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Sintesi
Un manuale con 360 quesiti di matematica e fisica a scelta multipla commentati utili per la preparazione ai concorsi nella scuola secondaria di secondo grado.

Indice


A049 2014/15 ........... 5
Svolgimento ............ 15
A048 2014/15 .......... 34
Svolgimento ............ 44
A047 2014/15 .......... 64
Svolgimento ............ 73
A049 2011/12 .......... 90
Svolgimento ............ 99
A048 2011/12 ........ 119
Svolgimento .......... 129
A047 2011/12 ........ 155
Svolgimento .......... 165

Autore


Nicola De Rosa
Informatico di professione ha sempre coltivato grande passione per la matematica. Ogni anno svolge le prove di matematica per la maturità scientifica, le prove vengono pubblicate già nel primo pomeriggio su Matematicamente.it
Estratto del documento

..……..TFA Matematica e Fisica………………………………………A049 2014/15……………………………………………………………..14…………

P

A G I

N

A D

E L

L

E R I

S

P

O

S

T

E

Stampare la pagina e crociare le risposte da verificare

1 A B C D 31 A B C D

2 A B C D 32 A B C D

3 A B C D 33 A B C D

4 A B C D 34 A B C D

5 A B C D 35 A B C D

6 A B C D 36 A B C D

7 A B C D 37 A B C D

8 A B C D 38 A B C D

9 A B C D 39 A B C D

10 A B C D 40 A B C D

11 A B C D 41 A B C D

12 A B C D 42 A B C D

13 A B C D 43 A B C D

14 A B C D 44 A B C D

15 A B C D 45 A B C D

16 A B C D 46 A B C D

17 A B C D 47 A B C D

18 A B C D 48 A B C D

19 A B C D 49 A B C D

20 A B C D 50 A B C D

21 A B C D 51 A B C D

22 A B C D 52 A B C D

23 A B C D 53 A B C D

24 A B C D 54 A B C D

25 A B C D 55 A B C D

26 A B C D 56 A B C D

27 A B C D 57 A B C D

28 A B C D 58 A B C D

29 A B C D 59 A B C D

30 A B C D 60 A B C D

Matematicamente.it

..……..TFA Matematica e Fisica………………………………………A049 2014/15……………………………………………………………..15…………

Svolgimento −y/3).

1. In un piano cartesiano si consideri la trasformazione che ad ogni punto (x, y) associa il punto (3x,

Applicando tale trasformazione, l'area di un poligono:

[A] resta invariata [B] aumenta [C] diminuisce

[D] può restare invariata, aumentare o diminuire a seconda di quale sia il poligono

R i s p o

s t

a 

 x ' 3 x

La trasformazione geometrica è , si tratta di una dilatazione.

 

 y ' y 3    

 

x ' 3 0 x

   

 

Possiamo anche scriverla nel modo seguente: .

   

 

   

 

y ' 0 1 3 y

Il rapporto tra le aree del poligono trasformato e quello di partenza è pari al valore assoluto del

 

  3 0

3 0   

  di conseguenza l’area resta

det 1

determinante della matrice di affinità ovvero  

  

  

  0 1 3

0 1 3

invariata.

In generale, se il poligono P viene trasformato nel poligono P’ allora vale la relazione

Pertanto la risposta corretta è [A].

2. Si considerino: l'insieme dei numeri razionali, l'insieme dei numeri irrazionali, l'insieme dei numeri

reali. Di questi tre insiemi si può dire che:

[A] uno solo è non numerabile [B] hanno, a due a due, cardinalità diverse

[C] hanno tutti la stessa cardinalità [D] uno solo è numerabile

R i s p o

s t

a

L’insieme Q dei numeri razionali è numerabile ovvero esiste

una corrispondenza biunivoca tra i razionali e i numeri naturali.

Questo risultato, è stato dimostrato da Georg Cantor. Il suo

ragionamento si basa sul diagramma a fianco: possiamo infatti

ordinare i razionali positivi, seguendo le frecce, in modo che ad

ognuno di essi sia assegnato un numero naturale; anzi, ogni numero

sarà contato infinite volte (perché ognuno ha un'infinità di

rappresentazioni diverse), ma questo non può rendere

l'insieme Q più grande. Lo stesso argomento può essere usato per

dimostrare che i razionali negativi sono numerabili. Poiché l'unione

di due insiemi numerabili è ancora numerabile, Q risulta essere

numerabile.

dei numeri anche l’insieme

L’insieme irrazionali è non numerabile,

dei numeri reali è non numerabile e pertanto gran parte dei numeri reali sono irrazionali.

Pertanto la risposta corretta è [D].  nell’intervallo [−1; 1] è:

2

3. y x

Il valor medio della funzione

[A] 0 [B] 1\3 [C] 1\2 [D] 2\3

R i s p o

s t

a

Il valore richiesto è pari a: 1

 

1 1 1 3

1 1 x 1

  

      

2 2 2  

V x dx 2 x dx x dx

M  

2 2 3 3

1 0 0 0

1 1

 

 

2 2

x dx 2 x dx

in cui si è sfruttata la parità della funzione integranda per dire che .

1 0

Pertanto la risposta corretta è [B]. Matematicamente.it

..……..TFA Matematica e Fisica………………………………………A049 2014/15……………………………………………………………..16…………

In un triangolo rettangolo, la mediana e l’altezza relative all’ipotenusa misurano rispettivamente 50 cm

4.

e 48 cm. L’area del triangolo è:

2 2 2 2

[A] 4800 cm [B] 2400 cm [C] 1200 cm [D] 600 cm

R i s p o

s t

a è inscrivibile in una semicirconferenza con diametro pari all’ipotenusa, la

Poiché un triangolo rettangolo

mediana relativa all’ipotenusa raggio del triangolo inscritto, pertanto l’ipotenusa è il doppio della

è anche 

100 48

 

mediana. Nel caso in esame, quindi, l’ipotenusa è pari a 100 cm e l’area è pari a 2

A 2400 cm .

2

Pertanto la risposta corretta è [B].

5. Si lanciano due dadi equi. La probabilità che il minimo fra i due numeri ottenuti sia 1 è:

[A] 1/6 [B] 1/3 [C] 11/36 [D] 7/36

R i s p o

s t

a

Lanciando due dadi si hanno 36 possibili coppie di valori. Poiché 1 è il valore minimo tra le 6 facce di un

dado, il numero di combinazioni che soddisfano la condizione che il minimo fra i due numeri ottenuti sia 1

non è altro che il numero di coppie che presentano 1 almeno una volta.

Enumeriamo queste combinazioni: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1).

Di consegeunza, essendo 11 le coppie che soddisfano la condizione richiesta, la probabilità richiesta è pari

al rapporto tra casi favorevoli e casi totali, ovvero 11/36.

Pertanto la risposta corretta è [C].

6. Quale delle seguenti funzioni, reali di variabile reale, è periodica?

   

  

  

x x x 1

cos x

1 cos e cos e

cos 1 e

[A] [B] [C] [D]

e 1

R i s p o

s t

a    

 

f x f x T

Una funzione è periodica di periodo T se .

Nel caso in esame si ha che:

   

 

 cos x cos x 2  

x

e se T 0

 

x x T

e non è periodica in quanto e  

x

e se T 0

 

   

cos x cos x 2 cos x

Di conseguenza , pertanto la risposta corretta è la [C] ovvero la funzione è

e 1 e 1 e 1

2

periodica con lo stesso periodo con cui è periodica la funzione coseno ovvero .

Per dimostrare che la frase “se un poligono è inscrivibile o circoscrivibile

7. a un cerchio, allora ha centro

di simmetria” è FALSA, dobbiamo:

[A] trovare due poligoni, il primo inscrivibile ma senza centro di simmetria, il secondo circoscrivibile ma

senza centro di simmetria

[B] dimostrare che, se un poligono è inscrivibile o circoscrivibile, allora non ha centro di simmetria

[C] dimostrare che, se un poligono non è né inscrivibile né circoscrivibile, allora non ha centro di

simmetria

[D] trovare un poligono inscrivibile ma senza centro di simmetria, oppure un poligono circoscrivibile ma

senza centro di simmetria

R i s p o

s t

a

Per dimostrare la falsità dell’affermazione basta trovare un poligono inscrivibile senza centro di simmetria

o un poligono circoscrivibile senza centro di simmetria: .

Pertanto la risposta corretta è [D]. Matematicamente.it

..……..TFA Matematica e Fisica………………………………………A049 2014/15……………………………………………………………..17…………

8. Kolmogorov formulò la definizione assiomatica del concetto di probabilità nel:

[A] 1853 [B] 1893 [C] 1933 [D] 1963

R i s p o

s t

a

Nel 1933 Kolmogorov introdusse i 3 assiomi sulla probabilità.  

P a

1. Ad ogni evento casuale a corrisponde un certo numero , chiamato "probabilità di a", che

 

 

0 P a 1

soddisfa la disuguaglianza .

2. La probabilità dell'evento certo è 1.

3. La probabilità dell'unione di un numero finito o infinito numerabile di eventi mutuamente esclusivi

è pari alla somma delle probabilità di questi eventi.

Pertanto la risposta corretta è [C].

9. La media aritmetica dei raggi di 100 dischetti, non tutti uguali, è R. La media aritmetica delle superfici

dei dischetti:  

2 2

[A] è uguale di [B] è minore di

R R

 

2 2

[C] è maggiore di [D] può essere sia maggiore, sia minore, sia uguale a

R R

R i s p o

s t

a 100 100

1

1   

 2

Si sa che , mentre la media aritmetica delle superfici è: .

R

R R i

i 100

100  

i 1 i 1

R R

 1 2

R

Studiamo il caso con due dischetti per semplicità, si ha: e la media delle superfici è

2

   

 

      

2

2 2

R R R R 2 R R

    

      

2 2 2

 

1 2 1 2 1 2 2 R R R R R R R

1 2 1 2

2 2

 

   

 

2 2

   

R R R R

   

    

   

   

2 2

1 2 1 2

R R R R

1 2

   

   

2 2

   

     

  2  2

   

2 2

R R R R R R

    

  

 

   

 

2 2

1 2 1 2 1 2

Quindi si ha in quanto è un addendo positivo

R R  

   

  2

2 2  

 

essendo per ipotesi i raggi non tutti uguali.

Analogo ragionamento si può fare considerando tutti e 100 dischetti.

Pertanto la risposta corretta è [C].

10. Congiungendo i punti medi dei lati di un qualunque quadrilatero si ottiene:

[A] un parallelogramma ma non necessariamente un rettangolo

[B] un rettangolo

[C] un quadrangolo in generale senza lati paralleli

[D] un trapezio ma non necessariamente un parallelogramma

R i s p o

s t

a

Consideriamo la figura a fianco. Nel triangolo ADC il segmento PO

congiunge i punti medi dei lati AD e DC ed è pertanto parallelo al terzo

1

PO || AC

, PO AC

lato AC ed uguale alla sua metà, ovvero .

2

1

MN || AC

, MN AC

Analogamente per il triangolo ABC si ha . Di

2

conseguenza per la proprietà transitiva ovvero il quadrilatero PONM è un

PO || MN , PO MN

parallelogramma.

Pertanto la risposta corretta è [A]. Matematicamente.it

..……..TFA Matematica e Fisica………………………………………A049 2014/15……………………………………………………………..18…………

11. In un circuito elettrico un collegamento in parallelo è realizzato con due elementi, in modo che la

corrente passa per il circuito se passa per almeno uno dei due elementi. Se la probabilità di funzionamento

di uno dei due elementi è 80% e quella dell'altro è 90%, la probabilità che la corrente circoli è:

[A] 98% [B] 90% [C] 80% [D] 72%

R i s p o

s t

a

La corrente circola se:

 circola nel primo filo e non nel secondo

 circola nel secondo e non nel primo

 circola in entrambi       

Quindi la probabilità che la corrente circoli è pari a .

0

.

8 0

.

1 0

.

9 0

.

2 0

.

8 0

.

9 0

,

98 98

%

Pertanto la risposta corretta è [A]. 2

12. Una regione è formata da due province H e K. In H il terreno pianeggiante è di 1000 km , che

2

corrispondono al 10% della superficie della provincia; in K il terreno pianeggiante è di 2000 km , che

corrispondono al 40% della superficie della provincia. La percentuale della superficie pianeggiante in tutta

la regione è:

[A] 20% [B] 25% [C] 30% [D] 50%

R i s p o

s t

a 2

Visto che il terreno pianeggiante di 1000 km corrisponde al 10% della superficie della provincia H, tale

2

provincia ha una superficie totale pari al 10000 km .

2

Visto che il terreno pianeggiante di 2000 km corrisponde al 20% della superficie della provincia K, tale

2

provincia ha una superficie totale pari al 5000 km . 2 2

In totale la regione ha una superficie di 15000 km di cui 3000 km pianeggianti, ovvero il 20% della

superficie totale.

Pertanto la risposta corretta è [A].

13. Quale delle seguenti uguaglianze è vera per tutti gli x per cui è definito il primo membro

dell’uguaglianza stessa?

  

   

  

sin arcsin x x arcsin sin x 2 x

[A] [B]

  

   

  

arcsin sin x x sin arcsin x 2 x

[C] [D]

R i s p o

s t

a

Bisogna porre attenzione all’insieme di definizione delle funzioni. La risposta [A] è quella corretta in

    

arcsin x 1 x 1

quanto il primo membro ha senso se ha senso la funzione ovvero se e poiché la

  

     

, l’uguaglianza sin arcsin x x

1 x 1 1 x 1

funzione seno ha senso se e solo se è vera per ogni .

   

  D’altronde,

sin x 2 sin x .

Le risposte [B] e [C] sono da scartare in quanto coincidono visto che

  

  

  

arcsin sin x 1 sin x 1

considerando ad esempio la risposta [C], il primo membro ha senso se

  

  

   

, ma l’uguaglianza arcsin sin x x

2

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