Giornata di Studio Analisi Non Standard 2 (ebook)

Analisi non standard nelle scuole superiori 15

f : , b)→ℜ

Proposizione 3. Sia una funzione derivabile nell'aper-

(a x , b)

f

, b)⊆ℜ ∈(a

to allora è derivabile nel punto se e solo se

(a 0

f x)=f ' x x−x f x o( x−x

( ( )( )+ ( )+ )

0 0 0 0

x .

o x−x →x

( )

dove è un infinitesimo per

0 0 x

Dimostrazione. Se la funzione è derivabile in allora esiste finito

0

f x)−f x

( ( )

0

lim ' x .

=f ( )

0

x−x

x→x 0

0

Quindi

f x)−f x

( ( )

0

lim ' x

−f ( )=0

0

x−x

x→x 0

0

e f x x

( )−f ( )

0 ' x 1)

−f ( )=o(

0

x−x 0 x−x

da cui, moltiplicando membro a membro per e ricorrendo alle

0

proprietà degli infinitesimi si ha la tesi. Il viceversa è immediato.

Si vede poi che la Definizione 2 può essere sostituita dalla seguente.

f : , b)→ℜ

Definizione 4. Sia una funzione derivabile nell'inter-

(a

, b)⊆ℜ

vallo aperto allora la retta di equazione

(a

y=m x−x x f

( )+f ( ) è tangente al grafico di nel punto

0 0

x , b)

∈(a se

0 y=f x m( x x−x

( )+ −x )+o ( )

0 0 0

x m∈ℜ.

→x

per e con

0

Secondo questa definizione, in poche parole, la tangente è quella retta

il cui grafico differisce localmente “di poco” dal grafico della funzione in

quanto la quantità

E( x x)−f x x−x

)=f ( ( )−m ( ) (3)

0 0

che possiamo interpretare come un errore, è un infinitesimo di ordine

x−x x .

→x

superiore a per per Oltre a questo è facile vedere che

0 0

16 II Giornata di studio

m=f ' x .

( )

se la retta tangente esiste allora, come ci si aspetta, Quan-

0

to appena visto si presta successivamente ad essere esteso a funzioni in

più variabili e, più in generale, ai concetti di fibrato tangente a una varie-

tà e di differenziale come applicazione lineare tra spazi tangenti.

4 L A MIGLIOR APPROSSIMAZIONE LINEARE

Ritorniamo per un momento alla definizione di derivata formulata at-

traverso il concetto di infinitesimo

f x)=f ' x x−x f x o( x−x

( ( )( )+ ( )+ )

0 0 0 0

Ora è abbastanza intuitivo pensare che se localmente

E( x x)−f ' x x−x x x−x

)=f ( ( )( )−f ( )=o( )

0 0 0 0

y=f ' x x−x f x

( )( )+ ( )

allora è la migliore approssimazione linea-

0 0 0

x .

f

re di in Per essere più precisi vale la seguente.

0 P( x f x

( ))

Definizione 5. Siano dati , un punto del grafico della

0, 0

f : , b)→ℜ

funzione reale di variabile reale , e la funzione affine

(a

s x x−x f x

( )=m ( )+ ( ).

m 0 0

s f

(x )

La funzione è la migliore approssimazione lineare di nel

m

x d

punto se esiste e

>0

0

x)−s x)∣≤∣f x)−s ' x

∣f ( ( ( ( )∣

m m

x∈( x , x d) m'≠m.

−d +

per e per ogni

0 0

Si verifica poi senza difficoltà [2] che la migliore approssimazione si

m=f ' x .

( )

ha se e solo se 0

Come è stato evidenziato sempre in [2] l'idea che la tangente sia la

miglior approssimazione lineare al grafico di una funzione nel punto di

tangenza è quella che forse si avvicina maggiormente ai processi menta-

li che si attivano nel momento in cui ci viene chiesto di riconoscere se

una data retta sia tangente o meno al grafico di una funzione o a una

curva. Anche gli esempi problematici visti al paragrafo 2, se riguardati

da questo punto di vista, appaiono molto meno insidiosi.

Analisi non standard nelle scuole superiori 17

Quindi, se seguiamo Bivens [2], l'idea di tangente come migliore ap-

prossimazione lineare dovrebbe essere irrinunciabile, magari senza prete-

se di rigore eccessivo già a livello elementare.

5 L' -

APPROCCIO NON STANDARD

L'analisi non-standard permette di definire rigorosamente la tangente,

già a livello di terzo anno di scuola secondaria di II grado, rendendo allo

stesso tempo disponibili oggetti essenziali per lo studio della Meccanica

classica come le derivate e gli integrali.

In estrema sintesi quello che si fa in Analisi non-standard [4] è:

1. ampliare l'insieme dei numeri reali introducendo un nuovo insieme

di numeri che contiene numeri infiniti e infinitesimi. Gli infinitesimi,

dx , dy...

che si indicano con soddisfano la condizione

1

0< dx< n n>0.

per ogni numero naturale Per l'insieme ampliato, che

prende il nome di insieme dei numeri iperreali, valgono (principio

di estensione) le usuali regole algebriche;

2. introdurre il concetto di infinita vicinanza: due numeri iperreali

x y x≈ y

e si dicono infinitamente vicini se la loro differen-

za è un numero infinitesimo;

3. definire la parte standard di un numero iperreale ossia la funzione

definita da

a+ b dx b dx)=a

→st (a+

che ad ogni numero iperreale associa la sua parte reale.

f : , b)→ℜ

Nell'approccio non standard la derivata di una funzione (a

x , b)

∈(a

in un punto , se esiste, è definita da

0 f x dx)−f x

( )

( + ( )

0 0

f ' x .

( )=st (4)

0 dx 2

Così, ad esempio, se si ha subito

f x)=x

(

18 II Giornata di studio

2 2

( )

x

( +dx ) −x

f ' x)=st x x.

( =st (2 +dx )=2

dx

Dalla relazione (4) si ottiene subito che

f x x

( )

( +dx)−f ( )

0 0

st ' x

−f ( ) =0

0

dx

quindi

f ' dx

(x +dx)−f (x )−f (x )dx=e (4)

0 0 0 e≈0.

dove il numero iperreale Questa relazione non è altro che la

riformulazione di (4) e l'errore introdotto in (3) è, dal punto di vista non-

standard, caratterizzato dal fatto che

st E

( (dx ))=0.

Appare ora piuttosto intuitivo, ripercorrendo quanto visto al paragrafo

precedente, pensare che la retta tangente, se esiste, abbia equazione

y=f ' x x−x f x

( )( )+ ( )

0 0 0

esattamente identica a (1), ma con la differenza che la derivata prima

viene calcolata ricorrendo a (4) senza bisogno di ricorrere ai limiti.

L'intuizione può essere ulteriormente rafforzata dall'idea che se si va

a magnificare (microscopio) quello che si vede nell'intorno del punto di

tangenza, il grafico della funzione è, per quanto riguarda la parte stan-

dard, esattamente quello di una retta passante per i due punti

x f x x dx , f x .

( ( )) ( + ( +dx ))

e

0, 0 0 0

6 C ONCLUSIONI

L'analisi non standard permette quindi di introdurre nel curriculum

presto e in modo soddisfacente il concetto di tangente al grafico di una

funzione in un punto. Allo stesso tempo essa rende disponibili gli appara-

ti di calcolo indispensabili per lo studio della Meccanica classica fin dal

terzo anno di scuola secondaria di II grado.

Analisi non standard nelle scuole superiori 19

In conclusione ci sentiamo di condividere l'opinione di Terence Tao,

uno dei più grandi matematici viventi, quando scrive:

“In short [non-standard analysis] is a nice way to get students quickly

started on single-variable differential calculus, but one should also be pre-

pared to move beyond this approach when one wants to tackle the rest of

the calculus.”

- Terence Tao

7 B IBLIOGRAFIA

T , H.A.

1 (1964) On the definition of a tangent-line, The American

HURSTON

Mathematical Monthly, Vol. 71, No. 10, pp. 1099-1103.

, I.C. What a tangent line is when it isn't a limit,

2 B (1986) The Col-

IVENS

lege Mathematics Journal, Vol. 17, No. 2, pp. 133-143.

K , S.H.

3 (2003) Finding the Tangent to a Conic Section Without Calcu-

UNG

lus, The College Mathematics Journal, Vol. 34, No. 5, pp. 394-395.

B , P.

4 (2011) Il calcolo infinitesimale, analisi per i licei alla ma-

ONAVOGLIA

niera non standard, Matematicamente.it disponibile online.

20 II Giornata di studio

Il registro grafico nella didattica della NSA

di Pietro Cacciatore

L’oggetto matematico derivata è definito in NSA come la parte stan-

dard del rapporto incrementale valutato per ogni valore dell’incremento

infinitesimo. Tale oggetto ha due interpretazioni “storiche”: la pendenza

della tangente ad una curva in un suo punto e la velocità istantanea.

Nella prima interpretazione la variabile indipendente è l’ascissa e la va-

riabile dipendente l’ordinata di un riferimento cartesiano; nella seconda

il tempo e la posizione rispettivamente. In entrambe le interpretazioni,

ma particolarmente nella prima, l’aspetto grafico è uno strumento im-

portante per la comprensione dei concetti coinvolti.

1 G RAFICO DELLA TANGENTE AD UNA CURVA IN UN SUO PUNTO



Si dice tangente ad una curva in un suo punto P la retta t per P e di

coefficiente angolare:

Insomma, il coefficiente angolare di t è la derivata della funzione cal-

colata in x cioè la parte standard del rapporto incrementale valutata per

P 

tutti i valori dell’incremento infinitesimo.

Si consideri la figura seguente

Analisi non standard nelle scuole superiori 21

in cui compaiono i grafici della curva, della retta tangente in P, il punto

P di coordinate x , f(x ), gli assi reali x, y.

P P

Se consideriamo il piano iperreale R*×R*, e puntiamo sul punto P un

4

microscopio (non standard ) otteniamo la seguente figura:

nella quale ora compaiono gli assi iperreali x, y, e il punto Q è un punto



di infinitamente vicino a P (cioè un punto della monade di P) e di coordi -

  

nate (x + , f(x + )), con infinitesimo.

P P

I disegni del piano reale e iperreale sono identici. Nel secondo ha senso

usare il microscopio non standard e puntarlo su un punto di coordinate

iperreali-reali, e ciò cambia alquanto la situazione: si osserva la regione

immediatamente circostante il punto, una regione fatta di punti con coor-

dinate ipereali-non reali che in onore a Leibniz è nominata monade.

L’ingrandimento mette bene in evidenza che la curva e la tangente ri-

sultano sovrapposte, e che la tangente è quella retta per P che ha la ca-

ratteristica d’avere la stessa pendenza della curva in P. Le due curve

mantengono la stessa pendenza per tutta la monade di P, in ciò gioca un

ruolo essenziale la condizione che la parte standard del rapporto incre-

 5

mentale in x deve esistere per ogni incremento infinitesimo .

P

Il pensiero corre a Leibniz ed alla sua intuizione: “La tangente ha due

punti di contatto infinitamente vicini con la curva”. Ma come spesso acca-

de nella storia della scienza, i concetti si modificano e si perfezionano nel

tempo, e con Robinson possiamo affermare che curva e tangente non

4 Per la differenza fra telescopio standard e non standard confronta Goldoni, 20

anni di calcolo infinitesimale, in Analisi non standard per le scuole superiori,

Matematicamente.it pag. 7.

5 Sulla definizione di tangente ad una curva in un suo punto si veda, in questi

stessi Atti, Centono, Tangenti a una curva: da standard a non-standard.

22 II Giornata di studio

hanno più due punti di contatto, ma hanno in comune una miriade di

punti “infinitamente vicini”. Ho usato il termine “miriade” in omaggio al

mondo greco, ma è piuttosto evidente che di punti di contatto ce ne

sono almeno ℵ₀.

Questa circostanza impone una riflessione di carattere epistemologi-

co. I concetti scientifici hanno una storia e pertanto sono inventati. Infat-

ti, se esistessero in un mondo al di fuori del soggetto, essi ci verrebbero

consegnati in tutta la loro completezza e integrità, e non sarebbero su-

scettibili di perfezionamenti o, soprattutto, di modifiche. Non mancano

gli esempi anche in fisica. Per citarne solo due: il concetto d’inerzia na-

sce dapprima come inerzia circolare con Galileo, per diventare rettilinea

con Cartesio e Leibniz; il concetto di forza da sorgente di moto in Aristo-

tele diventa sorgente di accelerazione con Newton, e finisce col cambia-

re completamente significato in relatività generale.

Sarebbe tuttavia un’ingenuità supporre che le due curve precedenti

(la curva e la retta tangente) coincidano. Ci affrettiamo a dimostrare che

differiscono per infinitesimi di ordine superiore. Dal punto di vista grafico

ciò significa che si può scendere ancora in maggiori dettagli all’interno

della monade di P.  



Sia, ancora una volta, Q il punto di di coordinate (x + , f(x + )) e sia

P P

R il punto della retta t con la stessa ascissa di Q, cioè sia R il punto di

 .

coordinate (x + , f(x ) + m

P P

Calcoliamo ora il rapporto fra la differenza delle ordinate di R e Q e



l’incremento infinitesimo stesso .

Mostreremo che questo rapporto è a sua volta un infinitesimo, e con

ciò avremo dimostrato che la differenza fra le ordinate di R e Q è un infi-



nitesimo di ordine superiore rispetto a .

Il numero Analisi non standard nelle scuole superiori 23

 

è iperreale, e, per ogni , infinitamente vicino ad m, così è infinitesi-

mo. 

Allora le due curve viste alla scala di (che ripetiamo è una scala infini-

 

tesima rispetto alla scala di ) appaiono separate, là dove alla scala di