Il Calcolo Infinitesimale Non Standard (ebook)

48 P B

AOLO ONAVOGLIA

4.7.a Esempio 1

Sia data la funzione 3

y= x x

−

Le derivate sono: 2

y' x

=3 −1

Osservando lo schema si vede che la concavità è verso il basso

per x < 0 e verso l'alto per x > 0 e quindi si ha il flesso Flex(0;0)

2

coincidente con l'origine; la derivata prima 3x - 1 vale -1 per x

= 0 e quindi il flesso ha tangente decrescente.

Tutto questo è ben evidente

nel disegno qui accanto

dove la cubica è in blu,

mentre è evidenziata in

rosso la tangente per il

flesso (origine). Appare

evidente che il flesso è il

punto nel quale la curva

cambia concavità ed è

anche il punto nel quale la

tangente attraversa la

curva. La cubica con il flesso

Calcolo infinitesimale 49

4.7.b Esempio 2 4 2

y= x x

Sia data la funzione −

3

y '=4 x x

−2

Le derivate sono: 2

y' '=12 x −2 2

Uguagliando a zero si ha l'equazione 12x -2=0, e le due soluzioni

 

1 1

x=

x=− e per ; dunque ci sono due flessi:

6 6

 

1 5 1 5

;− Flex ;−

Flex  

−  .

1 2

6 36 6 36

Calcolando

f'(-√(1/6)) si trova:

-√(1/216)-2.(-√(1/6))

~ 0,74

dunque il primo

flesso è crescente;

analogamente si ri-

cava che il secondo

flesso vale circa

-0,74 e quindi è

decrescente. La quartica

50 P B

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4.7.c Controesempio

Ne segue che la concavità è sempre verso l'alto, non c'è alcun

cambio di concavità, e quindi nessun flesso, ma piuttosto un

punto di minimo molto piatto.

4.8 II metodo per la ricerca dei punti di flesso

Il metodo si basa sul fatto che nei punti di flesso la derivata

seconda deve essere nulla e la prima derivata successiva che

non si annulla deve avere ordine dispari; se viceversa ha ordine

pari non ci sarà flesso, ma un punto di massimo o di minimo

come se si trattasse della derivata seconda.

Si tratta quindi di calcolare la derivata f"(x), risolvere f"(x) = 0 e

per ogni soluzione x calcolare f'''(x ):

i i

1. se f'''(x ) ≠ 0 c'è un flesso;

i

2. se f'''(x ) = 0 occorre calcolare le derivate successive fino

i

a trovarne una che non si annulla.

1. Se la prima derivata che non si annulla ha ordine

dispari, c'è un flesso.

2. Se la prima derivata che non si annulla ha ordine

pari, non c'è un flesso.

Si vedano comunque i seguenti tre esempi per comprendere

meglio il metodo.

Calcolo infinitesimale 51

4.8.a Esempio 1

Sia data di nuovo la funzione

3

y= x x

−

Le derivate successive sono:

2

y' x

=3 −1

y ' ' x

=6

y' ' ' =6

Uguagliando a zero si ha

l'equazione 6x = 0, e una sola

soluzione x = 0; la derivata

terza è uguale a 6, quindi Grafico della cubica

comunque positiva: si ha il 2

flesso Flex(0;0) coincidente con l'origine; la derivata prima 3x -

1 vale -1 per x = 0 e quindi il flesso ha tangente decrescente.

4.8.b Esempio 2

Sia data di nuovo la funzione:

4 2

y= x x

−

Le derivate successive sono:

3

y '=4 x x

−2

2

y' '=12 x −2

y ' ' '=24 x 2

Uguagliando a zero si ha l'equazione 12x - 2, e le due soluzioni

sono x = ±√(1/6) ≈ 0,4

La derivata terza 24x ha lo stesso segno di x, dunque è negativa

per x = -√(1/6) e positiva per x = +√(1/6); in ogni caso è diversa

da zero e quindi si tratta di due flessi:

 

 1 5

Flex1 ;−

− 6 36

 

 1 5

Flex2 ;−

6 36

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    

1 1 1 64 8

f ' − = −2 − =−  ≈−0,544331,1547≈0,61

4−

6 216 6 216 6

Calcolando la derivata prima in Flex1 si trova

dunque il primo flesso ha pendenza positiva ed è crescente;

analogamente si ricava che il secondo flesso vale circa -0,61 e

quindi è decrescente.

Tutto questo si ritrova nel grafico della curva.

Grafico della quartica

4.8.c Controesempio 4

y= x

Consideriamo di nuovo la funzione con le sue derivate

3

y ' x

=4 2

y' '=12 x

iii

y x

=24

iv

y =24 2

la derivata seconda 12 x si annulla per x = 0, ma anche la

derivata terza si annulla per x = 0, mentre non è nulla la

derivata quarta.

Ne segue che c'è un punto stazionario ed essendo la derivata

quarta positiva si tratta di un minimo (molto piatto).

Calcolo infinitesimale 53

5 - P

RIMI ESEMPI DI STUDIO DI FUNZIONE

5.1 Introduzione

Nelle prossime pagine vediamo qualche primo esempio di studio

di funzione. Obiettivo dello studio di funzione è quello di

studiare le caratteristiche di una funzione fino a disegnarne nel

modo più accurato possibile il grafico

Non è possibile definire nei minimi dettagli i singoli passi di

questo studio; a seconda del tipo di funzione possono avere

maggior peso alcune caratteristiche di una funzione rispetto ad

altre. Per esempio un polinomio non ha asintoti (rette alle quali

la curva si avvicina senza mai toccarla; vedi più avanti cap. 13)

e non è necessario cercarli, mentre un'iperbole con asintoto

orizzontale non può avere massimi e minimi.

Ecco una prima trafila per lo studio di una funzione polinomiale

y = f(x).

Insieme di definizione è l'insieme nel quale la funzione è

● definita; per solito l'insieme dei numeri reali esclusi

alcuni valori "illeciti"; p.es. i valori che annullano il

denominatore di una frazione, o i valori negativi in un

radicale. Per i polinomi non ci sono problemi, l'insieme

di definizione è sempre R, insieme dei numeri reali.

Riconoscimento di eventuali simmetrie (assiali, centrali)

● Ricerca degli zeri della funzione, ovvero soluzione

● dell'equazione f(x) = 0.

Studio del segno della funzione, ovvero soluzione della

● disequazione f(x) > 0.

Ricerca dei punti di massimo e minimo.

● Ricerca dei punti di flesso.

●

54 P B

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5.2 Una funzione algebrica di 3º grado

y' ' ' =6

Ricerca dei massimi, dei minimi e dei flessi.

6. Si tratta di

risolvere l'equazione f'(x) = 0, in questo caso 3x² - 4 = 0

che ha per soluzioni:

Calcolo infinitesimale 55

  3

2

4 2

x=± =±

=± ≈ 1.1547 ...



3 3

3

Si hanno quindi due punti stazionari per x= -2/√3 e x = +-2/√3;

usando il II metodo si calcola la derivata seconda per ogni

punto:

I x= -2/√3 f"(-2/√3) = -12/√3 < 0 c'è un massimo

II x= +2/√3 f"(+2/√3) = +12/√3 > 0 c'è un minimo

Le ordinate dei due punti si ottengono sostituendo

nell'equazione di partenza.

2 2 8 8 16

I x=− ; y= f − =−  = ≈3,0792 ...

    

3  3   3  27

27

2 2 8 8 16

II x= ; y= f  = − =− ≈−3,0792 ...

    

3 3  3 27

27

e in definitiva si hanno i due punti stazionari:

2 16

Max ;

− ≈1,1542; 

3,0792

 

3  27

16

2 ;−

Max ≈1,1542; 

 3,0792

 

3  27

5.2.a Ricerca di eventuali punti di flesso.

La derivata seconda è y'' = 6x;

uguagliando a zero si ha:

6x=0

x=0

la derivata terza è 6 e non si

annulla mai, quindi si ha un

flesso decrescente che

coincide con il secondo zero

(B)

Riassumendo tutti questi

risultati si ottiene il grafico a

lato.

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5.3 Ancora una funzione algebrica di 3º grado

La funzione è negativa per x < -3 e positiva altrove, fatto salvo

lo zero nell'origine.

Calcolo infinitesimale 57

Calcolo delle derivate

1. La derivata si ottiene utilizzando

la regola di derivazione della somma e quella della

potenza: 2

y' x x

=3 6

Le derivate successive sono:

ii

y x6

=6

iii

y =6

Ricerca dei massimi, dei minimi.

2. Si tratta di risolvere

l'equazione f'(x) = 0, in questo caso 3x² + 6x = 0 che

fattorizzando diventa:

x x2 =0

3

che ha due soluzioni: x = 0 e x = -2. Usando il secondo

metodo per x = 0 la derivata seconda vale 6, è positiva e

quindi si tratta di un minimo; per x = -2 la derivata

seconda vale -6, è negativa e quindi si ha un massimo.

Abbiamo quindi il massimo M(-2; 4) e il minimo

nell'origine (0; 0)

Ricerca dei flessi.

3. Si tratta di risolvere l'equazione f"(x)

= 0, in questo caso 6x + 6 = 0 che ha una sola soluzione x

= -1; vi è quindi un flesso nel punto F(-1; 2) che è anche

centro di simmetria della curva.

Tangente nel punto di flesso.

4. La retta tangente nel

punto F sarà data dall'equazione del fascio di rette per F

con coefficiente angolare pari alla derivata prima per x =

-1: y−2= f ' x1

−1 

y=2−3 x1



y=−3x−1 y=−3 x−1

L'equazione della tangente è quindi

Riassumendo tutti questi risultati si ottiene il grafico della

pagina precedente.

58 P B

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5.4 Una funzione algebrica di 4º grado

Studiare la funzione 4 2

y = x - 5x + 4

Si tratta di una curva algebrica di 4º grado (quartica)

Vediamo i singoli passi dello studio

Insieme di definizione: si tratta di un polinomio,

1. dunque I = R.

Ricerca degli zeri della funzione,

2. ovvero soluzione

4 2

dell'equazione x - 5x + 4 = 0. Si potrebbe usare la

formula dell'equazione di 2º grado rispetto a x²:

 25−16 

5± 5±3

x 2 = =

2 2

le due soluzioni sono quindi x² = 4; x² = 1; e vi sono

quattro zeri: x = -2; x = -1; x = +1; x = +2.

Studio del segno della funzione,

3. ovvero soluzione della

4 2

disequazione x - 5x + 4 = 0. Utilizzando il risultato

appena ottenuto la disequazione si può scrivere:

(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2)

Calcolo delle derivate

4. Le derivate successive si

ottengono facilmente utilizzando la regola di derivazione

della somma e quella della potenza:

Calcolo infinitesimale 59

i 3

y x x

= −1

4 0

ii 2

y x

=1 −1

2 0

iii x

y =2 4

i v

y = 2 4

v

y =0

Ricerca dei massimi, dei minimi.

5. Si tratta di risolvere

l'equazione f'(x) = 0, in questo caso 4x³ - 10x; mettendo

in evidenza la x si ha:

x(4x² - 10) = 0; x.(2x + √10).(2x - √10) = 0

si hanno quindi tre soluzioni:

x=0  10

x=− ≈−1,58

2

 10

x= ≈−1,58

2

Utilizzando il II metodo si deve considerare la derivata

seconda e calcolarne il valore per ognuno di questi tre

punti: ii

f c' è un massimo

0=−100 ⇒

 10 10

ii

f c' è un minimo

− =12× −10=200 ⇒

2 4

 10 10

ii

f c' è un minimo

 =12× −10=200 ⇒

2 4

Calcolando le ordinate (y) di questi tre punti si trovano i

tre punti stazionari:

f 0=0− 4×04=4 Max 0, 4

 10 100 5×10 25 50 9

f − = − 4= − 4=− =−2.25

2 16 4 4 4 4

 10 9

Min− ,− Min−1,58 ;−

≈ 2,25

2 4

 10 100 5×10 25 50 9

f  = − 4= − 4=− =−2.25

2 16 4 4 4 4

 10 9

Min ,− Min1,58 ;−

≈ 2,25

2 4

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Ricerca dei flessi.

6. Si tratta di risolvere l'equazione f"(x)

= 0, in questo caso 12.x² - 10 = 0 che ha le due soluzioni:

2

x = ±√(5/6) ~ ±0,91, con y = (5/6) - 5(5/6) + 4 = 19/36.

Vi sono quindi due punti di flesso: Flex(±√(5/6); 19/36) ≈

Flex(±0,91; 0,53)

Riassumendo tutti questi risultati si ottiene il grafico riportato

qui di seguito:

La quartica con le tangenti nei punti di flesso

Calcolo infinitesimale 61

6 - P

RIMI PASSI TRA GLI INTEGRALI

6.1 L'integrale indefinito

Spesso, per esempio in Fisica, è necessario determinare la

funzione che ha per derivata una funzione data.

È il problema inverso della derivata.

Per esempio è facile verificare che una funzione che ha per

derivata y = x (bisettrice del primo quadrante) è:

2

x

y= 2

infatti …

2

x x

D x

=2 =

2 2

Ma è questa l'unica funzione

ad avere x come derivata?

In realtà si verifica

facilmente che anche

2

x

y= 1

2

2

x

y=  2

2 La funzione y=x (retta) e i suoi

2

x

y= −1 integrali indefiniti (parabole)

2

hanno per derivata x; infatti la derivata di 1 è 0, e così pure per

ogni altro valore costante. La soluzione più generale per la

funzione che ha per derivata x é 2

x

y = c

2

costante di integrazione.

dove c sta per Dunque l'operazione

inversa della derivata non ha come risultato una sola funzione,

ma una famiglia di infinite funzioni, una per ogni numero reale c.

Nella figura sopra appare evidente che tutte le parabole di

62 P B

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2

x

y = c

equazione (qui per c= -1, 0, 1, 2, 3) hanno la stessa

2

pendenza per lo stesso valore di x e quindi hanno la stessa

derivata.

L'operazione inversa della derivata si chiama integrale e si

indica con un simbolo speciale, introdotto da Leibniz, una sorta

di Esse maiuscola stilizzata con un dx alla fine. Si scriverà

dunque: 2

x

∫ x d x= c

2

Più in generale si definisce funzione primitiva o integrale

indefinito di una funzione f(x), la funzione F(x) che ha f(x) per

derivata, e si scrive: ∫ f x xc

 dx =F 

dove la c è detta costante di integrazione; questa notazione

equivale a scrivere: D F xc= f x

 

6.2 Integrale della potenza

Dalla definizione di integrale indefinito seguono