Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
•
Indice
A049 2014/15 ........... 5
Svolgimento ............ 15
A048 2014/15 .......... 34
Svolgimento ............ 44
A047 2014/15 .......... 64
Svolgimento ............ 73
A049 2011/12 .......... 90
Svolgimento ............ 99
A048 2011/12 ........ 119
Svolgimento .......... 129
A047 2011/12 ........ 155
Svolgimento .......... 165
•
Autore
Nicola De Rosa
Informatico di professione ha sempre coltivato grande passione per la matematica. Ogni anno svolge le prove di matematica per la maturità scientifica, le prove vengono pubblicate già nel primo pomeriggio su Matematicamente.it
..……..TFA Matematica e Fisica………………………………………A049 2014/15……………………………………………………………..14…………
P
A G I
N
A D
E L
L
E R I
S
P
O
S
T
E
Stampare la pagina e crociare le risposte da verificare
1 A B C D 31 A B C D
2 A B C D 32 A B C D
3 A B C D 33 A B C D
4 A B C D 34 A B C D
5 A B C D 35 A B C D
6 A B C D 36 A B C D
7 A B C D 37 A B C D
8 A B C D 38 A B C D
9 A B C D 39 A B C D
10 A B C D 40 A B C D
11 A B C D 41 A B C D
12 A B C D 42 A B C D
13 A B C D 43 A B C D
14 A B C D 44 A B C D
15 A B C D 45 A B C D
16 A B C D 46 A B C D
17 A B C D 47 A B C D
18 A B C D 48 A B C D
19 A B C D 49 A B C D
20 A B C D 50 A B C D
21 A B C D 51 A B C D
22 A B C D 52 A B C D
23 A B C D 53 A B C D
24 A B C D 54 A B C D
25 A B C D 55 A B C D
26 A B C D 56 A B C D
27 A B C D 57 A B C D
28 A B C D 58 A B C D
29 A B C D 59 A B C D
30 A B C D 60 A B C D
Matematicamente.it
..……..TFA Matematica e Fisica………………………………………A049 2014/15……………………………………………………………..15…………
Svolgimento −y/3).
1. In un piano cartesiano si consideri la trasformazione che ad ogni punto (x, y) associa il punto (3x,
Applicando tale trasformazione, l'area di un poligono:
[A] resta invariata [B] aumenta [C] diminuisce
[D] può restare invariata, aumentare o diminuire a seconda di quale sia il poligono
R i s p o
s t
a
x ' 3 x
La trasformazione geometrica è , si tratta di una dilatazione.
y ' y 3
x ' 3 0 x
Possiamo anche scriverla nel modo seguente: .
y ' 0 1 3 y
Il rapporto tra le aree del poligono trasformato e quello di partenza è pari al valore assoluto del
3 0
3 0
di conseguenza l’area resta
det 1
determinante della matrice di affinità ovvero
0 1 3
0 1 3
invariata.
In generale, se il poligono P viene trasformato nel poligono P’ allora vale la relazione
Pertanto la risposta corretta è [A].
2. Si considerino: l'insieme dei numeri razionali, l'insieme dei numeri irrazionali, l'insieme dei numeri
reali. Di questi tre insiemi si può dire che:
[A] uno solo è non numerabile [B] hanno, a due a due, cardinalità diverse
[C] hanno tutti la stessa cardinalità [D] uno solo è numerabile
R i s p o
s t
a
L’insieme Q dei numeri razionali è numerabile ovvero esiste
una corrispondenza biunivoca tra i razionali e i numeri naturali.
Questo risultato, è stato dimostrato da Georg Cantor. Il suo
ragionamento si basa sul diagramma a fianco: possiamo infatti
ordinare i razionali positivi, seguendo le frecce, in modo che ad
ognuno di essi sia assegnato un numero naturale; anzi, ogni numero
sarà contato infinite volte (perché ognuno ha un'infinità di
rappresentazioni diverse), ma questo non può rendere
l'insieme Q più grande. Lo stesso argomento può essere usato per
dimostrare che i razionali negativi sono numerabili. Poiché l'unione
di due insiemi numerabili è ancora numerabile, Q risulta essere
numerabile.
dei numeri anche l’insieme
L’insieme irrazionali è non numerabile,
dei numeri reali è non numerabile e pertanto gran parte dei numeri reali sono irrazionali.
Pertanto la risposta corretta è [D]. nell’intervallo [−1; 1] è:
2
3. y x
Il valor medio della funzione
[A] 0 [B] 1\3 [C] 1\2 [D] 2\3
R i s p o
s t
a
Il valore richiesto è pari a: 1
1 1 1 3
1 1 x 1
2 2 2
V x dx 2 x dx x dx
M
2 2 3 3
1 0 0 0
1 1
2 2
x dx 2 x dx
in cui si è sfruttata la parità della funzione integranda per dire che .
1 0
Pertanto la risposta corretta è [B]. Matematicamente.it
..……..TFA Matematica e Fisica………………………………………A049 2014/15……………………………………………………………..16…………
In un triangolo rettangolo, la mediana e l’altezza relative all’ipotenusa misurano rispettivamente 50 cm
4.
e 48 cm. L’area del triangolo è:
2 2 2 2
[A] 4800 cm [B] 2400 cm [C] 1200 cm [D] 600 cm
R i s p o
s t
a è inscrivibile in una semicirconferenza con diametro pari all’ipotenusa, la
Poiché un triangolo rettangolo
mediana relativa all’ipotenusa raggio del triangolo inscritto, pertanto l’ipotenusa è il doppio della
è anche
100 48
mediana. Nel caso in esame, quindi, l’ipotenusa è pari a 100 cm e l’area è pari a 2
A 2400 cm .
2
Pertanto la risposta corretta è [B].
5. Si lanciano due dadi equi. La probabilità che il minimo fra i due numeri ottenuti sia 1 è:
[A] 1/6 [B] 1/3 [C] 11/36 [D] 7/36
R i s p o
s t
a
Lanciando due dadi si hanno 36 possibili coppie di valori. Poiché 1 è il valore minimo tra le 6 facce di un
dado, il numero di combinazioni che soddisfano la condizione che il minimo fra i due numeri ottenuti sia 1
non è altro che il numero di coppie che presentano 1 almeno una volta.
Enumeriamo queste combinazioni: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1).
Di consegeunza, essendo 11 le coppie che soddisfano la condizione richiesta, la probabilità richiesta è pari
al rapporto tra casi favorevoli e casi totali, ovvero 11/36.
Pertanto la risposta corretta è [C].
6. Quale delle seguenti funzioni, reali di variabile reale, è periodica?
x x x 1
cos x
1 cos e cos e
cos 1 e
[A] [B] [C] [D]
e 1
R i s p o
s t
a
f x f x T
Una funzione è periodica di periodo T se .
Nel caso in esame si ha che:
cos x cos x 2
x
e se T 0
x x T
e non è periodica in quanto e
x
e se T 0
cos x cos x 2 cos x
Di conseguenza , pertanto la risposta corretta è la [C] ovvero la funzione è
e 1 e 1 e 1
2
periodica con lo stesso periodo con cui è periodica la funzione coseno ovvero .
Per dimostrare che la frase “se un poligono è inscrivibile o circoscrivibile
7. a un cerchio, allora ha centro
di simmetria” è FALSA, dobbiamo:
[A] trovare due poligoni, il primo inscrivibile ma senza centro di simmetria, il secondo circoscrivibile ma
senza centro di simmetria
[B] dimostrare che, se un poligono è inscrivibile o circoscrivibile, allora non ha centro di simmetria
[C] dimostrare che, se un poligono non è né inscrivibile né circoscrivibile, allora non ha centro di
simmetria
[D] trovare un poligono inscrivibile ma senza centro di simmetria, oppure un poligono circoscrivibile ma
senza centro di simmetria
R i s p o
s t
a
Per dimostrare la falsità dell’affermazione basta trovare un poligono inscrivibile senza centro di simmetria
o un poligono circoscrivibile senza centro di simmetria: .
Pertanto la risposta corretta è [D]. Matematicamente.it
..……..TFA Matematica e Fisica………………………………………A049 2014/15……………………………………………………………..17…………
8. Kolmogorov formulò la definizione assiomatica del concetto di probabilità nel:
[A] 1853 [B] 1893 [C] 1933 [D] 1963
R i s p o
s t
a
Nel 1933 Kolmogorov introdusse i 3 assiomi sulla probabilità.
P a
1. Ad ogni evento casuale a corrisponde un certo numero , chiamato "probabilità di a", che
0 P a 1
soddisfa la disuguaglianza .
2. La probabilità dell'evento certo è 1.
3. La probabilità dell'unione di un numero finito o infinito numerabile di eventi mutuamente esclusivi
è pari alla somma delle probabilità di questi eventi.
Pertanto la risposta corretta è [C].
9. La media aritmetica dei raggi di 100 dischetti, non tutti uguali, è R. La media aritmetica delle superfici
dei dischetti:
2 2
[A] è uguale di [B] è minore di
R R
2 2
[C] è maggiore di [D] può essere sia maggiore, sia minore, sia uguale a
R R
R i s p o
s t
a 100 100
1
1
2
Si sa che , mentre la media aritmetica delle superfici è: .
R
R R i
i 100
100
i 1 i 1
R R
1 2
R
Studiamo il caso con due dischetti per semplicità, si ha: e la media delle superfici è
2
2
2 2
R R R R 2 R R
2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 R R R R R R R
1 2 1 2
2 2
2 2
R R R R
2 2
1 2 1 2
R R R R
1 2
2 2
2 2
2 2
R R R R R R
2 2
1 2 1 2 1 2
Quindi si ha in quanto è un addendo positivo
R R
2
2 2
essendo per ipotesi i raggi non tutti uguali.
Analogo ragionamento si può fare considerando tutti e 100 dischetti.
Pertanto la risposta corretta è [C].
10. Congiungendo i punti medi dei lati di un qualunque quadrilatero si ottiene:
[A] un parallelogramma ma non necessariamente un rettangolo
[B] un rettangolo
[C] un quadrangolo in generale senza lati paralleli
[D] un trapezio ma non necessariamente un parallelogramma
R i s p o
s t
a
Consideriamo la figura a fianco. Nel triangolo ADC il segmento PO
congiunge i punti medi dei lati AD e DC ed è pertanto parallelo al terzo
1
PO || AC
, PO AC
lato AC ed uguale alla sua metà, ovvero .
2
1
MN || AC
, MN AC
Analogamente per il triangolo ABC si ha . Di
2
conseguenza per la proprietà transitiva ovvero il quadrilatero PONM è un
PO || MN , PO MN
parallelogramma.
Pertanto la risposta corretta è [A]. Matematicamente.it
..……..TFA Matematica e Fisica………………………………………A049 2014/15……………………………………………………………..18…………
11. In un circuito elettrico un collegamento in parallelo è realizzato con due elementi, in modo che la
corrente passa per il circuito se passa per almeno uno dei due elementi. Se la probabilità di funzionamento
di uno dei due elementi è 80% e quella dell'altro è 90%, la probabilità che la corrente circoli è:
[A] 98% [B] 90% [C] 80% [D] 72%
R i s p o
s t
a
La corrente circola se:
circola nel primo filo e non nel secondo
circola nel secondo e non nel primo
circola in entrambi
Quindi la probabilità che la corrente circoli è pari a .
0
.
8 0
.
1 0
.
9 0
.
2 0
.
8 0
.
9 0
,
98 98
%
Pertanto la risposta corretta è [A]. 2
12. Una regione è formata da due province H e K. In H il terreno pianeggiante è di 1000 km , che
2
corrispondono al 10% della superficie della provincia; in K il terreno pianeggiante è di 2000 km , che
corrispondono al 40% della superficie della provincia. La percentuale della superficie pianeggiante in tutta
la regione è:
[A] 20% [B] 25% [C] 30% [D] 50%
R i s p o
s t
a 2
Visto che il terreno pianeggiante di 1000 km corrisponde al 10% della superficie della provincia H, tale
2
provincia ha una superficie totale pari al 10000 km .
2
Visto che il terreno pianeggiante di 2000 km corrisponde al 20% della superficie della provincia K, tale
2
provincia ha una superficie totale pari al 5000 km . 2 2
In totale la regione ha una superficie di 15000 km di cui 3000 km pianeggianti, ovvero il 20% della
superficie totale.
Pertanto la risposta corretta è [A].
13. Quale delle seguenti uguaglianze è vera per tutti gli x per cui è definito il primo membro
dell’uguaglianza stessa?
sin arcsin x x arcsin sin x 2 x
[A] [B]
arcsin sin x x sin arcsin x 2 x
[C] [D]
R i s p o
s t
a
Bisogna porre attenzione all’insieme di definizione delle funzioni. La risposta [A] è quella corretta in
arcsin x 1 x 1
quanto il primo membro ha senso se ha senso la funzione ovvero se e poiché la
, l’uguaglianza sin arcsin x x
1 x 1 1 x 1
funzione seno ha senso se e solo se è vera per ogni .
D’altronde,
sin x 2 sin x .
Le risposte [B] e [C] sono da scartare in quanto coincidono visto che
arcsin sin x 1 sin x 1
considerando ad esempio la risposta [C], il primo membro ha senso se
, ma l’uguaglianza arcsin sin x x
2