Dal problema al modello matematico 3 (ebook)

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Vol 3 – Capitolo 9 - Unità 2 ∀ ≠

ciamo che le funzioni sono “quasi uguali”. Ma allora non è difficile pensare che se f(x) = g(x), x 1, allora

( ) ( ) ( ) ( )

= = =

lim f x lim g x lim g x g 1 10001

. E ovviamente . Per il momento ci accontentiamo di parlare

→ → →

x 1 x 1 x 1

“per intuizione”, in seguito saremo più rigorosi. Il nostro attuale interesse è quello di precisare cosa significa

che una funzione, al tendere di x a un punto di accumulazione del suo dominio, tende a un numero piuttosto

che a infinito.

Definizione 9 l

Diciamo che f(x) punto di accu-

converge a per x che tende (a x , a x dalla sinistra, a x dalla destra)

0 0 0

l

mulazione del suo dominio, se in ogni intorno di esistono infiniti valori di f(x) per cui x appartiene a un in-

torno (completo, sinistro, destro) di x .

0

Esempio 14 − − +

3 2

x x 3 x 2

( ) =

La funzione non è definita per x = 2. Effettuiamo il processo di avvicinamento a 2:

f x −

x 2

In effetti abbiamo la sensazione di stare avvicinandoci a un numero, che, solo perché siamo abituati a pensa-

re in termini di numeri interi, “potrebbe essere” 5, ma in effetti potrebbe anche essere 4,99999999 o un altro

valore simile.

Il precedente esempio ci ha fornito un esempio di funzione che potrebbe convergere, anche se non ci da la

sicurezza del numero verso il quale converge. Abbiamo quindi bisogno di un risultato che ci permetta di ve-

rificare se la nostra sensazione è corretta.

Teorema 7 l

Una funzione f(x) ammette limite un numero reale per x che tende a x di accumulazione per il dominio di

0

ε δ > 0, δ δ

f, se, comunque fissiamo un numero > 0 esiste un numero tale che quando si ha x – < x < x + si

0 0

ε ε.

l l

ha anche – < f(x) < +

Dimostrazione

Non abbiamo fatto altro che “tradurre” la definizione di funzione convergente in termini di disequazioni.

Esempio 15 − − +

3 2

x x 3 x 2 = . Dobbiamo risolvere la disequazione

Adesso possiamo stabilire se è vero che lim 5

−

→ x 2

2

x

− − +

3 2

x x 3 x 2

ε ε

− < < +

5 5 e le sue soluzioni devono appartenere a un intorno di 2, cioè devono essere

−

x 2

δ δ.

del tipo 2 – < x < 2 + Cominciamo a vedere se riusciamo a semplificare la frazione. Si vede che

( )

( )

− ⋅ + −

2

x 2 x x 1

( )

( ) ε ε

− < < +

− − + = − ⋅ + −

3 2 2 5 5

, quindi . Possiamo semplificare poi-

3 2 2 1

x x x x x x −

x 2

2

≠ ε ε

+

ché stiamo supponendo che sia 2, ottenendo 5 – < – 1 < 5 + . Abbiamo quindi le due disequa-

x x x

2 2

ε ε

zioni: – 6 – < 0; – 6 + > 0; le cui soluzioni sono:

+ +

x x x x

   

ε ε ε ε

− − − − + − − − + − + +

1 25 4 1 25 4 1 25 4 1 25 4

< < ∧ < ∨ >

   

x x x

   

2 2 2 2

   

ε ε

− + − − + − + + − +

1 25 4 1 5 1 25 4 1 5

ε ε

− < + > < = ∧ > =

25 4 5, 25 4 5 , quindi 2 2 . Perciò

Ora 2 2 2 2

ε ε

− + − − + +

1 25 4 1 25 4

α β

≈ − ∧ ≈ + α β

2 2 , in cui e sono due opportuni numeri reali; abbiamo allo-

2 2

α β. δ β), δ δ.

ra: 2 – < < 2 + Se perciò prendiamo = min(α, abbiamo finito, dato che si avrà: 2 – < < 2 +

x x

59

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Vol 3 – Capitolo 9 - Unità 2

Abbiamo visto perciò funzioni che divergono e funzioni che convergono, ma, come visto per le successioni,

potrebbe succedere anche un altro fatto.

Esempio 16

Consideriamo ( ) = (1/ ), che non è definita per = 0. Vediamo cosa accade in un intorno di 0.

f x sin x x

Abbiamo ottenuto numeri quasi , pertanto non ci sentiamo di dire che vi è convergenza, del resto la

a caso

funzione è limitata sia superiormente che inferiormente, quindi il limite non può essere infinito.

Poniamo allora l’ultima definizione per il comportamento di una funzione nell’intorno di un suo punto di ac-

cumulazione.

Definizione 10

Diciamo che ( ) è punto di accumu-

f x oscillante per x che tende (a x , a x dalla sinistra, a x dalla destra)

0 0 0

lazione del suo dominio, se non è né convergente, né divergente.

Abbiamo considerato il comportamento nell’intorno di un punto di oscillazione, ma, per le funzioni il cui

dominio contiene intervalli illimitati del tipo ( ; +∞) o (–∞; ), possiamo anche considerare cosa accade

a a

all’aumentare (o al diminuire) indiscriminato dell’ascissa.

Esempio 17 +

3 x 1 ≠

La funzione ha dominio ½, ha perciò senso indagare come si comporta la funzione per valori

x

−

2 x 1

molto “grandi” o molto “piccoli” di . Possiamo cioè costruire una tabella del tipo seguente

x

Intuitivamente possiamo dire che la funzione, all’aumentare indiscriminato della sua ascissa, converge verso

un valore prossimo a 1,5.

Definizione 11 l

Se il dominio di ( ) contiene un intervallo del tipo ( ; +∞) [o (–∞; )], diciamo che ( )

f x a a f x converge a per x

, se, comunque fissiamo un numero positivo , allora in ogni in-

k

che tende a più infinito [a meno infinito]

l

torno di esistono infiniti valori di ( ) per > ( < – ).

f x x k x k

Notazione 5 ( )

( ) ( )

= =

l ℓ ℓ

lim f x lim f x

Se ( ) converge a per che tende a più (meno) infinito scriviamo .

f x x →+∞ →−∞

x x

Teorema 8 ( )

( ) ( )

= = ε,

ℓ ℓ

lim f x lim f x

Si ha se, comunque fissiamo un numero positivo esiste un numero positivo

→+∞ →−∞

x x ε ε.

l l

, tale che quando si ha > ( < – ) si ha anche – < ( ) < +

k x k x k f x

Segue dalla della definizione 11.

traduzione

Dimostrazione

Esempio 18 + +

3 x 1 3 3 3 x 1 3

ε ε

= − < < +

lim

Vediamo se effettivamente si ha: . Risolviamo la disequazione . Ab-

− −

→+∞ 2 x 1 2 2 2 x 1 2

x 60

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Vol 3 – Capitolo 9 - Unità 2

ε

+ +

 x

3 1 3 2

<

 ε ε

+ < + − −

ε ε 

− + +  − x x x

6 2 6 4 3 2

x

3 2 3 1 3 2 x

2 1 2

< < ⇒ ⇒

 

biamo: . Abbiamo eliminato il de-

ε ε ε

+ − + > − − +

− 

x x x x

3 1 3 2 6 2 6 4 3 2

2 2 1 2

x  >

 −

 2 1 2

x

nominatore 2 – 1 perché stiamo studiando il comportamento per che tende a più infinito, quindi il fattore

x x ε

+

 5 2

>

x



ε ε

> + ε

 +

 ε

4 5 2

x 5 2

4

⇒ ⇒ > ε

  x

è certamente positivo. Continuiamo: . Essendo un numero

ε ε ε ε

> − + − +

 4 5 2 5 2

x 4

 >

x

 ε

4

ε

− +

5 2 < 0

positivo “abbastanza” piccolo avremo: , ecco spiegata la soluzione del sistema. Possiamo ancora

ε

4

5 1 −

ε =

> + 5

10

x

scrivere che è il numero cercato. Per esempio considerato l’intorno di raggio avremo

k

ε

4 2

5 1

> + =

x 125000,5 .

−

⋅ 5

4 10 2

In modo analogo possiamo definire la divergenza di una funzione per che tende all’infinito.

x

Definizione 12

Se il dominio di ( ) contiene un intervallo del tipo ( ; +∞) [o (–∞; )]], diciamo che ( )

f x a a f x diverge a più

, se, comunque fissiamo un numero positivo esiste

k

(meno) infinito per x che tende a più (meno) infinito

un numero positivo per cui si ha ( ) > ( ( ) <– ) per > ( < – ).

h f x k f x k x h x k

Notazione 6 ( )

( ) ( )

= ∞ = ∞

lim f x lim f x

Per indicare che ( ) diverge per che tende a più (meno) infinito scriviamo

f x x →+∞ →−∞

x x

Esempio 19 + +

2 2

1 1

x x

= −∞ < −

lim , dobbiamo risolvere la disequazione . Essendo

Per stabilire che che tende a

k x

− −

→+∞ 2 2

x x

x +

2 1

x > ⇒ + > − ⇒ − + + >

2 2

più infinito possiamo dire che 2 – < 0 e perciò scriviamo:

x 1 2 2 1 0

k x kx k x kx k

− 2

x

+ − −

2

k k 8 k 4

>

x

Consideriamo solo la soluzione positiva: , essendo “molto grande”, anche

k

2 + − ⋅ −

+ − −

2 10 20 10

k k 8 k 4 10 10 8 10 4

= = ⇒ = ≈

10 10

k 10 h 10

h lo è. Per esempio se .

2 2

Chiudiamo il paragrafo con un risultato apparentemente intuitivo, ma di fondamentale importanza.

Teorema 9 (di unicità del limite)

Se una funzione ha limite per che tende a un punto di accumulazione o a uno dei simboli più o meno infi-

x

nito, tale limite è unico.

Dimostrazione ( ) = ∈

ℓ ℝ

lim f x

Lo proveremo solo nel caso , lasciando gli altri casi per esercizio. Ovviamente, per la stes-

→+∞

x ( ) ( )

= +∞ ∨ = −∞

lim f x lim f x

sa definizione, non potrà accadere . Supponiamo invece, per assurdo, che

→+∞ →+∞

x x

( ) ( )

= ∈ = ∈

≠

ℝ ℓ ℝ

lim f x m lim f x

ℓ

accada , ovviamente con . Ora dire che equivale a dire che, co-

m

→+∞ →+∞

x x ( )

ε ε

− < < + ∀ >

ε, ℓ ℓ

f x x k

,

munque fissiamo un numero positivo esiste un numero positivo per cui: .

k

61

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Vol 3 – Capitolo 9 - Unità 2

( ) = ∈ ε

ℝ

f x m

lim

Analogamente vuol dire che, scelto lo stesso esiste un numero positivo per cui si ha:

h

→+∞

x

( )

ε ε

− < < + ∀ >

m f x m x h

, . Se = quindi valgono entrambe per ogni > , se ciò non accade varranno

h k x k

per il più grande fra e . Per non perdere di generalità indichiamo con il più grande fra i detti numeri.

h k M

( ) ( )

ε ε ε ε

− < < + − < < + ∀ >

ℓ ℓ

f x m f x m x M

, ,

Avremo allora: . Ma allora se sottraiamo termine a termi-

( ) ( )

ε ε ε ε

− − − < + − + ⇒ − < −

ℓ ℓ ℓ ℓ

m m m m

ne troviamo: , che è assurdo perché non esistono numeri mi-

nori di se stessi.

Verifiche

Lavoriamo insieme −

3 1

x

Vogliamo congetturare il valore del . Costruiamo la seguente tabella:

lim −

2

→ 1

x

x 1 −

3 1

x

Possiamo quindi congetturare che per che tende a 1, converge.

x −

2 1

x

Congetturare, giustificando la risposta, se i seguenti limiti rappresentano convergenza, divergenza o

oscillazione.

Livello 1 − + − − − +

3 2 3 2

6 15 14 3 3

x x x x x x

1. [Convergente] [Convergente]

lim lim

− −

2 2

4 9

x x

x→ 2 x→ 3

− − + −

3 2

2 2 5 3 15

x x x x

[Divergente]

2. [Convergente]

lim lim

( ) −

2

+ ⋅ − 25

x

→ x→ 5

3 5

5

x x

− + − +

 

3 2

5 3 15 1

x x x x

[Divergente] [Oscillante]

3. lim lim cos  

− −

2  

→− →

25

x 2

x

5

x x 2

− −

2 2

1 1

x x

4. [Divergente] [Convergente]

lim lim

( ) ( )

+ +

⋅ − ⋅ −

→ →

5 2 5 1

x x

4 1

x x

− − +

2

x

5 1 3 1

x

lim [Divergente]

[Convergente]

5. lim

− −

2

→+∞ →−∞

x 4 2

x

x x

+ − − +

2 2

7 1 1

x x x x [Divergente]

6. [Convergente] lim

lim +

2

→+∞ →−∞

3 3 1

x x

x x

Livello 2 ( ) ( )

− − + − − +

7. [Divergente] [Convergente]

3 1 7 2 13 2 13 8

lim x x lim x x

→+∞ →+∞

x x

( )

sin x ( )

⋅

lim x sin x

8. [Convergente] [Oscillante]

lim + →+∞

→+∞ 1

x x

x 1 1

+ +

   

x 1 x 1

− −

x 2 x 2

[Divergente] [Convergente]

9. lim lim

   

− −

   

+ −

1 1

x x

→ →

x 2 x 2

62

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Vol 3 – Capitolo 9 - Unità 2

+ +

− −

x 1 x 1

e 1 e 1

lim lim

10. [Divergente] [Convergente]

( ) +

2

+

→− →− x 1

1

x x 1

x 1

Livello 3 >



1 x 0

( ) ( ) =  



,

lim f x f x lim x

11. [Oscillante] [Oscillante]

 

− <

→ →

1 0

x



x 0 x 3

( )

−

     

lim x lim x x

[Convergente] [Convergente]

12.      

→ →

x x

1,5 2

 1 >

x 0

 x

( ) ( ) =  



lim f x , f x lim x

13. [Convergente] [Divergente]

 

→ →−∞

1

x 0 x

− <

x 0

 x

Livello 2 +

2

x 3 = +∞

14. Sapendo che lim , determinare l’intorno destro di –1 in cui si ha f (x) > 1014.

+

+ x 1

→−

x 1  

− < < − ⋅ ≈ −

1 x 507 2 64515 0,99

 

−

2

x 4 =

Sapendo che lim 4

15. , determinare l’intorno di 2 in cui si ha 3,99999 < f(x) < 4,00001.

−

→ x 2

x 2 [1,99999 < x < 2,00001]

+

2

2 x 1 = +∞ , determinare l’intorno destro di –2 in cui si ha f (x) > 3547.

lim

Sapendo che

16. +

+ x 2

→− 2

x  

− ⋅

3547 3 1404217

− < < ≈ −

 

x

2 1,99

4

 

−

2

x 1 = , determinare l’intorno di 1 in cui si ha 1,9999 < f(x) < 2,0001

17. Sapendo che lim 2

−

→ x 1

x 1 [0,9999 < x < 1,0001]

+

x 5 = −∞

lim

18. Sapendo che , determinare l’intorno sinistro di 2 in cui si ha f (x) < –540.

−

− x 2

→

x 2  

1075

≈ < <

x

1,987 2

 

 

541

−

2

x 1 = ∀ >

lim , determinare il minimo k per cui si ha 0,999<f(x)< 1,001,

19. Sapendo che 1 .

x k

+

2

→+∞ x 1

x  

>

x 1999

 

2

x = +∞ ∀ >

lim , determinare il minimo k per cui si ha f(x) > 72548,

Sapendo che .

20. x k

+

→+∞ 3 x 2

x  

> + ⋅

x 108822 2 2960593195

 

− 2

1 x = −∞ ∀ >

lim , determinare il minimo k per cui si ha f(x) < –25478,

Sapendo che

21. x k

+

→+∞ x 3

x  

> + ⋅

x 12739 2 40589639

 