Numeri interi (ebook)

INTRODUZIONE

“La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei

numeri è la regina della matematica” (C.F. Gauss)

“Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera

dell'uomo” (L. Kronecker)

Proponiamo un semplice esperimento: chiedete a qualcuno di pensare un numero e scriverlo su

un foglio. Potrà essere 1, 3, 10 o magari un numero più grande come 313 - la targa dell’auto di

Paperino - o 1990 (una data di nascita o di matrimonio), ma è estremamente improbabile che si

tratti di 1/3, -3 oppure 2,53.

Insomma, potrete dire con ragionevole certezza che si tratta di un numero intero positivo.

Infatti, gli interi positivi - che utilizziamo per contare (ci sono 8 persone in una stanza) o per

definire un ordinamento (Milano è la 2ª città d’Italia per numero di abitanti) - sono quelli che si

usano maggiormente, se non esclusivamente, nella vita di tutti i giorni, tanto che si può dire che

l’idea di numero sia associata “naturalmente” a quella di numero intero.

Senza soffermarsi sull’argomento, che meriterebbe un’assai più ampia trattazione, citiamo solo

un esempio per segnalare quanto fosse forte tale identificazione fin dall’antichità, ricordando il

trauma psicologico portato nella scuola pitagorica dalla scoperta dell’incommensurabilità tra la

lunghezza del lato del quadrato e quella della sua diagonale, ossia dell’esistenza di quelli che

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oggi chiamiamo numeri irrazionali.

Prima di cominciare la trattazione, però, torniamo indietro di qualche riga, all’avverbio

“naturalmente”, che offre lo spunto per chiarire subito una questione terminologica non

trascurabile, almeno per chi è abituato al rigore matematico: numeri interi o numeri naturali?

Lo studio si occuperà - pur con qualche escursione nel regno del segno meno e “persino” nel

campo frazionario - esclusivamente di interi positivi, ossia dell’insieme N dei numeri naturali.

Per evitare inutili complicazioni, però, anche se la dizione “naturali” sarebbe più precisa -

conviene adeguarsi all’uso comune e parlare genericamente di “interi”, come fanno di norma

tutti i testi che trattano l’argomento.

Dunque, questo studio intende trattare i numeri interi, cercando di esaminarli da diverse

prospettive e di approfondirne alcune caratteristiche. I numeri potranno essere analizzati

singolarmente, a coppie o gruppi, o ancora in sequenze infinite.

Si parlerà di diversi temi, esaminando in primo luogo varie tipologie di numeri primi, per poi

proseguire con successioni e famiglie di interi, ivi comprese alcune configurazioni di numeri di

tipo geometrico. Successivamente, si prenderanno in considerazione particolari funzioni che si

applicano ai soli interi, per poi allargare il discorso a disposizioni infinite di numeri e a strutture

numeriche in qualche modo “magiche”.

Infine, si concluderà lo studio esplorando brevemente il mondo dei numeri interi espressi in un

sistema numerico diverso da quello decimale.

1 Può valere la pena di ricordare che l’aggettivo “irrazionale” niente ha a che vedere con un’eventuale irragionevolezza di

tali numeri, ma deriva dal latino “ratio”, rapporto; dunque, gli irrazionali sono numeri non esprimibili mediante un

rapporto tra interi. 3

In sostanza, come si evince dagli argomenti enunciati, il testo si colloca a cavallo tra la teoria

dei numeri e l’area dei giochi matematici, tra la matematica pura e quella ricreativa.

I diversi temi possono apparire a prima vista slegati tra loro; di fatto, però le connessioni sono

numerosissime e - come si potrà verificare nel corso della lettura - vi saranno costantemente

intrecci e rimandi, talvolta inaspettati, tra un capitolo e l’altro.

Dunque, esiste una sorta di filo rosso che collega le varie parti. Non è, però, necessario leggere

il testo in ordine sequenziale, come un normale libro; al contrario, si può saltare da un punto

all’altro in base alla curiosità suscitata da un determinato tema. O, ancora, utilizzare questo

studio come un dizionario, cercando di volta in volta lo specifico argomento che interessa; a

questo scopo sono stati aggiunti in coda due elenchi che possono agevolare tali ricerche.

Va precisato che il testo non ha né la pretesa di essere esaustivo, né quella di fare qualche

nuova scoperta significativa per il mondo matematico, affrontando un argomento sul quale - nel

corso dei secoli - hanno detto e scritto schiere di matematici, ivi compresi i grandissimi come

Eulero o Gauss. Né, d’altro canto, intende riproporre dati e formule facilmente reperibili in testi

scolastici a diversi livelli di complessità.

Il suo scopo è, più semplicemente, quello di dare un contributo (si spera) originale, soprattutto

per quanto riguarda l’approccio complessivo. Infatti, si intendono trattare i numeri interi

citando solo en passant le loro caratteristiche più note, per concentrare l’attenzione su aspetti

minori se non del tutto sconosciuti fuori dall’ambiente degli “addetti ai lavori”. Inoltre, si

aggiungeranno - ove possibile - curiosità numeriche o giochi matematici, prendendo spunto

dall’argomento trattato in quel momento.

In conclusione, non resta che augurare a tutti buona lettura e buona navigazione nel mare

magnum dei numeri interi. 4

1 - CURIOSE TIPOLOGIE DI NUMERI PRIMI

Un testo dedicato ai numeri interi non può che partire dai numeri primi, che costituiscono la

base dell’intera teoria dei numeri e saranno, dunque, i protagonisti di questo capitolo iniziale.

A sottolineare la grande importanza dei numeri primi, per rappresentarli sono state utilizzate nel

tempo varie metafore, spesso legate al concetto di “mattone”. Ossia, un prodotto molto

semplice, apparentemente modesto, ma fondamentale nella costruzione di qualsiasi edificio.

Non a caso i Numeri Primi hanno attirato l’attenzione dei matematici fin dall’antichità e su di

essi, nel corso dei secoli, si sono versati i proverbiali “fiumi di inchiostro”.

Ciononostante, rimane ancora tanto da scoprire. In particolare - com’è noto - è tuttora irrisolto il

problema fondamentale, quello di scoprire una qualche regola in base alla quale i numeri primi

si susseguono.

Non si tratterà, però, questo problema, né si affronterà qualcuna delle altre, numerose questioni

insolute relative ai numeri primi, alle quali si sono dedicati i maggiori esperti di teoria dei

numeri. In linea con l’orizzonte complessivo di questo testo che - come detto - intende

percorrere sentieri poco battuti, si cercherà di portare l’attenzione su alcune curiose e poco

conosciute tipologie di numeri primi.

Per maggiore chiarezza, il capitolo è suddiviso in due parti: la prima riguarda i numeri primi

presi singolarmente; la seconda li considera congiuntamente: a coppie, a terne o a gruppi di 4.

1.1 - NUMERI PRIMI PRESI SINGOLARMENTE

In primo luogo, presentiamo una tabella riepilogativa che descrive le svariate tipologie di

numeri primi prese in esame nel prosieguo del capitolo. Ci soffermeremo, in particolare, sulle

cifre che compongono i numeri stessi.

Per evitare di ripetere più volte le stesse avvertenze, precisiamo fin d’ora che - salvo

indicazione diversa - nella trattazione saranno ignorati i numeri primi minori di 10.

TIPOLOGIE DI NUMERI PRIMI

Nome Descrizione Esempio Primi numeri (> 10) della sequenza

Additivi La somma delle cifre dà un numero primo 47 11-23-29-41-43-47-61-67-83-89-101-113

Disparissimi Hanno tutte le cifre dispari 97 11-13-17-19-31-37-53-59-71-73-79-97-113

Imirp Invertendo le cifre danno un altro primo 149 11-13-17-31-37-71-73-79-97-101-107-113

Palindromi Invertendo le cifre danno lo stesso numero 101 11-101-131-151-181-191-313-353-373-383

Permutabili Tutti i possibili “anagrammi” sono primi 113 11-13-17-31-37-71-73-79-97-113-131-199

Monocifra Sono formati da una sola cifra ripetuta 11 11-19 cifre “1”-23 cifre “1”-317 cifre “1”

Numeri Primi Additivi

Cominciamo questa carrellata con i Numeri Primi Additivi, ossia numeri tali che la somma delle

loro cifre è ancora un numero primo, come 47 (4+7=11).

La successione dei primi additivi inizia con: 11, 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89.

In primo luogo, si nota che - a parte il caso particolare di numeri composti solo da due cifre “1”,

come 101 - la somma delle cifre deve essere necessariamente un numero dispari. Da ciò si può

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senz'altro stabilire che, se sono composti da un numero di cifre pari - devono comprendere al

loro interno almeno una cifra pari. Facciamo un paio di esempi: 29 (somma 11) o 1.093

(somma 13).

Al contrario, i primi additivi con numero di cifre dispari devono avere un numero pari di cifre

pari (ad esempio 12.347 che ne ha 2) oppure essere formati esclusivamente da cifre dispari,

come i numeri che stiamo per esaminare.

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Numeri Primi "Disparissimi"

Passiamo, dunque, ai Numeri Primi Disparissimi, ossia numeri formati soltanto da cifre dispari.

I primi dieci disparissimi sono i seguenti: 11, 13, 17, 19, 31, 37, 53, 59, 71, 73.

Dalla definizione stessa si può dedurre che questo insieme presenta intervalli di decine di

numeri - poi di centinaia, poi di migliaia e così via - nei quali non si potrà trovare alcun numero

primo; ad esempio, tra 20 e 30 (10 unità), tra 400 e 500 (100 unità) etc.

Inoltre, in relazione ai primi additivi visti poc’anzi, è evidente che nel caso di numeri con un

numero di cifre pari, le due tipologie sono alternative: se un primo è additivo non potrà essere

disparissimo e viceversa.

Un percorso a imbuto

Vi sono, però, altre tipologie di primi che appaiono senz’altro più interessanti per gli sviluppi

che possono produrre.

In particolare, ne esamineremo alcune che delineano un percorso di successive selezioni, dal

generale al particolare, attraverso il quale si restringe sempre più la quantità di “oggetti”

considerati, fino ad ottenere dei numeri estremamente rarefatti nell’universo degli interi.

Questa sorta di imbuto comprende, nella sua parte più larga, i numeri primi Imirp; seguono poi

i primi permutabili e i primi palindromi e, infine, il percorso si conclude con i primi monocifra.

Le definizioni appena viste saranno meglio spiegate nei singoli paragrafi.

Numeri Primi "Imirp"

I Numeri Primi Imirp traggono il loro strano nome semplicemente dalla parola “Primi” letta al

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contrario. Si tratta, come si può intuire, di numeri che rimangono primi se si leggono le loro

cifre in ordine inverso: un esempio è il numero 37, dato che anche 73 è primo.

La sequenza dei primi Imirp inizia con: 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 101.

Ovviamente, i numeri di questa tipologia non possono iniziare né con un numero pari, né con 5,

per cui al di sotto di 100 si trova una striscia di 30 numeri (almeno) priva di Imirp, mentre al di

sotto di 1.000 tale striscia è costituita da non meno di 300 unità.

In generale, possiamo dire che nell'insieme dei numeri interi vi sono infiniti intervalli “Imirp

k

free” di dimensione crescente pari a 3×10 (con k maggiore o uguale a 2).

I numeri primi Imirp sono infiniti? Si ipotizza di sì, ma la questione è tuttora irrisolta. Per non

essere troppo ripetitivi, anticipiamo che ciò vale anche per le tipologie che saranno trattate

successivamente.

2 Traduciamo così il termine inglese “Oddest” con cui questi numeri sono normalmente conosciuti.

3 Nella letteratura specializzata questi numeri - secondo la dizione inglese - sono chiamati “Emirp”; nella nostra

traduzione utilizziamo il plurale anziché il singolare. 6

Numeri Primi Palindromi

Restringiamo ora il campo a un sottoinsieme degli Imirp, considerando i Numeri Primi

Palindromi, ossia i numeri che rimangono identici anche invertendo l’ordine delle cifre che li

compongono. Esempi: 11, 181 e 797.

I primi dieci primi palindromi sono 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383.

Ovviamente, le condizioni affinché un numero primo sia palindromo sono assai più restrittive

rispetto agli Imirp visti in precedenza; la limitazione più significativa è che i primi palindromi

non possono avere un numero pari di cifre, poiché in tal caso sarebbero divisibili per 11.