Fisica Moderna (ebook)

22 UNITÀ DIDATTICA 2. LA RELATIVITÀ GENERALE

geometriche sono tali da non riprodurre i risultati

della geometria euclidea.

2 0 0 1 0 2 0 3 0

s =g x x + g x x + g x x + g x x +

10 20 30

00 Quello che ci possiamo aspettare è che i valori

0 1 1 1 2 1 3 1

g x x + g x x + g x x + g x x +

01 11 21 31 assunti dal tensore metrico dipendano dalla tra-

0 2 1 2 2 2 3 2

g x x + g x x + g x x + g x x + sformazione. Nel caso delle trasformazioni di Lo-

02 12 22 32

0 3 1 3 2 3 3 3

g x x + g x x + g x x + g x x rentz il tensore metrico è simmetrico e sulla dia-

03 13 23 33 (2.6) gonale ci sono i valori Ma se si

−1, −1, −1).

(+1,

Confrontando con l’espressione della lunghez- passa a descrivere la fisica in un sistema di riferi-

za dell’invariante di Lorentz 2 2 −

s = t mento non inerziale le trasformazioni non saranno

2 2 2 2

2 2 2 0 1 2 3 piú quelle di Lorentz e i valori del tensore metrico

−

(x + y + z ) = (x ) (x ) + (x ) + (x ) cambiano.

si vede subito che ogni volta che 6

g = 0 µ = ν

µν Naturalmente nel caso inerziale la trasformazio-

e in caso contrario vale se e se

−1 6

µ = ν = 0 +1 ne assume sempre la stessa forma, perché il moto

µ = ν = 0. relativo tra i sistemi di riferimento è unico: cam-

Il tensore si chiama per-

g tensore metrico

µν biano solo i valori, non la forma della trasforma-

ché serve per calcolare la lunghezza dei segmenti zione. Nel caso invece dei sistemi di riferimento

che hanno un estremo nell’origine del sistema di non inerziali il moto relativo potrebbe essere qua-

riferimento e l’altro nel punto scelto. I valori di lunque e quindi non è possibile scrivere una tra-

dipendono, naturalmente, dalle caratteristiche

g µν sformazione generica come quella di Lorentz che

del sistema di riferimento scelto per esprimere le valga per tutti i sistemi. Ogni moto avrà la sua

coordinate e dalle proprietà dello spazio. Ce ne propria trasformazione. Se ne potrebbe trarre la

possiamo rendere conto facilmente considerando conseguenza che quindi non si potrebbe imparare

un sistema di riferimento cartesiano bidimensio- niente di realmente nuovo da questo studio, ma in

nale, in cui il punto individua un

0 1

(x, y) = (x , x ) realtà non è cosí.

punto che dista dall’origine una quantità pari a

r

2 2 cosicché in questo sistema di

2 0 0

r = (x ) + (x )

riferimento e Se

g = g = +1 g = g = 0.

00 11 01 10 2.2 Il principio di equivalenza

invece scegliamo di rappresentare il punto in coor-

dinate cartesiane abbiamo che le coordinate sono Già sappiamo che quando si descrive il moto di

dove

00 01

(r, θ) = (x , x ) qualcosa osservandolo da un sistema di riferimento

non inerziale, nelle equazioni del moto compaiono

( 0 0

x = x = r cos θ = x cos x

0 0 1 (2.7) dei termini che hanno la stessa forma matematica

0 0

y = x = r sin θ = x sin x . di una forza e per questo diciamo che nei sistemi

1 0 1

In questo caso la lunghezza quadra del vettore è di riferimento non inerziali si producono le forze

2

semplicemente , quindi sem-

00 Queste forze sono dette apparenti pro-

2

r = (x ) g = 0 apparenti.

µν

pre tranne che per per il quale vale prio perché non esistono in quanto tali: non sono

µ = ν = 0

In entrambi i casi il valore numerico della forze nel senso che non sono il prodotto di un’in-

g = 1.

00

distanza sarebbe lo stesso, ma in uno spazio terazione. Sono solo matematicamente equivalenti

cur-

i valori di sono tali da cambiare la distanza a forze.

g

vo µν

tra due punti rispetto a quella che si avrebbe in Un esempio ben noto è la Se

forza centrifuga.

uno spazio piatto. Se calcoliamo la distanza tra mettiamo in rotazione con le mani un sasso legato

due punti su un piano otteniamo un valore che è a uno spago, sulle dita percepiamo una forza che

diverso da quello che si otterrebbe se questo piano tira verso il sasso. Molti ritengono erroneamente

fosse sulla superficie curva della Terra. La che questa forza sia la forza centrifuga. In realeà

adagiato

distanza euclidea tra i punti è la corda che unisce non è altro che la tensione dello spago che si ma-

i due punti adagiati su una sfera, mentre la di- nifesta per effetto della terza legge di Newton dal

stanza effettiva sarebbe la lunghezza dell’arco di momento che all’altro capo è presente una forza

circonferenza che li unisce. In generale per diretta cioè verso la mano. In assenza

spa- centripeta,

s’intende uno spazio in cui le relazioni

zio curvo © (2013–2014) Giovanni Organtini – Fisica Sperimentale

2.2. IL PRINCIPIO DI EQUIVALENZA 23

Per far in modo che l’accelerazione vista nel si-

dello spago il sasso si muoverebbe di moto retti- stema di riferimento del sasso sia nulla dobbiamo

lineo allontanandosi dalla mano. Trascinando con sommare a questa una forza pari a

sé lo spago, anche i punti di questo si dovrebbero

muovere di moto rettilineo. Ma quando lo spago si 2

v

tende, le dita della mano lo trattengono applican- (2.10)

F = m r̂ ,

do una forza diretta verso la mano stessa. Il punto r

che si ottiene moltiplicando l’accelerazione del si-

di contatto tra la mano e lo spago non si muove stema di riferimento per la massa e cambiando di

perché si desta una forza di reazione diretta verso segno. Da quanto sopra se ne deduce che scrive-

l’esterno che annulla l’effetto della forza applicata re le trasformazioni che permettono di passare da

dalla mano. La forza di reazione è il risultato della un sistema di riferimento a un altro in moto ac-

somma delle forze (di tipo elettromagnetico) che celerato rispetto al primo equivale a trattare un

si esercitano tra le particelle di cui è composto lo problema in cui sia localmente presente una for-

spago e che impediscono a questo di dissolversi. za. E non una forza qualsiasi, ma una forza di ti-

Di conseguenza ogni punto dello spago è sogget- po gravitazionale. Perché sappiamo che la seconda

to a questa forza e a una forza uguale e contraria Legge di Newton dice che l’accelerazione subita

per effetto della terza legge di Newton. All’altro a

da un corpo di massa è proporzionale alla forza

capo dello spago (quello cui è legato il sasso) dun- m

i

applicata

que c’è una forza diretta verso la mano prodot-

ta dalle forze interne dello spago, non annullata F

da altre forze. È questa forza, centripeta appunto, (2.11)

,

a = m

che produce l’accelerazione che fa cambiare la di- i

ma al contempo sappiamo che la forza di gravità si

rezione della velocità e fa muovere il sasso di moto scrive dove . Quest’ultimo fat-

circolare. F = m g m = m

G G i

to è un fatto sperimentale. Non c’è alcuna ragione

Se però osserviamo lo stesso fenomeno stando per la quale il coefficiente che sta a denominato-

seduti sul sasso, vedremmo il sasso fermo accan- re nella Legge di Newton debba essere uguale alla

to a noi! Se il sasso è fermo e resta tale vuol dire costante di accoppiamento delle interazioni gravi-

che non ci sono forze in questo sistema e per far tazionali. La fisica relativistica dunque dovrà esse-

valere la seconda legge di Newton siamo costret- re equivalente (almeno localmente) alla fisica della

ti a scrivere che, in questo particolare sistema di gravitazione.

riferimento, Se non possiamo eseguire misure di oggetti mol-

to distanti da noi (se ad esempio siamo chiusi in

(2.8)

ma = F + F app una stanza senza finestre) e vediamo degli ogget-

dove è la risultante delle forze agenti sul

F vere ti cadere non possiamo sapere se questi cadono

sasso (la tensione dello spago), e è qualcosa

F perché c’è un campo di forze gravitazionali op-

app

che ha le dimensioni di una forza e che deve essere pure perché l’intera stanza è accelerata verso l’al-

tale da annullare l’accelerazione. Se F = ma to. Potremmo saperlo studiando il moto di oggetti

app

vediamo subito che il risultato è che la risultante lontani come i pianeti, per questo diciamo che il

delle forze applicate è nulla. Nel caso del moto principio di equivalenza è valido localmente.

circolare uniforme l’accelerazione è diretta verso Da quanto abbiamo detto sopra si capisce che

il centro della traiettoria e vale dove è il

2

v /r v la trasformazione da applicare passando da un si-

modulo della velocità del sasso e la sua distanza

r stema a un altro determina le proprietà geometri-

dall’asse di rotazione. La forza centrifuga quindi che dello spazio–tempo e dal momento che trovar-

vale si in un sistema di riferimento accelerato equivale

a trovarsi in un campo gravitazionale, ne conclu-

2

v (2.9)

−m diamo che la presenza di un campo gravitazionale

r̂ .

F = r è equivalente alla presenza di una geometria di-

dello spazio–tempo nei pressi delle sorgenti

storta

© (2013–2014) Giovanni Organtini – Fisica Sperimentale

24 UNITÀ DIDATTICA 2. LA RELATIVITÀ GENERALE

del campo (il campo è piú intenso vicino ai corpi La lettera di Leibniz a Clarke

massicci e lí la geometria somiglierà meno a quella In una delle lettere che Leibniz invia a Samuel

euclidea rispetto a quella che si ha piú lontano). Clarke, pubblicate dopo la sua morte, si legge:

La relatività generale, in definitiva, permette di ”As for my own opinion, I have said more than

scrivere in generale la trasformazione di coordi- once that I hold space to be something purely

nate da un sistema di riferimento a un altro si- relative, as time is, that I hold it to be an order

stema accelerato rispetto al primo, ma oltre a ciò of coexistences, as time is an order of succes-

rappresenta una teoria del campo gravitazionale sions.”. E ancora ”I have many demonstrations

inteso come una distorsione delle proprietà geo- to confute the fancy of those who take space to

metriche dello spazio–tempo dovuta alla presen- be a substance or at least an absolute being.” e

za delle masse, che sono le sorgenti del campo ne illustra una, di tali confutazioni (che per la

gravitazionale. scienza moderna suona poco appropriata, ma

l’idea di base è in fondo corretta): ”without the

things placed in it [the space, ndr], one point

2.3 la geometria dell’Univer- of space absolutely does not differ in any re-

so spect whatsoever from another point of space.

Now from this it follows [...] that it is impossible

Di fatto la relatività generale è una teoria sulla there should be a reason why God, preserving

geometria dello spazio (o, per essere piú precisi, the same situations of bodies among themselves,

dello cioè dello spazio quadridi-

spazio–tempo, should have placed them in space after one cer-

mensionale introdotto con la teoria della relatività tain particular manner and not otherwise”. In

ristretta). È interessante osservare che l’idea che sostanza Leibniz afferma che lo spazio non può

lo spazio e il tempo non siano qualcosa di assolu- essere assoluto perché non ci sarebbe nessuna

to, ma che la loro dipenda dall’osser-

percezione ragione per la quale gli oggetti che noi osservia-

vatore, non è stata introdotta per la prima vol- mo sono qui e non altrove. Se fossero disposti

ta da Einstein con le sue teorie: già il filosofo e nello stesso modo in un altro punto di uno spa-

matematico Leibniz nel 1715 aveva intuito che lo zio assoluto non potremmo distinguere questa

spazio, cosí come il tempo, andavano considerati situazione da quella attuale, dunque quello che

come ”qualcosa di puramente relativo”. Lo spazio, conta non è lo spazio in sé, ma le relazioni tra

per Leibniz, ”è un ordine delle coesistenze”, mentre gli oggetti.

il tempo ”è un ordine delle successioni” [4].

La disputa sulla natura dello spazio e del tempo,

quindi, è molto antica. Anche Newton, nei implica l’esistenza di uno spazio assoluto rispetto

Princi-

[5], nello alla fine del capitolo sulle de- al quale l’acqua di ruotare. Ernst Mach confu-

1

pia scolio sa

finizioni, cita un esperimento ideale per dimostra- tò questo esperimento (molti anni dopo, alla fine

re l’assolutezza dello spazio: si prenda un secchio del XIX secolo) osservando che il moto dell’acqua

pieno d’acqua sospeso a una corda attorcigliata. nel secchio deve essere in qualche modo il risultato

Lasciando andare la corda il secchio comincia a delle interazioni con il resto dell’Universo: se infat-