’autorevolezza degli enti organizzatori e al
lavoro capillare che è stato messo in campo.
Il gruppo di lavoro che ha progettato il convegno era composto da:
Ruggero Ferro (Univr), per il Dipartimento di Informatica, sede dell’evento;
Sisto Baldo (Univr), per il Progetto Lauree Scientifiche, che ha fornito il
supporto economico;
Alberto Burato e Luciano Corso, dell’Associazione Mathesis, sezione di Ve-
rona, fondamentale supporto sia per le comunicazioni che per l’esonero
ministeriale;
Leonardo Aldegheri, Bruno Stecca, Daniele Zambelli, per l’organizzazione e
il coordinamento.
Il convegno è stato preparato anche scrivendo e diffondendo un articolo in-
troduttivo all’Analisi non Standard, comparso nel n.205 della rivista elettronica
Matematicamente, che è stato diffuso a tutti gli iscritti al convegno e ai soci della
Mathesis, nella speranza di avvicinare anche i meno esperti ai temi trattati.
v
vi V giornata di studio NSA
La giornata aveva un tema: “L’Analisi non standard e la didattica dell’Analisi
matematica”, con una caratterizzazione. Infatti avevamo chiesto ai relatori di
presentare
alcuni aspetti teorici essenziali;
esperienze concrete di insegnamento;
sottolineando, in confronto con i metodi tradizionali:
i vantaggi del nuovo approccio per lo studente e per il docente;
gli eventuali punti critici;
l’eleganza nella ricerca della soluzione di un problema.
Gli articoli che seguono sono le relazioni, riviste dagli autori nelle settimane
successive all’evento. Essi costituiscono, a nostro avviso, un interessante e utile
stimolo alla formazione dei docenti e un quadro fedele delle esperienze didattiche
in campo.
Febbraio 2016 Il gruppo NSA - Verona
1
Ritorno all’analisi infinitesimale
Ruggero Ferro
Vista l’impossibilità del linguaggio, sia formale che informale, di dire di cosa si sta
parlando se non si assumono già noti per via non linguistica alcuni concetti da cui
derivare gli altri, per capire gli sviluppi e le affermazioni dell’analisi matematica è
opportuno rifarsi ai problemi che ha inteso affrontare: il movimento e la determi-
nazione di aree non delimitate da spezzate chiuse. Nel Rinascimento si cominciò
ad affrontare questi problemi usando quantità trascurabili da certi punti di vista,
e il lavorio per precisare questa nozione fu molto travagliato. Direi che il motivo
fondamentale di queste difficoltà fu che ci si scontrava con un concetto di infinito
(e infinitesimo) intuito ma allora non ben chiarito. Una mentalità aristotelica e
archimedea delle critiche ha portato all’abbandono dei fruttuosi metodi infinitesi-
mali che non sapevano rispondere alle obiezioni. Gli sviluppi del ventesimo secolo
richiesti dalla crisi dei fondamenti hanno mostrato come superare gli ostacoli, per-
mettendo di utilizzare le idee di quattro secoli fa in modo rigoroso, semplice ed
efficiente: ritornando agli infinitesimi. Ora il problema si gioca sul come conciliare
l’idea di infinito attuale di Cantor (sviluppatasi nel frattempo) con quella infinite-
simale. Il mio intervento intende esplicitare e chiarire, con la semplicità richiesta
dal tempo limitato, le problematiche qui velocemente adombrate.
1.1 Problemi dalla realtà e numeri trascurabili
Il linguaggio (sia formale che informale) non è in grado di precisare di cosa sta
parlando, senza assumere che sia noto, per via non linguistica, il significato di alcune
parole. Cosı̀ è opportuno partire da problemi presenti nell’esperienza quotidiana e
da situazioni concrete per cogliere i quali non è necessario il linguaggio. Ecco
problemi che hanno portato all’analisi matematica: velocità istantanea, pendenza
in un punto, volume di un solido anche se non limitato da facce poligonali piane.
La velocità istantanea è un fatto facilmente sperimentabile e si possono confron-
tare direttamente velocità istantanee, anche con strumenti meccanici. È goffamen-
1
2 V giornata di studio NSA