Giornata di Studio Analisi Non Standard 3 (ebook)

Analisi non standard nelle scuole superiori 3

Presentazione

Il 20 novembre 2011 si teneva a Venezia nei locali del Convitto

“Marco Foscarini” una giornata di studio sull'uso didattico dell'Analisi

Non Standard nelle scuole superiori che, nata nell'ambito della lista

Cabrinews, voleva mettere a confronto alcune esperienze di

insegnamento dell'analisi nelle scuole superiori che seguono in

maggiore o minore misura l'approccio NSA.

La cosa accese un notevole interesse per l'argomento e nel 2012 si

tenne un secondo convegno sullo stesso tema a Modena. Ora la

giornata di studio torna a Venezia per la sua terza edizione.

Obiettivo è sempre quello di far conoscere questo approccio

all'analisi matematica che Kurt Gődel, da molti considerato il massimo

matematico del XX secolo, aveva sin dal 1973 indicato come l'analisi

del futuro.

La profezia di Gődel non si è ancora avverata, ma appare

particolarmente valida sotto l'aspetto didattico; la NSA infatti consente

un approccio nuovo rispetto a quello standard alla maniera di Cauchy

e Weierstrass che impone il lungo e macchinoso preambolo dei limiti

per arrivare a definire le due operazioni fondamentali dell'analisi, le

derivate e gli integrali.

Questa terza giornata è stata dedicata in particolar modo

all'integrale, operazione basilare anche in Fisica e Ingegneria, che nei

programmi liceali è relegata all'ultimo posto e spesso ridotta a pochi

“cenni” o addirittura “tagliata” per motivi di tempo.

L'organizzazione della giornata è stata curata dagli studenti Alvise

Dolcetta e Giacomo Zamprogno (3B), Oscar Cipolato (3A) che ha fatto

da guida al Museo Traversi, Maria Vittoria Buiatti e Pietro Haas (4CE),

Lucia Albano (2AO) ai quali va il mio più sentito ringraziamento.

4 III Giornata di studio

. 40 anni fa

This state of affairs should prevent a rather common misinterpretation of

Non-standard Analysis, namely the idea that it is some kind of extravagance or

fad of mathematical logicians. Nothing could be farther from the truth. Rather

there are good reasons to believe that Non-standard Analysis in some version or

other, will be the analysis of the future.

Questo stato di cose dovrebbe metterci al riparo dal un

fraintendimento piuttosto comune dell'analisi non-standard, e cioè

l'idea che si tratti di una qualche sorta di stravaganza o mania dei

logici-matematici. Nulla potrebbe essere più lontano dalla verità.

Piuttosto ci sono buone ragioni per credere che in una forma o in

un'altra la NSA sarà l'analisi del futuro.

Kurt G ő

del, Princeton, marzo 1973

Analisi non standard nelle scuole superiori 5

La formula di sostituzione negli integrali

di Giorgio Goldoni

1 INTRODUZIONE

Nell'analisi con gli infinitesimi è possibile restituire al simbolo di

integrale la dignità di espressione formata da una somma infinita di

prodotti infinitesimi e non si è costretti a doverlo considerare, come

nell'analisi classica, una notazione monolitica in cui le varie parti sono

singolarmente prive di significato e sopravvivono solo come fossili

dell'era infinitesimale. Come esempio, intendo mostrare come la

formula di sostituzione degli integrali diventi il risultato immediato di

un semplice passaggio algebrico, che può essere visualizzato in modo

suggestivo mediante l'uso di microscopi non standard.

2 DEFINIZIONI "ANFIBIE" NELL'ANALISI NON STANDARD

Da oltre vent'anni mi sono convertito all'insegnamento del nuovo

calcolo col metodo degli infinitesimi secondo Robinson, convinto della

superiorità didattica e del fascino dei metodi infinitesimali. In questo

percorso mi sono progressivamente allontanato persino dalle

trattazioni ormai classiche dell'analisi non standard. Molte trattazioni

dell'analisi non standard sono infatti "anfibie", nel senso che, pur

usando gli infinitesimi e gli infiniti, continuano a seguire

sostanzialmente lo stesso percorso dell'analisi classica e a imitarne

persino le definizioni, invece di riscoprire il percorso più diretto e

naturale del vecchio calcolo infinitesimale. Per esempio, grazie agli

infinitesimi è possibile definire il differenziale di una funzione continua

nel punto x e relativo all'incremento infinitesimo non nullo dx

f

secondo l'antico e semplice significato di incremento:

  

df ( x ) f ( x dx ) f ( x ) .

6 III Giornata di studio

Nel caso poi in cui sia anche derivabile in x, allora, essendo

f

df f dx)−f x

(x) (x+ ( ) ' ,

= ≃f (x )

dx dx

si ha che

df (x) '(x ε ,

=f )+

dx

da cui

df ' dx dx .

(x )=f (x) +ε 

df ( x ) f ( x ) dx

Dunque, e differiscono per un infinitesimo di ordine

superiore a , fatto che indico con la scrittura 1

dx

df ' dx .

(x )∼f (x)

Nella maggior parte dei testi di analisi non standard il differenziale

viene invece definito esattamente come

df ' dx .

(x )=f (x)

Si tratta, a mio parere, di una scelta assurda, che trova una

giustificazione unicamente nell'abitudine. La definizione è infatti la

stessa dell'analisi standard, dove, in quel caso, è però un numero

reale e dove la mostruosa definizione di differenziale come funzione

lineare dell'incremento è giustificata esclusivamente dal voler evitare

l'uso degli infinitesimi. Mi piace paragonare il mantenimento delle

x ~ y

1 Più in generale indico con la scrittura il fatto che i due numeri iperreali

x e y hanno un rapporto infinitamente vicino a 1 o, che è la stessa cosa, che

la loro differenza è infinitesima rapportata a ciascuno di essi. Ho deciso da

anni di indicare questo fatto affermando che i due numeri sono indistinguibili.

In particolare, due infinitesimi sono indistinguibili se e solo se differiscono per

un infinitesimo di ordine superiore. Due finiti non infinitesimi sono invece

indistinguibili se e solo se sono infinitamente vicini e due infiniti sono

indistinguibili se e solo se differiscono per un numero finito o per un infinito di

ordine inferiore.

Analisi non standard nelle scuole superiori 7

definizioni standard come quella di differenziale, pur avendo a

disposizione gli infinitesimi, alla sfera celeste che Copernico e Keplero

hanno continuato a invocare anche dopo aver affermato che non sono

le stelle a ruotare ma la terra, e quindi dopo che non c'era più alcuna

necessità di un mezzo meccanico che tenesse saldamente ancorate le

stelle.

Riguardo alla definizione di integrale, trovo insoddisfacente il

formalismo utilizzato per la sua definizione, che, a mio avviso, non

rende sufficientemente giustizia alla notazione di Leibniz.

f :[a , b]→ℝ

Data una funzione limitata , per ogni suddivisione

[ a

, b ]

dell'intervallo in un numero (ipernaturale) infinito N di parti

     

a x x x ... x b

infinitesime mediante i punti di suddivisione 0 1 2 N

(ottenuta come estensione iperreale di una suddivisione standard) si



N 1

    

f ( x ) x x x x

considera la somma , dove . Se accade che tale



i i i i 1 i

0

somma sia finita e abbia sempre la stessa parte standard,

indipendentemente dalla suddivisione, (cosa che accade ad esempio

per le funzioni continue) si definisce allora

b  



N 1



  

 

f ( x ) dx st f ( x ) x .

i i

 

 

0

a

Trovo assai infelice questa definizione che, proprio come nell'analisi

standard, riduce il simbolo di integrale a un oggetto monolitico in cui

le varie parti non hanno un significato proprio. Soprattutto, non



f ( x ) dx

consentendo di considerare un prodotto e una somma, come

invece accadeva nel calcolo di Leibniz, impedisce quell'uso

estremamente efficace dell'integrale a cui fisici e ingegneri non hanno

in realtà mai rinunciato.

8 III Giornata di studio

3 PROPOSTA PER RESTITUIRE AL SIMBOLO DI INTEGRALE

IL SIGNIFICATO DI SOMMA E PER POTERLO MANIPOLARE

ALLA LEIBNIZ

Un vecchio amico d'infanzia, incontrato per strada dopo anni,

saputo che insegnavo matematica mi disse: «Allora insegnerai anche

le derivate e gli integrali, vero? Mi ricordo dal liceo che le derivate

avevano a che fare con gli esponenti e gli integrali con le aree... ».

Questa frase, pronunciata con leggerezza nel breve tempo di un

saluto da una persona di indubbia intelligenza, mi colpì

profondamente. Soprattutto, mi convinse che, insieme alle definizioni

strettamente matematiche, era giusto dare agli studenti anche quelle

pseudo definizioni il cui scopo è esclusivamente evocativo e che sono

forse le ultime a essere dimenticate da chi non continua gli studi

scientifici e che rimangono comunque una guida importante per

l'intuizione per chi li prosegue. L'associazione integrale/area era stata

certamente meno infelice di quella derivata/esponente, che si riferiva

senz'altro a ricordi confusi di derivate di polinomi, ma, in

quell'occasione, mi trovai a riflettere sul fatto che anche

l'associazione integrale/area non rendeva giustizia all'idea di

integrale che dovrebbe rimanere nella mente anche dopo che si sono

irrimediabilmente dimenticate tutte le regole di calcolo. Dovendo

riassumere in poche parole l'idea fondamentale che sta dietro ogni

operazione di integrazione mi verrebbe da dire una frase del tipo:

"L'idea fondamentale del calcolo integrale è quella di esprimere

l'intero come somma di infinite parti infinitamente piccole. Ogni parte

infinitesima racchiude però la stessa difficoltà di calcolo dell'intero e il

passo decisivo è quello di sostituire ogni parte infinitesima con una

indistinguibile più semplice, in modo da riuscire a portare a termine il

calcolo ottenendo un risultato infinitamente vicino a quello esatto."

Appassionandomi al nuovo calcolo con gli infinitesimi ho pensato

che, con qualche minimo aggiustamento, avrei potuto trasformare

questa pseudo-definizione in una vera definizione. I testi di analisi

non standard mi hanno però deluso per via di quella definizione di

integrale di una funzione come parte standard di una somma infinita

Analisi non standard nelle scuole superiori 9

di infinitesimi che, come ho già osservato, riduce il simbolo di

integrale a un oggetto monolitico, proprio come nell'analisi classica.

Dopo aver cercato per diverso tempo una soluzione a questo

problema, sono arrivato alla seguente sistemazione, che propongo da

vent'anni ai miei studenti. N

 

Indico la somma di un numero infinito N di infinitesimi con

• i

1

N

 



invece che con e lo chiamo già integrale degli ,

i

k

1

riservando il simbolo di sommatoria al caso in cui gli addendi di

indice finito siano non infinitesimi, come nel caso delle serie.

Ricavo (o più semplicemente enuncio) il teorema che afferma

• N N

∫ ∫

  ε δ

~

che se allora si ha che . In particolare , se

2

∼

i i i i

1 1

N N N

∫ ∫ ∫

ε ε δ

è finito, allora .

≃

i i i

1 1 1 [ a

, b ]

per ogni suddivisione dell'intervallo in infinite parti

•      

a x x x ... x b

infinitesime mediante i punti , indico

0 1 2 N



dx x x

con la differenza infinitesima , che chiamo



i i 1 i



x

differenziale, riservando il simbolo al caso di differenze

i

standard o comunque non infinitesime.

Enuncio il teorema che afferma che per una funzione continua

• f :[a , b]→ℝ [ a

, b ]

, per ogni suddivisione dell'intervallo in

infinite parti infinitesime mediante i punti



N 1



     

a x x x ... x b f ( x ) dx

, si ha che l'integrale ha

0 1 2 N i i

0

sempre la stessa parte standard.

2 Vedi nota (1)

10 III Giornata di studio

Quando mi riferisco alle parti standard, convengo di scrivere

• a=b a≃b

invece di . 

N 1

 f ( x ) dx

Essendo la parte standard di indipendente da N e

• i i

0

dalla particolare suddivisione, ma dipendendo solo da e

f

b

 f ( x ) dx

[ a

, b ]

dall'intervallo , uso la scrittura neutra , la quale

a



N 1

 f ( x ) dx

eredita tutte le proprietà di indicando appunto una

i i

0

qualsiasi di queste somme che, ai fini della parte standard,

risultano tra loro equivalenti.

4 UN ESEMPIO: LA FORMULA DI SOSTITUZIONE NEGLI

INTEGRALI

Come esempio dell'uso di questo formalismo voglio illustrare il

modo in cui propongo in classe la formula di sostituzione per gli

integrali, alla quale preferisco arrivare in modo diretto, dandone

anche una suggestiva immagine geometrica, invece di dedurla dalla

formula della derivata di una composizione e dal teorema

fondamentale del calcolo integrale.

Comincio di solito con l'affrontare un caso particolarmente

