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In realtà dal 1961 esiste un diverso approccio all'analisi che recupera in modo logicamente rigoroso gli infinitesimi di Leibniz. Si tratta della Non-Standard Analysis (NSA) di Abraham Robinson.
La NSA ha molti aspetti interessanti, uno di questi è appunto la possibilità di affrontare in modo radicalmente diverso l'insegnamento dell'analisi nelle scuole superiori, introducendo derivate e integrali prima dei limiti, e non necessariamente all'ultimo anno.
L'idea di una giornata di studio dedicata all'insegnamento della NSA nei licei era nata nel 2011 nell'ambito della lista Cabrinews, su proposta del prof. Tito Pellegrino e si era concretizzata il 20-11-2011 a Venezia nei locali del Convitto Liceo “Marco Foscarini”.
Sin da allora si era radicata l'idea di una seconda giornata che si è svolta il 16-09-2012 nell'aula magna del civico Planetario "Francesco Martino" di Modena.
Erano presenti circa sessanta docenti di matematica, tra i quali anche quest'anno il prof. Ruggero Ferro dell'Università di Verona, pioniere della NSA in Italia, che è anche intervenuto nel pomeriggio sul tema degli ultrafiltri, e il professor Consolato Pellegrino dell'Università di Modena e Reggio Emilia.
L'incontro si è concluso con una rappresentazione nella cupola del planetario dei moti apparenti dei pianeti, seguita da una ricostruzione dettagliata dell'idea centrale che ha portato all'innovazione copernicana, illustrata con l'ausilio di animazioni realizzate col Cabrì.
Hanno contribuito in modo determinante alla riuscita del convegno l'ing. Enrico Artioli, per gli aspetti organizzativi, e l'ing. Giuliano Vicenzi, che ha effettuato le riprese degli interventi dei relatori, entrambi docenti 4 II Giornata di studio dell'ITIS "Fermo Corni" di Modena. Un prezioso aiuto è poi stato fornito dagli studenti Gabriele Bani, Massimiliano Bosi e Kateryna Konotopska della classe 4AI dell'ITIS "Leonardo da Vinci" di Carpi e Lorena Goldoni della classe 5C del Liceo Scientifico "Alessandro Tassoni" di Modena.
•
Indice
Presentazione
Perché ho deciso di insegnare la NSA
DI ROBERTO ZANASI
Tangenti a una curva: da standard a non-standard
DI ANDREA CENTOMO
Il registro grafico nella didattica della NSA
DI PIETRO CACCIATORE
Iperreali in cifre
DI PAOLO BONAVOGLIA
Dal discreto al continuo attraverso gli infinitesimi
DI GIORGIO GOLDONI
“Della linearizzazione e non” inerente all’introduzione della NSA, dopo il primo
convegno di Venezia, nell’attività di formazione dei docenti neo-immessi in ruolo.
DI SERGIO CASIRAGHI
Una maturità non standard
DI CHRISTIAN BONFANTI
Pagine 82
ISBN 9788896354384
•
Autore
Paolo BonavogliaPaolo Bonavoglia è nato a Roma nel 1950. Laureato in matematica ha insegnato Matematica e Fisica nei licei classici e dal 1987 al 1994 Informatica industriale negli istituti tecnici. Dal 1994 insegna Matematicaal liceo classico Marco Foscarini di Venezia; è anche webmaster del sito del liceo, nel cui ambito ha curato gli ipertesti Eclissi e calendari e La crittografia da Atbash a RSA. Negli ultimi anni ha pubblicato sulla rivista Progetto Alice: Il ritorno dell'infinitesimo e L'analisi infinitesimale nel liceo classico - una sperimentazione dell'Analisi Non Standard. Ogni anno organizzata una giornata di studio sulla Analisi Non Standard.
Analisi non standard nelle scuole superiori 15
f : , b)→ℜ
Proposizione 3. Sia una funzione derivabile nell'aper-
(a x , b)
f
, b)⊆ℜ ∈(a
to allora è derivabile nel punto se e solo se
(a 0
f x)=f ' x x−x f x o( x−x
( ( )( )+ ( )+ )
0 0 0 0
x .
o x−x →x
( )
dove è un infinitesimo per
0 0 x
Dimostrazione. Se la funzione è derivabile in allora esiste finito
0
f x)−f x
( ( )
0
lim ' x .
=f ( )
0
x−x
x→x 0
0
Quindi
f x)−f x
( ( )
0
lim ' x
−f ( )=0
0
x−x
x→x 0
0
e f x x
( )−f ( )
0 ' x 1)
−f ( )=o(
0
x−x 0 x−x
da cui, moltiplicando membro a membro per e ricorrendo alle
0
proprietà degli infinitesimi si ha la tesi. Il viceversa è immediato.
Si vede poi che la Definizione 2 può essere sostituita dalla seguente.
f : , b)→ℜ
Definizione 4. Sia una funzione derivabile nell'inter-
(a
, b)⊆ℜ
vallo aperto allora la retta di equazione
(a
y=m x−x x f
( )+f ( ) è tangente al grafico di nel punto
0 0
x , b)
∈(a se
0 y=f x m( x x−x
( )+ −x )+o ( )
0 0 0
x m∈ℜ.
→x
per e con
0
Secondo questa definizione, in poche parole, la tangente è quella retta
il cui grafico differisce localmente “di poco” dal grafico della funzione in
quanto la quantità
E( x x)−f x x−x
)=f ( ( )−m ( ) (3)
0 0
che possiamo interpretare come un errore, è un infinitesimo di ordine
x−x x .
→x
superiore a per per Oltre a questo è facile vedere che
0 0
16 II Giornata di studio
m=f ' x .
( )
se la retta tangente esiste allora, come ci si aspetta, Quan-
0
to appena visto si presta successivamente ad essere esteso a funzioni in
più variabili e, più in generale, ai concetti di fibrato tangente a una varie-
tà e di differenziale come applicazione lineare tra spazi tangenti.
4 L A MIGLIOR APPROSSIMAZIONE LINEARE
Ritorniamo per un momento alla definizione di derivata formulata at-
traverso il concetto di infinitesimo
f x)=f ' x x−x f x o( x−x
( ( )( )+ ( )+ )
0 0 0 0
Ora è abbastanza intuitivo pensare che se localmente
E( x x)−f ' x x−x x x−x
)=f ( ( )( )−f ( )=o( )
0 0 0 0
y=f ' x x−x f x
( )( )+ ( )
allora è la migliore approssimazione linea-
0 0 0
x .
f
re di in Per essere più precisi vale la seguente.
0 P( x f x
( ))
Definizione 5. Siano dati , un punto del grafico della
0, 0
f : , b)→ℜ
funzione reale di variabile reale , e la funzione affine
(a
s x x−x f x
( )=m ( )+ ( ).
m 0 0
s f
(x )
La funzione è la migliore approssimazione lineare di nel
m
x d
punto se esiste e
>0
0
x)−s x)∣≤∣f x)−s ' x
∣f ( ( ( ( )∣
m m
x∈( x , x d) m'≠m.
−d +
per e per ogni
0 0
Si verifica poi senza difficoltà [2] che la migliore approssimazione si
m=f ' x .
( )
ha se e solo se 0
Come è stato evidenziato sempre in [2] l'idea che la tangente sia la
miglior approssimazione lineare al grafico di una funzione nel punto di
tangenza è quella che forse si avvicina maggiormente ai processi menta-
li che si attivano nel momento in cui ci viene chiesto di riconoscere se
una data retta sia tangente o meno al grafico di una funzione o a una
curva. Anche gli esempi problematici visti al paragrafo 2, se riguardati
da questo punto di vista, appaiono molto meno insidiosi.
Analisi non standard nelle scuole superiori 17
Quindi, se seguiamo Bivens [2], l'idea di tangente come migliore ap-
prossimazione lineare dovrebbe essere irrinunciabile, magari senza prete-
se di rigore eccessivo già a livello elementare.
5 L' -
APPROCCIO NON STANDARD
L'analisi non-standard permette di definire rigorosamente la tangente,
già a livello di terzo anno di scuola secondaria di II grado, rendendo allo
stesso tempo disponibili oggetti essenziali per lo studio della Meccanica
classica come le derivate e gli integrali.
In estrema sintesi quello che si fa in Analisi non-standard [4] è:
1. ampliare l'insieme dei numeri reali introducendo un nuovo insieme
di numeri che contiene numeri infiniti e infinitesimi. Gli infinitesimi,
dx , dy...
che si indicano con soddisfano la condizione
1
0< dx< n n>0.
per ogni numero naturale Per l'insieme ampliato, che
prende il nome di insieme dei numeri iperreali, valgono (principio
di estensione) le usuali regole algebriche;
2. introdurre il concetto di infinita vicinanza: due numeri iperreali
x y x≈ y
e si dicono infinitamente vicini se la loro differen-
za è un numero infinitesimo;
3. definire la parte standard di un numero iperreale ossia la funzione
definita da
a+ b dx b dx)=a
→st (a+
che ad ogni numero iperreale associa la sua parte reale.
f : , b)→ℜ
Nell'approccio non standard la derivata di una funzione (a
x , b)
∈(a
in un punto , se esiste, è definita da
0 f x dx)−f x
( )
( + ( )
0 0
f ' x .
( )=st (4)
0 dx 2
Così, ad esempio, se si ha subito
f x)=x
(
18 II Giornata di studio
2 2
( )
x
( +dx ) −x
f ' x)=st x x.
( =st (2 +dx )=2
dx
Dalla relazione (4) si ottiene subito che
f x x
( )
( +dx)−f ( )
0 0
st ' x
−f ( ) =0
0
dx
quindi
f ' dx
(x +dx)−f (x )−f (x )dx=e (4)
0 0 0 e≈0.
dove il numero iperreale Questa relazione non è altro che la
riformulazione di (4) e l'errore introdotto in (3) è, dal punto di vista non-
standard, caratterizzato dal fatto che
st E
( (dx ))=0.
Appare ora piuttosto intuitivo, ripercorrendo quanto visto al paragrafo
precedente, pensare che la retta tangente, se esiste, abbia equazione
y=f ' x x−x f x
( )( )+ ( )
0 0 0
esattamente identica a (1), ma con la differenza che la derivata prima
viene calcolata ricorrendo a (4) senza bisogno di ricorrere ai limiti.
L'intuizione può essere ulteriormente rafforzata dall'idea che se si va
a magnificare (microscopio) quello che si vede nell'intorno del punto di
tangenza, il grafico della funzione è, per quanto riguarda la parte stan-
dard, esattamente quello di una retta passante per i due punti
x f x x dx , f x .
( ( )) ( + ( +dx ))
e
0, 0 0 0
6 C ONCLUSIONI
L'analisi non standard permette quindi di introdurre nel curriculum
presto e in modo soddisfacente il concetto di tangente al grafico di una
funzione in un punto. Allo stesso tempo essa rende disponibili gli appara-
ti di calcolo indispensabili per lo studio della Meccanica classica fin dal
terzo anno di scuola secondaria di II grado.
Analisi non standard nelle scuole superiori 19
In conclusione ci sentiamo di condividere l'opinione di Terence Tao,
uno dei più grandi matematici viventi, quando scrive:
“In short [non-standard analysis] is a nice way to get students quickly
started on single-variable differential calculus, but one should also be pre-
pared to move beyond this approach when one wants to tackle the rest of
the calculus.”
- Terence Tao
7 B IBLIOGRAFIA
T , H.A.
1 (1964) On the definition of a tangent-line, The American
HURSTON
Mathematical Monthly, Vol. 71, No. 10, pp. 1099-1103.
, I.C. What a tangent line is when it isn't a limit,
2 B (1986) The Col-
IVENS
lege Mathematics Journal, Vol. 17, No. 2, pp. 133-143.
K , S.H.
3 (2003) Finding the Tangent to a Conic Section Without Calcu-
UNG
lus, The College Mathematics Journal, Vol. 34, No. 5, pp. 394-395.
B , P.
4 (2011) Il calcolo infinitesimale, analisi per i licei alla ma-
ONAVOGLIA
niera non standard, Matematicamente.it disponibile online.
20 II Giornata di studio
Il registro grafico nella didattica della NSA
di Pietro Cacciatore
L’oggetto matematico derivata è definito in NSA come la parte stan-
dard del rapporto incrementale valutato per ogni valore dell’incremento
infinitesimo. Tale oggetto ha due interpretazioni “storiche”: la pendenza
della tangente ad una curva in un suo punto e la velocità istantanea.
Nella prima interpretazione la variabile indipendente è l’ascissa e la va-
riabile dipendente l’ordinata di un riferimento cartesiano; nella seconda
il tempo e la posizione rispettivamente. In entrambe le interpretazioni,
ma particolarmente nella prima, l’aspetto grafico è uno strumento im-
portante per la comprensione dei concetti coinvolti.
1 G RAFICO DELLA TANGENTE AD UNA CURVA IN UN SUO PUNTO
Si dice tangente ad una curva in un suo punto P la retta t per P e di
coefficiente angolare:
Insomma, il coefficiente angolare di t è la derivata della funzione cal-
colata in x cioè la parte standard del rapporto incrementale valutata per
P
tutti i valori dell’incremento infinitesimo.
Si consideri la figura seguente
Analisi non standard nelle scuole superiori 21
in cui compaiono i grafici della curva, della retta tangente in P, il punto
P di coordinate x , f(x ), gli assi reali x, y.
P P
Se consideriamo il piano iperreale R*×R*, e puntiamo sul punto P un
4
microscopio (non standard ) otteniamo la seguente figura:
nella quale ora compaiono gli assi iperreali x, y, e il punto Q è un punto
di infinitamente vicino a P (cioè un punto della monade di P) e di coordi -
nate (x + , f(x + )), con infinitesimo.
P P
I disegni del piano reale e iperreale sono identici. Nel secondo ha senso
usare il microscopio non standard e puntarlo su un punto di coordinate
iperreali-reali, e ciò cambia alquanto la situazione: si osserva la regione
immediatamente circostante il punto, una regione fatta di punti con coor-
dinate ipereali-non reali che in onore a Leibniz è nominata monade.
L’ingrandimento mette bene in evidenza che la curva e la tangente ri-
sultano sovrapposte, e che la tangente è quella retta per P che ha la ca-
ratteristica d’avere la stessa pendenza della curva in P. Le due curve
mantengono la stessa pendenza per tutta la monade di P, in ciò gioca un
ruolo essenziale la condizione che la parte standard del rapporto incre-
5
mentale in x deve esistere per ogni incremento infinitesimo .
P
Il pensiero corre a Leibniz ed alla sua intuizione: “La tangente ha due
punti di contatto infinitamente vicini con la curva”. Ma come spesso acca-
de nella storia della scienza, i concetti si modificano e si perfezionano nel
tempo, e con Robinson possiamo affermare che curva e tangente non
4 Per la differenza fra telescopio standard e non standard confronta Goldoni, 20
anni di calcolo infinitesimale, in Analisi non standard per le scuole superiori,
Matematicamente.it pag. 7.
5 Sulla definizione di tangente ad una curva in un suo punto si veda, in questi
stessi Atti, Centono, Tangenti a una curva: da standard a non-standard.
22 II Giornata di studio
hanno più due punti di contatto, ma hanno in comune una miriade di
punti “infinitamente vicini”. Ho usato il termine “miriade” in omaggio al
mondo greco, ma è piuttosto evidente che di punti di contatto ce ne
sono almeno ℵ₀.
Questa circostanza impone una riflessione di carattere epistemologi-
co. I concetti scientifici hanno una storia e pertanto sono inventati. Infat-
ti, se esistessero in un mondo al di fuori del soggetto, essi ci verrebbero
consegnati in tutta la loro completezza e integrità, e non sarebbero su-
scettibili di perfezionamenti o, soprattutto, di modifiche. Non mancano
gli esempi anche in fisica. Per citarne solo due: il concetto d’inerzia na-
sce dapprima come inerzia circolare con Galileo, per diventare rettilinea
con Cartesio e Leibniz; il concetto di forza da sorgente di moto in Aristo-
tele diventa sorgente di accelerazione con Newton, e finisce col cambia-
re completamente significato in relatività generale.
Sarebbe tuttavia un’ingenuità supporre che le due curve precedenti
(la curva e la retta tangente) coincidano. Ci affrettiamo a dimostrare che
differiscono per infinitesimi di ordine superiore. Dal punto di vista grafico
ciò significa che si può scendere ancora in maggiori dettagli all’interno
della monade di P.
Sia, ancora una volta, Q il punto di di coordinate (x + , f(x + )) e sia
P P
R il punto della retta t con la stessa ascissa di Q, cioè sia R il punto di
.
coordinate (x + , f(x ) + m
P P
Calcoliamo ora il rapporto fra la differenza delle ordinate di R e Q e
l’incremento infinitesimo stesso .
Mostreremo che questo rapporto è a sua volta un infinitesimo, e con
ciò avremo dimostrato che la differenza fra le ordinate di R e Q è un infi-
nitesimo di ordine superiore rispetto a .
Il numero Analisi non standard nelle scuole superiori 23
è iperreale, e, per ogni , infinitamente vicino ad m, così è infinitesi-
mo.
Allora le due curve viste alla scala di (che ripetiamo è una scala infini-
tesima rispetto alla scala di ) appaiono separate, là dove alla scala di